MỞ ĐẦU
1. lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên đường đổi mới, cần có những con người phát triển
toàn diện năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục
và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới về mọi mặt như:
Mục tiêu, chương trình, nội dung, phương pháp và tổ chức quản lý. Điều này đã
được khẳng định trong nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương
Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII. "Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả
các cấp, các bậc học, áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi d-
ưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Với mục tiêu đó hoạt động
dạy học không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho HS những kiến thức, kỹ năng
cơ bản mà còn đặc biệt quan tâm đến việc hình thành và phát triển tư duy sáng
tạo cho HS một cách hiệu quả.
Theo A.AStolia. Dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng như chức
năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng kiểm tra và đánh giá. Dạy học
bài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học
môn toán, khối lượng bài tập toán ở trường THCS rất phong phú và đa dạng, có
những bài toán đã có thuật giải, nhưng cũng có những bài toán chưa có thuật
giải. Đứng trước những bài toán chưa có thuật giải đó người GV cần gợi ý, h-
ướng dẫn HS tìm đường lối giải quyết bài toán là việc làm mà người GV phải th-
ường xuyên quan tâm chú ý. Bài tập toán là một trong những phương tiện dạy
học hết sức quan trọng, nhiều tài liệu lý luận dạy học toán đã xem bài tập là
phương tiện thực hành giúp HS hiểu sâu hơn về những kiến thức toán học, biết
phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Việc giải quyết những
vấn đề liên quan đến bài toán cực trị hình học chứa đựng nhiều tiềm năng phát
triển tư duy cho HS, giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng
tạo. Do đó việc dạy toán ở trường phổ thông bên cạnh truyền những thụ tri thức
khoa học cơ bản cần phải dạy cho HS suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn
đề, phát triển tư duy sáng tạo cho HS.
Việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho HS trong học toán có ảnh h-

duy sáng tạo cho HS thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở
trường THCS.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo
- Tìm hiểu về quá trình sáng tạo và năng lực tư duy sáng tạo của HS bậc
THCS trong học tập
- Lựa chọn các dạng toán về cực trị hình học có tác dụng rèn luyện tư duy
sáng tạo cho HS
- Xác định các biện pháp sư phạm cần thực hiện nhằm bồi dưỡng một số
yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS.
- Tiến hành làm thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu
quả của đề tài
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lí học, phương
pháp dạy học toán.
- Tìm hiểu về các sách báo, bài viết khoa học toán, các công trình nghiên
cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra khảo sát
- Khảo sát thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông bằng cách dự giờ, quan
sát việc dạy của GV và việc học của HS, thăm dò ý kiến GV.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành làm thực nghiệm sư phạm trên lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng.
- Phân tích, xử lý kết quả thực nghiệm để so sánh những kết quả thu đợc và
rút ra kết luận.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận
- Góp phần hệ thống hoá một số dạng toán cực trị hình học, làm sáng tỏ một
số vấn đề về tư duy sáng tạo, đa ra một số hướng tiếp cận để giải bài toán cực trị

hợp, việc nêu lên những vấn đề nhận định và tìm cách giải quyết chúng”. Từ
định nghĩa trên ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được
phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con
người nhằm phản ánh được đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát,
có tính gián tiếp.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu
từ nhận thức cảm tính. Dù tư duy có tính khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội
dung của tư duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, hình t-
ượng tổng quan,…).
1.1.1.2. Quá trình tư duy
Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn
biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản:
1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về
cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
Sơ đồ của quá trình tư duy do K.K.Platônôp xây dựng theo [33] như sau:
Nhs vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao
tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hoá và khái quát hoá.

lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đôi khi mâu
thuẫn nhau).
- Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đã biến thành một phơng thức mới.
- Kỹ năng sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biến phương thức
khác.
- Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [31]. Theo ông,
tư duy sáng tạo đặc trưng bởi chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo,
tính nhạy cảm….
Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư
duy sáng tạo. V. A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn các quan hệ đó dưới dạng
những vòng tròn đồng tầm. Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức
độ tư duy đi trớc là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau. Trong tư duy sáng tạo có
tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhng không phải tư duy tích cực đều là tư duy
độc lập và không phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo [31].
Nét nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra cái mới, điều mới này có thể mới
với người này mà không mới đối với người khác. Có thể quan niệm sự sáng tạo
đối với người học toán, nếu họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối và họ tự
tìm tòi độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa
từng biết. Trong quá trình học toán thì kỹ năng vận dụng kiến thức toán học là
quan trọng.
- Nhà trường phổ thông không những cung cấp cho HS những kiến thức
toán học mà còn luyện cho HS kỹ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo và
khả năng sáng tạo.
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và
sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho HS khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu
hiện ở các mặt như: khả năng tìm bước đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của
một bài toàn, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toàn).
Bài đọc trong SGK tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này

Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ
gốc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện t-
ượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối
quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều
phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái
độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo của tư duy có
các đặc trưng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận nh quy nạp, diễn dịch, tương
tự.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh
nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó có nhiều
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh
nghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từ trước…
- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
tạo, do đó có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS ta có thể cho các em giải một
số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố riêng
lẽ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh
chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây.
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần giải

∆
ABC vuông tại A. Gọi AH, AM theo thứ tự là đường cao, đường
trung tuyến của tam giác. Ta có BC = 2AM.
C
M
H
B
A
a
BC nhỏ nhất
⇔
AM nhỏ nhất
⇔
M
≡
H.Tức là BC = 2AH. Khi đó
∆
ABC vuông cân tại A. Suy ra cách dựng
các đường thẳng AB và AC:
Dựng đường thẳng a, điểm A
∉
a
a
C
H
B
A
Dựng AH
⊥
a

ABM =
∆
ACE (c.g.c )
⇒

BM = CE (1)
Dễ thấy M nằm giữa A và D nên
·
DMB
>
·
MBA
=
·
ACB
=
·
ABC
>
µ
D
. Trong
∆
MDB có
·
DMB
>
µ
D
nên DB > MB (2). Từ (1) và (2) suy ra:

·
AMB
>
·
'
AM B
. Ta nhận ra rằng
·
AMB
là góc nội tiếp chắn cung AB. Góc AM
’
B là
góc có đỉnh ngoài đường tròn (O). Ta dễ dàng so sánh được hai góc này
⇒
đpcm
* Khai thác bài toán:
O
C
D
M
M
'
B
A
Nhận xét 1: Chứng minh
·
AMB
lớn nhất không vận dụng gì đến cạnh bên
AD và BC của hình thang ABCD. Hãy mở rộng bài toán bằng cách thay đổi một
số dữ kiện của đề bài, chẳng hạn bỏ điều kiện “Hình thang ABCD” và đặt vấn đề

* Với
∀
M
∈
tia Ix:
·
'
AM B
<
·
'
BM I
<
·
BIM
(góc ngoài của
∆
BM
’
I). Mà
·
BIM
<
·
AMB
⇒
·
'
AM B
<

Thường thì những bài toán cực trị hình học luôn gắn liền với thực tiễn cuộc
sống, bởi vì việc đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất… Chính là đi
tìm cái tối ưu đặt ra trong cuộc sống và trong kỹ thuật.
Bởi sự đa dạng và thú vị, đặc biệt là sự ràng buộc của nó với các kiến thức
trong cả chương trình hình học và thậm chí là cả các kiến thức về bất đẳng thức
trong chương trình đại số.
Trong chương trình hình học ở bậc THCS các bài toán dạng này thường là
những bài toán khó, đòi hỏi HS phải tự tìm kết quả của bài toán. Đối với bài toán
cực trị hình học, thường có nhiều con đường để tìm ra lời giải, trong đó có cả
những cách ngắn gọn, hợp lý, đôi khi có có phương án sáng tạo, độc đáo. Do đó
chủ đề về toán cực trị hình học sẽ đem đến cho HS nhiều điều bổ ích và lý thú,
nhất là đối với HS khá và giỏi.
Bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có chung
một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng f nào đó (như độ dài, đoạn
thẳng, số đo góc, bán kính đường tròn, chu vi của một hình nào đó…) đạt giá trị
lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử cho hình H trên miền D:
a. Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn
nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi vị trí của hình H
*
trên miền D thì f
≤
M. (Với M
là hằng số cố định). Ta phải xác định vị trí của hình H
*
trên miền D sao cho f =
M
b. Khi tìm vị trí của H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất, ta
phải chứng tỏ: Với mọi hình H trên miền D thì f ≥ m. (Với m là hằng số cố định).
Ta phải xác định vị trí của H
*

sống.
1.2.3. Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học trong chương trình
toán THCS
Phát triển bài tập cực trị hình học là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ sung,
hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để được một bài tập mới có mức độ
phức tạp cao hơn.
Quá trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán có thể được tiến hành theo
nhiều con đường, có thể hoán đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kết
luận bằng cách cho gián tiếp qua các đại lượng trung gian hay thay đổi điều kiện
nào đó của bài toán.
Quá trình phát triển bài tập cực trị hình học đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ thể
như sau:
- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ sau:
* Các hướng phát triển bài tập ban đầu để được bài tập mới.
a. Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hoán đổi vị trí hoặc cho các đại l-
ượng một cách gián tiếp qua các đại lượng trung gian.
+ Cho A thông qua A
1
, A
2
…
+ Cho B thông qua B
1
, B
2
…
Tuỳ theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lượng có nhiều hay ít mối
quan hệ với các đại lượng trung gian. Ta có thể tóm tắt bài toán theo sơ đồ.
b. Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay yêu cầu tìm C
n

phơng pháp giải chúng.
+ Biện pháp: Từ bài tập cơ bản ban đầu đó phát triển thành bài tập mới GV
cần có những câu hỏi định hớng cho HS, hớng dẫn HS thay đổi mối quan hệ giữa
các đại lợng đã cho và đại lợng cần tìm để đợc những bài tập phù hợp. Tuỳ thuộc
vào mức độ phức tạp của bài tập mới mà mức độ rèn luyện kỹ năng lực t duy
sáng tạo cho HS đợc nâng lên, việc giải các bài tập mới phù hợp tạo điều kiện
cho HS vận dụng linh hoạt kiến thức để tự lực giải quyết thành công những tình
huống mới. Trong quá trình giải các bài tập HS phải vận dụng các thao tác trí tuệ
nh: So sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá. Chính vì vậy việc
giải bài tập mới đợc phát triển từ bài tập cơ bản là điều kiện để phát triển t duy
sáng tạo, tính độc lập trong suy nghĩ, tính kiên trì trong khắc phục khó khăn cũng
nh lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc.
- Kết thúc việc chữa một bài tập GV cần có những nhận xét về: Bài tập cơ
bản và lời giải của nó, những hớng có thể phát triển, cần nhấn mạnh quá trình bài
tập mới dù trực tiếp hay gián tiếp đếu coi trọng sử dụng phơng pháp giải bài toán
cơ bản.
Mức độ 2: Phát triển bài tập cơ bản ban đầu thành bài tập mới không có sự
định hớng của GV với độ phức tạp cao hơn.
+ Đối tợng: HS giỏi, HS lớp chuyên có kiến thức chắc chắn và có tính sáng
tạo.
+ Yêu cầu đối với mức độ 2:
- HS nắm đợc mức độ 1, tự đặt ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề mà họ đặt
ra.
- HS tự đặt ra trớc những bài toán khi phát triển bài toán cơ bản và phơng
pháp giải chúng.
- HS giỏi nhận định, phân tích những bài toán cơ bản chứa đựng trong bài
tập mới.
+ Biện pháp: GV không sử dụng những câu hỏi định hớng mà yêu cầu HS
trực tiếp phát triển bài toán dựa trên bài toán cơ bản rồi GV yêu cầu những HS
khác cho hớng giải, hoặc nhận định những yếu tố liên quan bài toán ban đầu rồi

n
≤ A
1
A
2
+ A
2
A
3
+… + A
n-1
A
n
, dấu “=” xảy ra ⇔ A
1
, A
2
… A
n
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
• Bất đẳng thức trong đờng tròn:
- Trong tất cả các dây cung của đờng tròn, đờng kính là dây lớn nhất.
- Trong một đờng tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách
đến tâm lớn hơn và ngợc lại.
- Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở
tâm lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng
cung lớn hơn.
• Bất đẳng thức đại số:
- Giả sử ta có

n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
. Dấu “=” xảy ra
⇔ a
1
= a
2
= … = a
n
- Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có:
(ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
) . (x
2
+y
2
) Dấu “=” xảy ra
⇔ ay = bx
• Hệ thức lợng trong tam giác