LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới cô giáo Dương
Minh Ngọc cô đã tận tâm nhiệt tình chỉ bảo, hướng dẫn động viên giúp đỡ em
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Toán đã tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!
Vinh, ngày tháng năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thương
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Nhiệm vụ nghien cứu
6. Phương pháp nghiên cứu
7. Đóng góp của đề tài
8. Bố cục của đề tài
B. NỘI DUNG
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương I. Cơ sở lý thuyết
1. Cực trị hình học
1.1. Khái niệm
1.2. Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học
1.2.1. Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học
1.2.2. Một số kiến thức hỗ trợ để giải bài tập cực trị hình học
1.2.2.1. Bất đẳng thức tam giác

Các bài toán về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý
nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học THCS. Để giải quyết các
bài tập toán về cực trị người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các
biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải
quyết các bài tập toán loại này. Các bài toán cực trị đã gắn toán học với thực tiễn vì
việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường
đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều,
chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực
trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều
hoặc hình tròn, khối cầu,….Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và
nghiên cứu.Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc
trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học.
Chính vì vậy mà chuyên đề “Một số bài toán về cực trị hình học” rất thiết
thực với những ai muốn tìm hiểu về toán sơ cấp. Đây là một trong những phần rất
phức tạp khó hiểu nhưng khi đi sâu vào tìm hiểu chúng thì mỗi người lại cảm thấy
thú vị nhờ tính độc đáo, thấy được cái hay ở trong các dạng toán. Mỗi dạng sẽ có
những phương pháp giải khác nhau mang tính chất khoa học tư duy lôgic cao.
Là một sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, là một giáo viên
giảng dạy trong tương lai thì việc truyền tải kiến thức, tìm ra cách giải toán nhanh
gọn dễ hiểu là yếu tố rất cần thiết không thể thiếu. Vì vậy, để đảm bảo kiến thức
giảng dạy sau này, em đã chọn đề tài “Một số bài toán về cực trị hình học” . Đề
tài này chỉ giới thiệu về một số bài tập tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình
học phẳng và hình học vectơ.Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa.Và
cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp
khác nhau.
2. Mục đích nghiên cứu
- Bước đầu làm quen, tập duyệt nghiên cứu khoa học
- Nâng cao kiến thức về môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán
- Có cách nhìn tổng quát hơn môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán
- Lôi cuốn thu hút học sinh giáo viên tìm tòi các bài toán liên quan đến cực trị

PHẦN A: MỞ ĐẦU
PHẦN B: NỘI DUNG
PHẦN C: KẾT LUẬN
PHẦN D: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cực trị hình học
1.1. Khái niệm
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một
đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một
hình, diện tích của một hình v.v ) sao cho:
y
1
≤ y ≤ y
2
Trong đó y
1
, y
2
là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y đồng thời phải chỉ
rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y ) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu
y = y
1
hoặc cực đại y = y
2

1.2. Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học
1.2.1. Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học
Người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo hai cách sau đây:

A
B
P
h .1
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và
không trùng với AB ( h.1).
Kẻ OH ⊥ CD .
∆OHP vuông tại H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài
nhỏ nhất .

+Cách 2 :
H
O
A
B
P
h .2
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ⊥ AB
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất ⇔ OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP
OH = OP ⇔ H ≡ P
Do đó maxOH = OP
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
1.2.1.1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học :
“ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại
lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :
a) Bài toán về dựng hình .

1.2.2.4. Một số tính chất liên quan
1 Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một thì trong 2
cạnh còn lại cạnh đối diện với góc lớn hơn thi lớn hơn và ngược lại
2 Trong 1 tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé thì lớn hơn trung tuyến ứng với
cạnh lớn.
3 Nếu tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi thì cạnh cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh
bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn nhất khi cạnh bên lớn nhất.
1.2.2.5. Bất đẳng thức Cauchy và một số hệ quả
Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình
nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng
nhau.
• Với 2 số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Với n số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.2.2.6. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích
trong thực hay phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa
hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là
khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích
trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm
"góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học
Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ
nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của
không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm

r r
khác vector 0 . Ta có :
. | | .| |.cos( , )a b a b a b
=
r r r r r r
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG I: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ giữa đừơng xiên và đường vuông góc
Kiến thức sử dụng:A
B
H
C
h.4
a
A
B
H
K
a
b
h.5
A
B
C
h.3
a
1
) ∆ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC .
Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≡ C . ( h.3 )
a

·
AHE BEF
=
⇒
· ·
0
AHE AEH 90+ =
⇒
·
·
0
BEF AEH 90+ =
⇒
·
0
HEF 90
=

⇒ EFGH là hình vuông
Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên
là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai
hình vuông ABCD và EFGH.
∆HOE vuông cân : HE
2
= 2OE
2
⇒ HE = OE
2
Chu vi EFGH = 4HE = 4
2

= =
,
·
·
AMC BMK
=
⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK
Mặt khác DM ⊥CK
⇒ ∆DCK cân ⇒
µ µ
1 2
D D=
Kẻ MH ⊥ CD .
∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a
⇒ S
MCD
=
1
2
CD.MH ≥
1
2
AB.MH =
1
2
2a.a= a
2
S
MCD
= a

E
H
F
G
Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.
HAE= EBF còn suy ra
·
·
AHE BEF
=
Ta lại có
·
·
·
·
0 0
90 ê 90AHE AEH n nBEF AEH
+ = + =
Do đó:
·
0
90HEF =
. Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông.
Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là
hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà
hai hình vuông ABCD và EFGH.
HOE vuông cân:
2 2
2. . 2HE OE HE OE
= ⇒ =

MH CD⊥
. Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a.
1
. .
2
MCD
S CD MH
=
x
y
a
a
H
K
D
M
A
B
C
Do CD≥AB= 2a và MH= a nên:
2
1
.2 .
2
MCD
S a a a= =
2
.
MCD
S a CD Ax= ⇔ ⊥

AD
Do đó BE + CF lớn nhất
⇔
AD nhỏ nhất.
F
E
H
A
B
C
D
Đường xiên AD nhỏ nhất
⇔
hình chiếu HD nhỏ nhất.
Ta có HD≥ HB ( do
·
0
90ABD >
) và HD = HB khi và chỉ khi D≡B.
Kết luận: Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có
giá trị lớn nhất.
1.2.
Bài tập tương tự
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình
hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên
đường thẳng d.
Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.
Kết luận: d vuông góc AC tại A.
Câu 2 : Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác
đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng

·
·
COD BOA=

⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD
Mà AC +CD ≥ AD
⇒AC +AB ≥ AD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ∈AD
Kết luận: Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc
tia Ox sao cho OB = OC.
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí các
điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác
EFGH có chu vi nhỏ nhất.
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.12
A
E
D
F

Khi đó ta có EH//AC,FG//AC,
· ·
·
AEI EAI ADB= =
nên EF//DB , tương tự GH//DB
Kết luận:.Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các
đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13)
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các
điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH
có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
AEF vuông tại A có AI là trung tuyến
⇒
AI=
1
.
2
EF
K
I
C
A
B
D
F
H
E
G
Tương tự MC=