Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị

MỤC LỤC
I. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
I.1. Đối với giáo viên
I.2. Đối với học sinh
II. NỘI DUNG
II.1. Đặt vấn đề
II.2. Bài toán xuất xứ
II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ
II.3.2. Định nghĩa hàm số
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối
II.3.4.Sự biến thiên của hàm số
II.3.5. Đồ thị của hàm số
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị
II.3.6. Chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y=ax+b
II.3.6.2. Hàm số bậc hai y=ax
2
II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa y=ax và y=mx +n
II.4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục
II.4.1. Những sai lầm
II.4.2. Cách khắc phục
II.5. Ứng dụng của hàm số và đồ thị
II.6. Các dang bài tập
II.7. Một số ví dụ
II.8. Bài dạy minh họa
II.8.1. Mục tiêu bài dạy

thị hàm số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a
≠
0) và y=ax
2
( a
≠
0) một cách
chính xác, đẹp.
2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có
liên quan.
II. NỘI DUNG.
II.1. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong
trương trình đại số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới được
bắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo.
Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thường gặp nhiều khó khăn đặc
biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tương ứng có phải là hàm số hay không? Cách
xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của
hàm số. Vì vậy phải đòi hỏi người giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng
với phương pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và tư duy tốt
tiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực.
II.2. BÀI TOÁN XUẤT XỨ.
Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán,…, mối
liên hệ giữa hai đại lượng, nhiều đại lượng. Đại lượng là một khái niệm tổng quát
hóa một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lương,…, thời gian,…
Mỗi khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lượng được biểu hiện bằng giá trị số.
Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó

ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp
số áo 1; 2; 3; 4.
2. Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1
và -5 thuộc Q cho ta tương ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai
số trong Q
3. Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh xạ.
4
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
4. Các phép chiếu vuông góc các điểm của đường thẳng (d) xuống đường
thẳng (a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đường thẳng (d) đến các điểm thuộc (a).
5. Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập
hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tương ứng biểu thị bởi các mũi tên.
Xét các quy tắc cho tương ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại
sao?
Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ.
Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tương ứng với một và chỉ một phần tử y ∈ Y.
Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ.
Chú ý:
+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho ∀x
1
, x
2
∈ X mà f(x
1
) +f(x
2
) thì f được gọi là đơn
ánh hoặc ánh xạ ax –1.(ví dụ (c); (e); (f)).
+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho mọi y

* Dùng bảng:
Ví dụ:
x 1 2 3 4
y -2 -4 -6 -8
* Dùng đồ thị:
d) Các ví dụ về hàm số:
* Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số.
1) f: R R – {0}.
x y = 4/x
2) f: N R

4)
* Các quy tắc khôg phải là hàm số
1) f : R R
6
xyx) 23 =
y
-
3
3
1
2
1
2
-
1
-
2
-
2

3)
4)
Xét hàm số f: X Y (X, Y ⊂ R)
* X được gọi là tập xác định của hàm số.
Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x được lấy những giá trị nào:
do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định được giá trị
tương ứng của y.
Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:
tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) ≠ 0.
. tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) ≥ 0.
Ví dụ:
1) Với hàm số
Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x ≠ 2.
Hoặc tập xác định: ∀ x ≠ 2.
2) Với hàm số
TXĐ: Tập tất cả các số x≥ 0.
7
( )
xf
a
y =
( )
xfy =
2
4
−
=
x
y
xy 2=

xy −= 3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ.
* Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm
chẵn (hay lẻ).
* Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn. Còn tích của một hàm
chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
II.3.4. Sự biến thiên của hàm số
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D.
a) Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên D, nếu với mọi x
1
,
x
2
∈D ; x
1
< x
2
⇒ y
1
= f(x
1
) < y
2
= f(x
2
)
b) Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi x

12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
≠∈∀>
−
−
2121
12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
≠∈∀<
−
−
( ) ( )
( )
a
xx
xxa
xx
axax
xx
yy
xx
baxbax
xx
yy

2
3
3
0
x
y
y = x
2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2/ Hàm số y = ax
2
; a ≠ 0 với x
1
, x
2
∈ TXĐ
Xét tỉ số
+ a > 0 ; x
1
, x
2
∈ (0 ; +∞) Hàm đồng biến.
x
1
, x
2
∈ (-∞ ; 0) Hàm nghịch biến.
II.3.5. Đồ thị của hàm số
Khi xét hàm số y – f

( )( )
( )
12
12
1212
12
2
1
2
2
12
12
xxa
xx
xxxxa
xx
axax
xx
yy
+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị

0
y = x
-1
-2
-2
-1
2
1
2
1
3
4
5
y
x
y = x
2
- 2
y = x
2

y = x
2
+ 1
0
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị
a. phép tịnh tiến.
+ Tịnh tiến thep trục hoành.

12
-2
-1
-2
-1
2
1
2
1
0
3
y
x
y = x
y = x + 1
y = x - 2
-1
-1
-2
-2
-3
-4
0
1
2
3
3
2
1
4

- 2x - 3
13
-1
-2
-2 -1
0
1
1
2
2
y
x
y = 2x
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.6. Trong chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm đến hai hàm
số y = ax + b và y = ax
2
(a ≠ 0).
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y =ax + b (a
≠
0).
a/ Tính chất
- TXĐ: R
- Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến.
a < 0 hàm số nghịch biến.
b/ Đồ thị:
Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số
y = ax (a ≠ 0) là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
và điểm A(1; a). Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã được

nhau, ta thay giao điểm của đồ thị với trục hoành bởi một điểm khác: M(x
1
;
ax
1
+ b).
c/ Để xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b theo các điều kiện
đã cho:
- Đường thẳng y = ax + b đi qua A(x
1
; y
1
)
⇔ y
1
= ax
1
+b.
- Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm: A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
)
⇔ y
1
= ax

): y = a
’
x + b
’
trên cùng một hệ tọa độ vuông góc có các vị trí sau:
15
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
(D)// (D
’
) ⇔ a = a
’
; b ≠ b
’
(D) cắt (D
’
) ⇔ a ≠ a
’

(D) ⊥ (D
’
) ⇔ aa
’
= -1
(D)≡ (D
’
) ⇔ a = a
’
; b = b
’

y = x+ 1
-1
-2
-2
-1
2
1
2
1
3
4
y
x0
y = - x+ 2
y = x - 3
-3
3
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
2/ Cho hai đường thẳng: y = (m
2
+ 1) x + m (d
1
)
y = 2mx + m – 2 (d
2
)
Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d
1
) và (d

a < 0: hàm số đồng biến trong R
-
a > 0: hàm số nghịch biến trong R
-
a < 0: hàm số nghịch biến trong R
+
17
-1
-1
1
1
-2
2
2 3
3
0
x
y
y = 2x
2
4
5
6
7
8
-1
1
-2
2
x

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đường cong
(ít nhất là 3 điểm) với x > 0. Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ:
1)
y = 2x
2
x = 0; y = 0
x =1; y = 2
x =1/2; y = 1/2
x = 2; y = 8
2)
y = -2x
2
x = 0; y = 0
x = 1; y = - 2
x = 1/2; y = -1/2
x = 2; y = 8
18
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa Parabol y = ax
2
và đường thẳng y = mx + n.
Tọa độ giao điểm cùa Parabol y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm
của hệ phương trình:
mx + n = y (d)

1
-2
2
2
3
3
0
x
y
y = x
2
-2
4
y = 2x - 1
y = x + 1
y = -x - 2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
1/ Xác định vị trí của Parabol y = x
2
với các đường thẳng sau:
+ y = x + 1
+ y = 0
+ y = -x -2
+ y = 2x -1
Giải:
+ Xét phương trình x
2
– x –1 = 0 ta có:


2
= 0
⇔
Phương trình có nghiệm kép : x
1
= x
2
= 1.
Đường y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1.
20
nxy
x
y
+−==
2
1
2
2
-2
-1
1
1
-2
2
2
3
3
x
2
2

Vẽ đồ thị của Parabol với đường thẳng trong trường hợp ấy .
Giải:
Xét phương trình
⇔
x
2
+x –2n = 0 (2)
+ Điều kiện đểdddường thẳng tiếp xúc với Parabol là phương trình (2) có nghiệm
kép .
∆
=1 +8n;
∆
=0
⇔
n =
Khi đó đường thẳng có phương trình là
+ Điều kiện đẻ đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm làphương trình (2) có hai
nghiệm phân biệt ;tức là
∆
> 0
⇔
n >
+ Với n = 1 phương trình (2) có dạng : x
2
+ x – 2 =0

⇔
( x + 2 )( x – 1 ) = 0

⇔

−
nx
x
+−=
2
1
2
2
2
x2
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Nhiều học sinh không biểu diễn dược một điểm trên mặt phẳng tọa độ (học sinh
lớp 7 ).
+Học sinh còn mắc phải sai lầm trong việc xác định tọa độ của một điêmtrong mặt
phẳng tọa độ.
+ Việc tìm mối liên hệ giữa đường bậc hai (phương trình bậc hai ) và đường bậc
nhất ( y = ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phương trình
còn khó khăn.
II.4.2.Cách khắc phục.
+ Cho học sinh nhìn nhận dưới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị .
+ Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ).
+ Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hướng dẫn thật kỹ cách biểu diễn một
điểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng một
mặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu diễn sai để học sinh
nhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân.
+ Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đường bậc hai (y = ax
2
) và
đường bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện nghiệm của phương

y =
0
-1
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
+ Nhận biết một quy tắc tương ứng có là hàmsố không?
+ Tính giá trị của hàm số .
+ Tìm tập xác định của hàm số .
+ Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Mối tương quan giữa hai đồ thị của hai hàm số.
+ Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị.
+ Giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
+ Họ đường thẳng, Parabol đi qua một điểm cố định.
+ Tìm cực trị của một hàm, một biểu thức.
+ Tìm diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng.
+ Khảo sát hàm số.
+ Chứng minh sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong khoảng nào đó?
II.7. Một số ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho Parabol y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n
Xác định các hệ số a, m, n biết rằng Parabol đi qua A
(-2;2)
; Đường thẳng đi qua B
(1;0)
và tiếp xúc với Parabol.
Giải:
Vì Parabol y = ax
2

2
=+−
mmxx
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
tọa độ tiếp điểm là (0;0)
b/ m = 2 đường thẳng là y = 2x – 2
tọa độ tiếp điểm là (2;2)
Ví dụ 2:
Vẽ đồ thị hàm số: y = x - 1+ x - 2
Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của y .
Giải :
- 2x + 3 với x < 1
Ta có : y = x - 1+ x - 2= 1 với 1 ≤ x ≤ 2
2x – 3 với x > 2
Xét từng khoảng : x < 1 ; 1 ≤ x ≤ 2; x > 2 .
Vẽ đồ thị :

* Căn cứ vào đồ thị ta có :
Min y = 1 với 1 ≤ x ≤ 2.

II.8. BÀI DẠY MINH HỌA:
TIẾT 49 : ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
(a ≠ 0)
A/ Mục tiêu cần đạt :
- Học sinh biết được dạng của đồ thị hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) và phân biệt được chúng
trong hai trường hợp a > 0 , a < 0.

6
0
x
y
-2
8
Đề tài nghiệp vụ sư phạm Hàm
số & đồ thị
B/Chuẩn bị của GV – HS :
- GV: Bảng phụ, kẻ sẵn bảng giá trị của hàm số y = 2x
2
;
Đề bài ;
- HS :Ôn lại kiến thức “Đồ thị hàm số y = f(x)”
Cách xác định một điểm của đồ thị, giấy kẻ ô li, thước kẻ, máy tính bỏ túi.
Bảng phụ nhóm kẻ sẵn ô vuông.
C/ Tiến trình tiết dạy :
I. Ổn định tổ chức:
II. Kiểm tra bài cũ :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
Gọi hai HS lên bảng cùng một lúc :
HS1: a/ Điền vào ô trống các giá trị
tương ứng của y trong bảng sau:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
2
18 8 2 0 2 8 18
Hai HS lên bảng :
HS 1:
a/ Lên bảng điền

1
xy −=
2
1
−
2
1
−