Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định

Người viết: Nguyễn Quang Hoàng- THPT Vĩnh Định
A. GIỚI THIỆU BÀI VIẾT.
Dạy học các kiến thức mới cho học sinh, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy- học thật hợp lí với mục
tiêu chính là giúp cho HS nắm được các kiến thức trọng tâm của bài học. Thông qua đó, trang bị thêm cho
học sinh các “công cụ để giải toán”. Qua bài học “Tính đơn điệu của hàm số”- Giải tích lớp 12 Nâng cao,
tôi thấy rằng, bài học này có thể giúp cho HS làm quen và giải các dạng toán sau đây:
1. Xét tính đơn điệu của hàm số.
2. Chứng minh hàm số f(x) đã cho là đơn điệu trên một khoảng nào đó.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x;m) đơn điệu trên một khoảng K cho trước.
4. Vận dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh các bất đẳng thức một biến.
Ngoài ra, ứng dụng của tính đơn điệu có thể phát huy tác dụng trong các bài toán giải phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình. Dạng toán này xuất hiện đầu tiên ở câu chốt KA 2010, và từ đó đến nay,
các đề thi Đại học và thi thử Đại học cũng như các thầy cô và các bạn trẻ yêu toán đều sáng tạo và đưa ra
nhiều bài tập rất hay và thú vị. Một số bài toán nếu không dùng đến công cụ tính đơn điệu thì e rằng các cách
giải khác trở nên khó khăn hơn rất nhiều. Hi vọng qua bài giới thiệu này, quý thầy cố sẽ thấy được sự mạnh
mẽ của đạo hàm trong các bài toán PT, BPT và HPT.
Trong bài viết này, tôi giới thiệu về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải PT, BPT và HPT, mỗi
dạng toán đều có ví dụ mẫu và PP chung để tìm đường lối giải. Hi vọng rằng tài liệu sẽ phần nào giúp cho
HS bước đầu thấy được ứng dụng của đạo hàm trong đại số.
B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG TOÁN.
1. Định lí cơ bản: (dùng cho trên đoạn)
* “ Nếu hàm số
 
y f x
liên tục trên
 

2.1) Phương trình
()f x a
có nhiều nhất một nghiệm trên K. (Dùng giải PT bằng PP đạo hàm)
2.2) Nếu f(u) = f(v) với
;u v K
thì u = v (Dùng cho giải HPT bằng đạo hàm)
2.3) Nếu f(x) đồng biến thì
( ) ( )f u f v u v  
; Nếu f(x) nghịch biến thì
( ) ( )f u f v u v  
(Dùng
cho giải BPT bằng đạo hàm)
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO VIỆC GIẢI PT- BPT-HPT

Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 3. Bài tập vận dụng:
3.1. Ứng dụng giải phương trình.
3.1.1. Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
2
4 1 4 1 1   xx
b)
3 sin 2 sin 1   xx

c)
3
1 4 5    x x x
d)

Xét hàm số
2
4 1 4 1   y x x
. Miền xác định:
1
;
2

 



D
.

Minh họa đồ thị

Đạo hàm
/
2
2 4 1
0
2
41
41
    


x
yx

.
b)
3 sin 2 sin 1   xx
. TXĐ:
DR
.
Đặt
sintx
, điều kiện
1t

x
y
O
1
2
1
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định Khi đó phương trình có dạng :
3 2 1   tt
3 1 2    tt
(2)
Dễ thấy:
+ Hàm số
( ) 3f t t
là hàm đồng biến trên
 
1;1D

có
/
1
( ) 0 1
21
   

f x x
x
nên hàm số đồng biến trên
 
1; 

Và hàm số
3
( ) 4 5   g x x x
. Đạo hàm :
/2
3 4 0      y x x D
hàm số nghịch biến trên
D
.
Phương trình (3) có dạng
( ) ( )f x g x
. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta
thấy
1x
thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm
1x


x x x
x x x

+ Với
2
2
22
0
10
1
0
1





  


    





  





  


     

  



    



x
xx
x x x
x
x x x x
1
1


  



x
x

2 1 2 1
()
2 1 4 1. 1




t t t
t t t
ft
t t t t t t t t

Nhn xột :
2 2 2
2 1 2 1 4 4 4 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0 t t t t t t t t t t

/
( ) 0 f x x
hm s ng bin trờn D.
Khi ú: (*)
( ) ( 1) 1 f x f x x x
vụ nghim. Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim.
3.1.2. S lc v PP gii.
Dng 1:
0Dạng ( ) , với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D. F x F x

Bc 1: a phng trỡnh (1) v dng:
()Fx 0

Bc 2: Xột hm s

v
()y g x

Ch rừ hm s
()y F x
l hm ng bin (nghch bin) v
()y G x
l hm nghch bin (ng bin)
Bc 3: oỏn c

F x G x
00
. Lỳc ú phng trỡnh (1) cú nghim duy nht
0
xx
.
Dng 3:
Dạng phơng trình ( ) ( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F u F v F x hoặc nghịch biến trên ; . Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất a b u v

Bc 1: a phng trỡnh v dng
( ) ( )F u F v
(1)
Bc 2: Xột hm s:
()y F t
.
Ch rừ hm s ng bin hay nghch bin trờn


5) 27x - 27x + 13x - 2 = 2 2 1x

 
32
6) x +3x + 4x +2 = 3 2 3 1xx

7)
2
4
2 1 2 1 1 2 3x x x x x       

3.2. Ứng dụng giải bất phương trình.
3.2.1. Ví dụ:
Giải các bất phương trình sau:
a)
9 2 4 5   xx
b)
22
2 3 6 11 3 1        x x x x x x

Hướng dẫn giải:
a)
9 2 4 5   xx
(1). Điều kiện:
90
2
2 4 0


  

0x
thì
( ) (0) 9 2 4 5     f x f x x
, nên
0x
là nghiệm bpt.
+ Nếu
20  x
thì
( ) (5) 9 2 4 5     f x f x x
nên
20  x
không là nghiêm
bpt.
Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là
 
0;T  
.
b)
22
2 3 6 11 3 1        x x x x x x
(2)
Điều kiện:
2
2
2 3 0
6 11 0
13
30
10

2
( ) 2  f t t t
. Ta thấy hàm số đồng biến trên
 
1;3

Từ (3) ta có
( 1) (3 ) 1 3 2        f x f x x x x

Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là


2;3T 
.
3.2.2. Sơ lược về PP giải.
Dùng tương tự như giải PT, chú ý tính đồng biến nghịch biến của hàm số để lấy dấu bất phương trình.
3.2.3. Bài tập vận dụng.
Giải các bất phương trình sau:
1) 1 3 4xx   

2) 5 1 3 4xx   

5
3) 3 3 2 2 6
21
xx
x
   



   


x x y
y y x

c)
 
 
 
32
32
32
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1

     


     


     


x x x x y
y y y y z
z z z z x


Ta có (I)
 
 
2
3
4
1 1 1
1

    






x x x
xy

Từ phương trình :
 
2
3
1 1 1    x x x
32
1 2 2      x x x x
(1)
Ta thấy hàm số
( ) 1f x x
là hàm đồng biến trên

3 2 3

   


   


x x y
y y x
(II). Điều kiện:
0
0





x
y

Ta có (II)
2
2
3 2 3
3 3 2

   



t
t
. Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) ta có
( ) ( )  f x f y x y

Lúc đó:
2
33  xx
(3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy
1x
là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm
1x
là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm
 
1;1

c)
 
 
 
32
32
32
3 3 ln 1




f x y
f y z
f z x
. Miền xác định:
DR

Đạo hàm :
/2
2
21
( ) 3 3 0
21

     

t
f x t x R
tt
. Suy ra hàm số đồng biến trên
D

Ta giả sử
 
;;x y z
là nghiệm của hệ và
 
max , ,x x y z

3.3.3. Bài tập vận dụng.
Giải các hệ phương trình sau.

5 4 10 6
2
1)
4 5 8 6
x xy y y
xy

  


   



3 3 2
2
3 4 2
2)
1 2 1
y y x x x
x y y

    


    





    


3 2 2
2 2 2
(4 y 1) 2(x 1) 6
5)
(2 2 4 1) 1
xx
x y y x x

   


    



32
3 2 3
2 5 3 3 10 6
6)
6 13 10
x y x y x x y
x x x y y

        

    

3 3 2
3
7 3 ( ) 12 6 1
9)
4 1 3 2 4
x y xy x y x x
x y x y

     


    



2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2 0
10) KA2010
4 2 3 4 7
y
x y x

    


    


      

Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định

    


    


3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
13)
1 3 2 0
x y y x
x x y y


   




2 2 4 2
2
( ) ( 1)
16)
4 5 8 6
x x y y y
xy2
2 2 2 2
7 2 1 10 8
17)
4 5 1 1 4 5
x x y
x y y x y x y y

       


        






   

     

  

3 3 2 2
3( ) 2 3( )
20)
( 2)(y 2) 4
x y x y x y
xy x

22
22
2 2 2 2 1
21)
2 2 2 0
x x x y y y
x y x y

      


    



42
3 2 3
( 2) y 4 0
22)


33
66
33
24)
1
x x y y
xy

22
22
2014
11
25)
2014
11
xy
xy
xy
xy












4
4
22
1 1 2
28) KA2013
2 ( 1) 6 1 0
x x y y
x x y y y

     


     

 Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định