Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
A.
Mở đầu
Vật lý chất rắn là một khoa học rộng lớn gồm nhiều bộ môn như: vật lý
bán dẫn điện, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý và các chất điện mới, vật lý và
các chất sắt điện và sắt từ…Với những cấu trúc, những tính chất chung nhất của
vật lý chất rắn được nghiên cứu từ học phần vật lý chất rắn trong chương trình
đào tạo cao học như cấu trúc tinh thể của vật rắn, dao động của mạng tinh thể,
tính chất nhiệt, tính chất điện, tính chất từ và tính chất siêu dẫn… một phần nào
đó đã thể hiện được vai trò quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học công
nghệ hiện nay.Mỗi tính chất của chất rắn đều có mức độ nghiên cứu riêng cũng
như những ứng dụng đặc trưng nhưng tính chất về dao động của mạng tinh
thể hết sức hấp dẫn và có sức cuốn hút kỳ lạ.
Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu vật lý chất rắn có liên quan
Nội dung của tiểu luận gồm ba phần :
1.Dao động mạng một chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử mà mỗi ô cơ sở chứa
một nguyên tử cùng loại )
2.Dao động mạng ba chiều đơn giản
3. Dao động mạng 1 chiều phức tạp (chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau)
Sau nội dung của từng phần có kết luận và so sánh với các phần khác
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 1
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
1. Dao động mạng một chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử với mỗi
ô cơ sở chứa một nguyên tử cùng loại )
Ở các vật rắn kết tinh,các nguyên tử hoặc các phân tử sắp xếp có trật tự
xác định trong không gian. Có thể coi mạng tinh thể được tạo thành từ các lõi
nguyên tử mang điện dương, nằm ở nút mạng và các electron hóa trị mà sự
phân bố của chúng phụ thuộc vào liên kết trong tinh thể.
Mô hình mạng tinh thể của một số chất

MnP Al

→+
∞
)

* Xét nút n:
- Theo định luật Hooke lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là:
#
( )
n n m
m n
f u u= −β −
∑
Với β >0: Hệ số đàn hồi
Ta chỉ cần xét hai nguyên tử lân cận gần nhất m=
±
1 bởi vì……
f
n,n+1
= - β(u
n
- u
n-1
)
f
n,n-1
= - β(u
n
- u
n+1
)

n
-u
n-1
- u
n+1
) = 0
(2.2.1)
Phương trình sóng truyền trong tinh thể có dạng:
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 3
u
n-1
u
n
u
n+1
x
n-1
x
n
x
n+1
x
n+2
a
X'
n
= na + u
n
X'
n+1

2
(2 ) 0
iak iak
n n n n
u u u e u e
m
β
ω
−
− + − − =
2
2cos
(2 ( )) 0
iak iak
n n n
ka
u u u e e
m
β
ω
−
− + − + =
1 4 2 4 3
Chia 2 vế cho u
n
và áp dụng công thức Eleur ta có
2
(2 2cos )ka
m
β

ω =
Do tần số luôn luôn dương nên ta có:

với k là độ lớn của vectơ sóng
k
r
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 4
2
2
2
1
1
n
n
iak
n n
iak
n n
d u
u
dt
u u e
u u e
ω
−
−
+

= −


2
a
π
trên trục vectơ sóng
Hay với
1
ika
n
n
u
e ka
u
π π
+
= → − ≤ ≤
trong khoảng này đủ để xác định bất kỳ giá
trị
1n
n
u
u
+
nào thỏa điều kiện
k
a a
π π
−
≤ ≤
.
Như vậy k nằm trong vùng Brillouin thứ nhất của mạng một chiều.Nếu xét tại

2
k
ka
ka
m m
β β
ω = =
tức
k
ω
là tuyến tính đối với k bé
Mà ta biết vận tốc truyền sóng trong tinh thể,vận tốc truyền năng lượng
trong dao động, là sự truyền bó sóng (nhóm, groupe).
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 6
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
0
k
g k o
v v a const v
k M
δ
δ
→
ω
β
= → = = =
Do đó có thể viết
0k
k
ω ν

δ
ω
β β
= = = =

g
ν
không phải là const
Như vậy với giá trị k lớn , tức với dao động có bước sóng nhỏ , vận tốc
truyền sóng trong tinh thể không bằng không.
*Tại biên vùng Brillouin thứ nhất (tương ứng với những dao động có k
max
)

ax min
ó 2 0
m g
k tac a v
a
π
λ
±
= = → = →
tại đây có hiện tượng phản xạ
sóng tạo thành sóng đứng

( 1)
n
i na
i t i t n

=

tiến đến gần như đường thẳng.Khe ở tâm vùng Brillouin chứng tỏ rằng vận tốc
lan truyền của âm thanh trong vật rắn là lớn nhất.
 Hơn nữa do tính chất đối xứng, với cùng một giá trị
ω
thì trong vùng
Brillouin tồn tại 2 giá trị của k (N là số nguyên tử lân cận).
 Trong thực tế , đối với mạng tinh thể thực một chiều thì số nguyên tử N là
hữu hạn, tính tuần hoàn, tịnh tiến bị phá vỡ.
Ảnh hưởng của biên tinh thể trong mạng tinh thể một chiều
 Nếu mạng tinh thể đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ và tính chất
của tinh thể gần giống như mạng vô hạn.
 Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể thực ta sử dụng điều
kiện biên tuần hoàn Bom-Karman hỗ trợ cho việc tính toán được thuận lợi hơn

1 1N
u u
+
=
Nghĩa là dao động của nguyên tử ở cuối dãy (nút thứ N) giống hệt với dao
động của nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ nhất)………
 Có phản xạ Bragg xảy ra tại biên vùng Brillouin thứ nhất nghĩa là sóng có
vectơ k ứng với biên vùng Brillouin thứ nhất bị phản xạ mạnh bởi các nút
mạng tinh thể, sóng này là sóng thực.
2. Mạng tinh thể 3 chiều
Giả sử khảo sát dao động mạng tinh thể theo ba hướng trong không gian
với mỗi ô cơ sở có một nguyên tử ( s=1) và chỉ quan tâm đến ảnh hưởng của
các nguyên tử lân cận gần nhất và coi dao động là điều hòa với lực đàn hồi có hệ
số đàn hồi β

+
≠ ≠
= −
∑ ∑
1 2 3

Với β
i
>0: Hệ số đàn hồi; i=1,2,3 ứng với ba phương x, y, z của không
gian tọa độ.
Do đó:
0 1s s
s
F u
β
+
=
∑
với
s i
s
β β
= −
∑
,
s∀
Trong không gian ba chiều n=3 và số nguyên tử trong một ô là s=1
, 1 1
( )
n s n s

, 1n n
F
+
uuuuur
n
n+1
e
α
uur
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
1
//( )
n n
e u u
α
+
−
uur uur uuuur
, , ,x y z
α β
=
Phương trình dao động mạng có dạng :
2
2
n s s
s
d
m u u
dt
= Γ

Tương tự sử dụng Matlab
TM
trong mô phỏng tính toán những giá trị riêng
của D với hằng số mạng , khối lượng các nguyên tử có giá trị bằng một
đơn vị, hằng số đàn hồi
β
= [1 0,5 0,25 ] lần lượt tương ứng với các
phân tử lân cận . Ta thu được kết quả sau trong vùng Brillouin thứ nhất.
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 11
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
KẾT LUẬN

( )k
ω
uur
mang tính tuần hoàn nghĩa là dao động mạng tinh thể gây nên sóng
đàn hồi đó là sóng âm, sóng quang.

( ) ( )k k
ω ω
= −
uur
r
 Tổng số nhánh là 3
 Trong một số hướng có tính đối xứng cao ((100),(111),…) các vectơ trục
cực (dao động của nguyên tử ) khi thì song song (dao động dọc) khi thì vuông
góc (dao động ngang) với vectơ
k
r


2)
. Các nguyên tử sắp xếp đều đặn, khoảng cách giữa các nguyên tử là a,
hằng số mạng là 2a, hệ số đàn hồi là β.
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 13
a
r
u
2n+2
v
2n+1
u
2n
v
2n-1
u
2n-2
x
2n-1
x
2n-2
x
2n
x
2n+1
x
2n+2
2a
a
0
Δ

2
(2 )
( )
n
n n n n
n
n n n n
d u
f u v v M
dt
d v
f v u u M
dt
− +
−
− − −
= −β − − =
= −β − − =

2
2
1 2 2 1 2 1
2
2
2 1
2 2 1 2 2 2
2
(2 ) 0
( ) 0
n

(2 )
2 2 ,
( )
(2 )
2 2 ,
( )
( )
0
n
n
i kx t
i kan t
n n t
i kx t
i kan t
n n t
u u x Ae Ae
v u x Be Be
A B
−
−ω
−ω
−ω
−ω

= = =


= = =


( )
( )
2 ika ika
1 2n 2n 2n
2n
2n
2
1
2
1
M u 2u v e e 0
u
A
Chú ý
v B
M A 2 A 2 Bcoska = 0
2 M A 2 Bcoska = 0
−
− ω +β − + =
=
⇒ − ω + β − β
⇔ β− ω − β
Hoàn toàn tương tự, ta có:
( )
2
2
2 M B 2 Acoska = 0
β− ω − β
Vậy, ta được hệ phương trình:
( )

1 2
4 2 2 2
1 2 1 2
2 M 2 M 4 cos ka= 0
M M 2 M M 4 sin ka 0
⇔ β− ω β − ω + β
⇔ ω − β + ω + β =
Đây là phương trình trùng phương nếu chia 2 vế cho M
1
M
2
ta được:
2 2
4 2
1 2 1 2
1 1 4 sin ka
2 0
M M M M
 
β
ω − β + ω + =
 ÷
 
Giải phương trình này bằng cách đặt X=
2
ω
ta thu được :
2
2 2
0

: tần số dao động của nhánh quang (optical)

A
(k)ω
: tần số dao động của nhánh âm (acoustical)
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 15
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
Nghiên cứu tính chất dao động của hai nhánh tại tâm và biên vùng Brillouin
thứ 1.
Giả sử M
1
>M
2
Đối với nhánh dưới
• Tại tâm vùng Brillouin thứ nhất khi
k 0
→
thì sinka
→
ka
2
2 2 2
A
1 2 1 2 1 2
1
2
2
2 2
1 2
2

 ÷  ÷  ÷
+
 
     
 
 
 
    
= β + − + −
 ÷  ÷
+
   
1
2
 
 

 
 
 
 ÷
 
 
 
 
Sử dụng phép gần đúng:
( )
1
2
1

2 g
1 2
(k) 2
v a = v const
k (M M )
∂ω β
= = =
∂ +
Vậy khi k bé
A
(k)ω
phụ thuộc tuyến tính vào k với chu kỳ
a
π
và vận tốc
nhóm không đổi, giống quá trình truyền sóng âm gọi là dao động âm (gọi tắt là
nhánh âm)
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 16
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
Mô hình dao động âm dọc
Mô hình dao động âm ngang
• Tại biên vùng Brillouin thứ nhất khi
k
2a
π
= ±
2
A Amax
1 1
2 2

(k)
M
β
ω =
Vậy khi các nguyên tử dao động moment lưỡng cực điện do chúng tạo ra
lớn và cũng biến đổi tuần hoàn có khả năng tương tác mạnh với ánh sáng do đó
nhánh này được gọi là nhánh quang học.
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 17
Nhánh quang
Nhánh âm
2a
π
−
2a
π
2
2
M
β
1 2
1 1
2
M M
 
β +
 ÷
 
ω
O
Vùng cấm

Giải thích
Lập tỉ số:
2
1
A 2 coska
B 2 -M
β
=
β ω
Đối với nhánh âm học
khi k = 0 thì
2
0ω =
hay
0
ω
=
thay vào (2.3.3)
Ta có:
2 A 2 B 0 A B
β − β = ⇒ =
chứng tỏ các nguyên tử dao động cùng
pha với nhau (nhánh âm học)
Đối với nhánh quang: khi
k 0
→
thì:
2
0
1 2

Trong mạng tinh thể có hai dao động nhưng chúng không cắt nhau do
giữa chúng có vùng cấm.
Dao động âm trong mạng một chiều phức tạp hai nguyên tử giống như
dao động trong mạng một chiều đơn giản
Ý nghĩa vật lý về sự khác nhau giữa dao động âm và dao động quang
Khi hai nguyên tử dao động cùng cùng pha thì dao động mạng là một sóng
phẳng có quá trình truyền sóng giống như quá trình truyền sóng âm(nên được
gọi là nhánh âm)
Mô hình dao động âm ngang của mạng tinh thể hai nguyên tử
Khi hai nguyên tử dao động ngược pha nhau thì dao động mạng là sóng
phẳng có khả năng tương tác mạnh với ánh sáng (nên được gọi là nhánh quang).
Mô hình dao động quang ngang của mạng tinh thể hai nguyên tử
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 19
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
 Trên phổ ω(k) có một khoảng giá trị từ ω
Amax
(k) =
1
2
M
β
đến ω
0
(k)=
2
2
M
β

không ứng với nghiệm nào của phương trình sóng truyền trong mạng tinh

2
M
β
Bảng tổng hợp số dao động mạng
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 20
Không
gian
mạng
Số hạt
trong một
ô cơ sở
Số dao động(nhánh)
Nhánh âm Nhánh quang
Dọc Ngang Dọc Ngang
1 chiều 1 hạt 1 0 0 0
2 hạt 1 0 1 0
3 chiều 1hạt 1 2 0 0
2 hạt 1 2 1 2
3 hạt 1 2 2 4
a
r
2
2 2
0
1 2 1 2 1 2
2
2 2
A
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4

(n-1) nhánh âm ngang (vuông góc
k
r
)
( s-1) nhánh quang dọc
n(s-1) nhánh quang
(n-1) (s-1) nhánh quang ngang
Tổng số nhánh trong dao động của mạng tinh thể là tích số nguyên tử
trong một ô cơ sở với số chiều của không gian (nS).Luôn luôn tồn tại ít nhất một
nhánh âm trong dao động mạng tinh thể, nhánh âm trong dao động mạng một
chiều, ba chiều là như nhau về phương diện toán học, ý nghĩa vật lý.
Chỉ khi có ít nhất hai nguyên tử trong mỗi ô cơ sở thì mới xuất hiện nhánh
quang học(có thể là quang dọc hoặc quang ngang) và chỉ trong mạng tinh thể ba
chiều thì mới có thể có nhánh quang ngang.
Với sự phụ thuộc của tần số gốc vào vectơ sóng qui luật tán sắc của dao
động mạng tinh thể trong vật lý cổ điển cũng như phonon trong vật lý hiện
đại được xác định.
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 21
Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức
KẾT LUẬN
Quá trình nghiên cứu đã một phần nào đó thể hiện được khái quát bức
tranh về dao động mạng tinh thể từ cổ điển đến lượng từ.Tuy nhiên, do những
hạn chế mang tính khách quan, phần lý thuyết về dao động mạng của tinh thể
chưa được nghiên cứu sâu và hoàn chỉnh. Vì vậy rất mong được sự chỉ dẫn thêm
của thầy và sự góp ý chân thành từ phía các bạn nhằm tạo động lực thúc đẩy
việc nghiên cứu và phát triển đề tài ở cấp độ sâu hơn, hoàn chỉnhvà mang tính
giá trị cao hơn.
HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 22