ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy
các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách hệ
phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài
toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9.
Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình thì các em lại thấy khó
mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được
rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em
không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa
các đại lượng để hệ phương trình. Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản,
thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT, nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách
giải, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu
nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về
giải bài toán bằng cách hệ phương trình còn ít nên bản thân giáo viên và học sinh
cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các
trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Trường tôi đang giảng dạy là một trường liên cấp vùng cao TH&THCS Đại
Dực nên đa số các em đều là đồng bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất
hạn chế đặc biệt là về các môn khoa học tự nhiên, nhiều em đọc viết rất chậm khi
lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu môn Toán của các em tương đối còn yếu, còn
chậm.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS và qua sự trao đổi, học hỏi kinh
nghiệm của các đồng nghiệp trong trường và được sự động viên, giúp đỡ của các
đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm“Giải bài toán bằng cách
lập hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” của mình để cùng trao
đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán.

II. Nội dung
1. Chương trình 1: Tổng quan
1.1. Cơ sở lý luận
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành
khoa học. Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng:
“Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác
và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20,
nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí
“không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay
cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của
các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học
chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào
tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn
diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế
hiện nay. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người
học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá
trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích
2
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn
học có tính đặc thù cao là môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh.
Đặc biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh
tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em
học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một

thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng
có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy
cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân
loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp
của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán,
dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại
toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình các em mới
3
được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra hệ phương trình. Xuất phát
từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập hệ phương trình để giải toán, ngoài
việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả
năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất
lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi
thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra
những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị
lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp
học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình” ở lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập
hệ phương trình rồi giải hệ phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ
năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng
dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên,
không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một
phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu
làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong
muốn.

giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham
gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ
động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa
đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tất cả đều phải dựa
vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình. Cụ thể như sau :
Bước 1: Lập hệ phương trình gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình
- Tùy từng hệ phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận
dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính
chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số.
Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2.2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần
đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn
học sinh tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc
5
thật kỹ đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm

10xy x y= +
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là :
yx 10y x= +
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
( ) ( )
( ) ( )
10 10 63
7
9
10 10 99
y x x y
x y
x y
x y y x
+ − + =

− + =


⇔
 
+ =
+ + + =



Giải hệ ta được :
1
8
x

sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các
đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được
xem là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung
1
24
công
việc. Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần
thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1
1
x
x ngày (x > 0)
Đội B 1
1
y
y ngày (y > 0)
Cả hai
đội
1

ngày (x > 0)
Đội B 1 y
1
y
ngày (y > 0)
Cả hai đội 1
1
24
x y+ =
24 ngày
7
Hệ PT
1
24
3
.
2
x y
x y

+ =




=


Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức
tạp hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến

2
35
1
50
x
y
x
y

+ =




− =


Giải hệ ta được :
350
8
x
y
=


=

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương
trình dễ giải hơn
Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x (
,0 100x Z x
+
∈ < <
) và số chân chó là y (
,0 100y Z y
+
∈ < <
)
Theo đề ra ta có hệ phương trình :
100
36
2 4
x y
x y
+ =



+ =


Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần
lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải

với vận tốc 35 km/h thì đến muộn 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì
đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Hướng dẫn giải:
Nếu gọi quãng đường AB là x (km) ; thời gian dự định đi là y(giờ).
Thời gian xe đi với vận tốc 35 km/h ?
Thời gian xe đi với vận tốc 50 km/h ?
So sánh hai thời gian trên với thời gian dự định đi, từ đó lập ra các phương
trình?
Lời giải:
Gọi quãng đường AB là x (km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2.
Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì hết thời gian
35
x
giờ và đến muộn 2 giờ nên
ta có phương trình :
35
x
– y = 2.
Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên
ta có phương trình :
50
x
– y = -1.
Ta có hệ phương trình







x y
x y
− =



+ =



60
40
x
y
=

⇔

=

Bài 3. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300 km. Oâtô thứ
nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1
giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận ôtô I là x, vận tốc của ôtô II là y
Mối liên hệ giữa hai vận tốc này?
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường?
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường?
Tìm mối liên hệ giữa hai thời gian này?
Ta có hệ phương trình:

1 ( 2 )
5
x y
+

Ta có hệ phương trình:

( ) ( )
10
2
1 2 2
5
x y
x y x y
− =



+ = +


Giải hệ phương trình và kết luận?
Bài 5 : Một ô tô đi trên quãng đường từ A đến B gồm đoạn đường lên dốc, đoạn
đường nằm ngang và đoạn đường xuống dốc tổng cộng thời gian đi hết 5 giờ. Lúc
từ B về A ôtô đi hết 4 giơ 39 phút. Biết quãng đường nằm ngang dài 56 km, vận
tốc ôtô trên đường nằm ngang là 24km/h, vận tốc lên dốc( lúc đi cũng như lúc về)
là 16km/h, vận tốc xuống dốc( lúc đi cũng như lúc về) là 30km/h. Tính quãng
đường lên dốc và xuống dốc lúc đi?
Hướng dẫn cách giải:
Nếu gọi chiều dài quãng đường lúc lên dốc và xuống lúc đi là x và y km

là 30 phút. Tính thời gian ôtô đi trên AB, BC
3) : Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định.
Người đó tính rằng nếu đi với vận tốc 45km/h thì sẽ đến B chậm mất nửa giờ,
nhưng nếu đi với vận tốc 60km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường
và htời gian dự định đi ?
4) :Một canô xuôi một khúc sông dài 40km, rồi ngược khúc sông ấy hết 4,5giờ.
Biết thời gian canô xuôi 5km bằng thời gian canô ngược 4km. Tính vận tốc dòng
nước?
Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được
mối quan hệ giữa các đại lượng :quãng đường, vận tốc, thời gian và các đại lượng
này liên hệ với nhau bởi công thức : S = v.t
Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều
kiện của ẩn là luôn dương.
Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì thì lập phương trình:
Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế . Nếu chuyển động
trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau.
2.2.3.2. Dạng toán năng xuất lao động (sớm – muộn, trước – sau):
Công thức :
Tổng khối lượng công việc = năng suất . thời gian
Bài 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy
mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định là 3giờ. Còn nếu xe chạy
chậm mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. tính vận tốc, thời gian dự định và
quãng đường?
Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian dự định là x, vận tốc dự định là y, quãng
đường là x.y
Khi chạy nhanh tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương rtình ? (y+10). (x-3) =xy
Khi chạy chậm tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương rtình ? (y-10).(x+5)=xy
12



+ − =


Giải phương trình ta được x= 15 ; y =40
Bài tập tương tự :1) Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian
dự định. Nừu mỗi ngày làm tăng 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày, nếu mỗi
ngày làm giảm 3 dụng cụ thì xong muộn 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao ?
2) Để sửa một con mương, cần huy động một số ngươưì làm trong một số
ngày. Nừu bổ sung thêm 3 người thì thì thời gian hoàn thành rút ngắn được 2
ngày. Nếu rút bớt 3 người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính
số người được huy động và số ngày dự định hoàn thành cv
3) Trong một trang sách, nếu tăng thêm 3 dòng, mỗi dòng bớt đi 2 chữ thì số
chữ trong mỗi trang không đổi ; nếu bớt đi 3 dòng, mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì
số chữ trong mỗi trang cũng không đổi. Tính số chữ trong mỗi trang
Bài 2: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã
vượt mức kế hoạch là 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch là 10% do đó cả
hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ.
Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?
Hướng dẫn: Nếu gọi số dụng cụ phải làm là x và y
Biểu diễn số sản phẩm vượt mức của hai xi nghiệp theo ẩn?
Tổng sản phẩm vượt mức? Lập phương trình, hệ phương trình?
360
12 10
400 360
100 100
x y
x y
+ =

( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 3 6
x y xy
x y xy
+ − =


+ − = +


Bài 5: Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm trong 20 ngày, phân xưởng II làm
trong 15 ngày, được tất cả 1600 dụng cụ. Biết số dụng cụ phân xưởng I làm trong 4
ngày bằng số dụng cụ phân xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số dụng cụ mỗi phân
xưởng đã làm.
HD: Gọi số dụng cụ phân xưởng I, II đã làm trong một ngày là x, y
Hpt:
20 15 1600
4 5
x y
x y
+ =


=

x=50, y=40 Vậy số dụng cụ phân xưởng I đã làm là:
20.50=1000 Vậy số dụng cụ phân xưởng II đã làm là: 15.40=600
2.2.3.3. Dạng toán về công việc ( “làm chung – làm riêng”, vòi nước chảy)

x y
x y

+ =




+ =


14
Giải hệ phương trình ta được x=12 ; y= 18
Bài 2 . Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ.
Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt
công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao
lâu?
Giải:
Gọi thời gian đội I làm xong công việc một mình là x (giờ). x>12.
thời gian đội II làm xong công việc một mình là y (giờ). x>12
Mỗi giờ tổ I làm được 1/x công việc, đội II làm được 1/y cv
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
1 1 1
12
4 4 10
1
x y
x y y

+ =

12
4
=+
x
Giải phương trình ta được x = 15
Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ.
Bài 3: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được
5
4
hồ. Nếu vòi A
chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy
một mình mỗi vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Hướng dẫn: Gọi thời gian vòi A chày một mình đầy bể là x
Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y
Trong 1 h vòi A chảy được 1/x bể
Vòi B chảy được 1/y bể
Ta có hpt :
2 3 4
5
3 1,5 1
2
x y
x y

+ =



mỗi máy làm một mình thì xong cv đó trong bao lâu?
2) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4 giờ 48 phút đầy
bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3/4
bể. tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút đầy
bể. Nếu vòi I chảy trong 10 phut, vòi II chảy trong 12 phut thì cả hai vòi chảy
được 2/15 bể. tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
4). Hai người thợ làm chung một công việc thì sau 7h12’ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm trong 5h và người thứ 2 làm trong 6h thì cả 2 người chỉ làm được 3/4
công việc. Hỏi một người làm công việc đó thì sau bao lâu thì xong.
5) Hai người làm chung một công việc thì 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau
khi làm chung 12 ngày thì nguời thứ 2 đi làm việc khác còn người thứ nhát tiếp tục
làm công việc đó. Sau khi đi được 12 ngày thì người thứ nhất nghỉ, người thứ 2
quay về một mình làm tiếp công việc còn lại trong 6 ngày thì xong. Hỏi làm riêng
thì mỗi người làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?
2.2.3.4. Dạng toán về tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)
Bài 1 : Hai cửa hàng có 600(l) nước mắm. Nếu chuyển 80(l) từ cửa hàng thứ nhất
sang cửa hàng thứ hai thì số nước mắm ở cửa hàng thứ hai sẽ gấp đôi số nước mắm
ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi lúc đầu mỗi cửa hàng có bao nhiêu lít nước mắm?
Hướng dẫn: Gọi số nước mắm ở mỗi cửa hàng lúc đầu là x, y lít
Tổng số nước mắm ở cả hai cửa hàng là bao nhiêu?Ta có ngay phương trình nào?
(x+y=600)
Sau khi chuyển thì số nước măm ở mỗi cửa hàng là bao nhiêu lít? Tìm mối liên hệ
giữa các đại lượng đó để lập phương trình?
Ta có hệ phương trình nào?
600
2( 80) 80
x y
x y
+ =

x y
x y
=


− = +

Bài 3: Khối 8 và khối 9 của trường có 300 hs tham gia đồng diễn thể dục. Nếu
chuyển 20 hs từ khối 8 sng khối 9 thì 2/3 số hs khối 8 sẽ bằng 4/9 số hs khối 9.
Tính số hs của mỗi khối tham gia đồng diễn thể dục?
HD:Gọi số hs khối 8, khối 9 là x và y .Khi chuyển thì số hs của khối 8 và khối 9
lần lượt là: x-20 và y+20
Hpt:
300
2 4
( 20) ( 20)
3 9
x y
x y
+ =



− = +


2.2.3.5. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy. Sang tháng
thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm được
945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?


+ + + =


Bài tương tự: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí
nghiệp I đã vượt mức 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó cả hai
17
xớ nghip ó lm tng cng 400 dng c. Tớnh s dng c mi xớ nghip phi lm
theo k hoch.
Bi 3: Nm ngoỏi tng s dõn ca hai tnh A v B l 4 triu ngi. Dõn s tnh A
nm nay tng 1,2%, cũn tnh B tng 1,1%. Tng s dõn ca c hai tnh nm nay l
4 045 000 ngi. Tớnh s dõn ca mi tnh nm ngoỏi v nm nay?
HD : Gọi số dân tỉnh A và B năm ngoái là x, y
Hệ phơng trình:
4000000
1, 2% 1,1% 4045000
x y
x x y y
+ =


+ + + =

Bài 4: Hai trờng A và B của một thị trấn có 210 hs lớp 9 thi đỗ lớp 10 đạt tỷ lệ
84%.Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90%.Tính xem mỗi trờng có bao
nhiêu hs lớp 9 dự thi. HD:Gọi số hs dự thi của trờng A, trờng B lần lợt là x, y
Tổng số hs dự thi của cả 2 trờng là: 210:84%=250
Hệ phơng trình:
250
80 90


( ) ( )
1
2
1 1
13 2 3
2 2
y x
xy x y

=




+ = +


Bi 2: Mt khu vn hỡnh ch nht cú chu vi l 280 m. Ngi ta lm li i xung
quanh vn (thuc t trong vn) rng 2 m. Tớnh kớch thc ca vn, bit rng
t cũn li trong vn trng trt l 4256 m
2
.
HD:Gi cỏc kớch thc ca vn l x, y
Biu din chu vi ca hỡnh ch nht theo n? Lp phng trỡnh?
Khi lm li i thỡ cỏc kớch thc ca vn cũn li nh th no?Din tớch ca nú?
Lp phng trỡnh ?
H phng trỡnh:
( )
( ) ( )

HD: Gọi các kích thước của vườn là x, y
Diện tích là xy
Hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
10 5 500
15 9 600
x y xy
x y xy
+ + = +


− − = −


Bài 4: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm
thì diện tích tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ
giảm đi 32 cm
2
. Tính hai cạnh góc vuông.
HD: Gọi hai cạnh góc vuông lần lượt là x, y
Diện tích là
1
.
2
xy
Hệ phương trình:
( ) ( )

=+
ba1034ab
13ba
Giải hệ ta có a=7,b=6 ( thoả mãn)
Vậy số cần tìm là 76.
Bài 2: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử lên 3 đơn vị và giảm
mẫu số đi 4 đơn vị thì được phân số bằng 3/ 4. Tìm phân số ban đầu
*) Hướng dẫn
Gọi tử là x , mẫu là y
Tìm phân số mới khi tăng tử lên 3 đơn vị và mẫu giảm đi 4 đơn vị
Ta lập bảng
Lúc đầu Sau khi tăng, giảm
Tử x x + 3
Mẫu y y- 4
Hệ phương trình:
11
3 3
4 4
x y
x
y
+ =


+

=

−


mới là: (16- x)x
Theo đề bài số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị, nên ta có phương trình:
x( 16- x) + 18 = (16- x)x

⇔
10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x

⇔
10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x

⇔
18x = 126

⇔
x = 7 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16- 7 = 9
Vậy số phải tìm là 79
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị
*) Khai thác: Có thể thay đổi dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của
nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị,
khi đó ta cũng có cách giải tương tự.
Ví dụ: Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn gấp ba lần chữ số hàng
đơn vị, khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì thì được số mới nhỏ hơn số đã cho là
36
Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị x (
)90
≤<
x
chữ số hàng chục là 3x
Số phải tìm có dạng (3x)x = 30x + x

1): Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
HD: Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị lã và y.
Hệ phương trình:
11
(10 ) (10 ) 27
x y
y x x y
+ =


+ − + =

2): Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của
nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư
là 3.
HD: Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị là x và y.
( )
10 7
(10 ) .4 3
x y y
x y x y
+ =



+ = + +


3): Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của

bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
HD: Gọi tử và mẫu là x và y.
Hệ phương trình:
1 3
1 2
4
1
4
x x
y y
x x
y y
−

= +

−


+

= −

+

5) Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 5
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số cũ 45 đơn vị

- Một số em học sinh từ trung bình trở lên có thể phát hiện được cách làm
tuy trình bày chưa được hoàn mỹ lắm.
- Thấy rõ mối liên hệ giữa thực tế và toán học.
@ Kết quả kiểm tra cuối năm lớp 9 Trường TH&THCS Đại Dực
Giỏi Khá Trung bình Yếu
0 8/21 = 38,1% 11/21 = 52,4% 2/21 = 9,5%
@ Tóm lại sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy học sinh có chuyển biến
theo chiều hướng tích cực rõ rệt. Cụ thể, theo bảng kết quả trên, đa số học sinh đã
có kỹ năng giải tốt bài tập và có thể tự làm chính xác mỗi dạng bài tập. Kết quả
học tập của bộ môn toán của học sinh có sự thay đổi theo chiều hướng tiến bộ.
2.4. Rút ra bài học kinh nghiệm
2.4.1. Bài học chung
Qua những năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ở trường tôi thấy rằng để giúp
học sinh hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc giáo viên cần nghiên cứu kĩ các
bài tập và cơ sở lý thuyết để giải các bài tập đó thì giáo viên cần phải hướng dẫn
học sinh học một cách dần dần từ những bài dễ đến các bài khó, có thể chỉ thay đổi
một vài ý nhỏ của bài toán để học sinh luyện tập sau đó mới nâng dần độ khó của
các bài tập.
2.4.2. Bài học riêng
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ đạt được kết quả tốt khi học sinh đáp ứng được các
yêu cầu sau:
- Nắm chắc quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Có kĩ năng giải phương trình thành thạo
- Có vốn kiến thức nhất định về những môn học khác để hiểu đúng những
câu chữ trong đề bài từ đó hiểu đúng đề bài.
2.4.3. Bài học thành công
22
Tôi đã đem sáng kiến kinh nghiệm này để giảng dạy ở trường vẫn dạy theo
cách thông thường là theo kiểu cuốn chiếu các bài toán trong sách giáo khoa. Kết
quả thu được ở một số bài kiểm tra khá tốt.

học sinh.
Được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong trường tôi
đã cố gắng tìm tòi, học hỏi và chọn ra một hệ thống bài tập tương đối phù hợp để
minh hoạ cho sáng kiến kinh nghiệm này.
Trong quá trình viết sáng kiến này do điều kiện hạn hẹp về thời gian và kinh
nghiệm, năng lực của bản thân còn hạn chế nên các bài tập đưa ra mới chỉ mang
tính chất giới thiệu nhằm trao đổi với các đồng chí để cùng các đồng chí rút kinh
nghiệm qua các giờ dạy thực nghiệm. Vì vậy kinh nghiệm này chưa thể đạp ứng
đầy đủ nhu cầu của người đọc. Tôi mong rằng sẽ được tiếp thu những ý kiến đóng
góp quý báu của các đồng chí để sáng kiến này được hoàn chỉnh hơn.
23
2. Kiến nghị
2.1. Đối với cấp trường
- Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm hơn nữa trong việc đầu tư cơ sở
vật chất, trang thiết bị dạy học, sách tham khảo, tài liệu nâng cao.
- Chỉ đạo các tổ chức nhà trường tổ chức nhiều hoạt động nhằm thu hút học
sinh tới trường
- Phối hợp tốt với địa phương, với phụ huynh học sinh trong việc quan tâm
đôn đốc, tạo điều kiện cho các em học sinh đi học đều, đầy đủ.
2.2. Đối với cấp phòng
- Đề xuất với cấp trên có nhiều hơn nữa các chế độ, chính sách để động viên,
khuyến khích đối với học sinh vùng cao nhằm thu hút các em tới trường.
IV. Tài liệu tham khảo – phụ lục
1. Tài liệu tham khảo
SST
Tên tài liệu Tác giả
1 SGK Đại số 9
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên )
Tôn Thân (chủ biên)
và nhóm tác giả

một số đồng nghiệp (NKTH).
8
Chuyên đề bồi dưỡng Đại số
THCS 9
Nguyễn Mạnh Uyên Minh

24
2. Phụ lục
Nội dung Trang
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Thời gian địa điểm
4. Đóng góp mới về mặt thực tiễn
II. Nội dung
1. Chương trình 1: Tổng quan
1.1. Cơ sở lý luận
1.2. Cơ sở thực tiễn
2. Chương II: Nội dung nghiên cứu
2.1. Thực trạng
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình”
2.2.2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình
2.2.3. Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình
2.2.3.1. Dạng toán chuyển động
2.2.3.2. Dạng toán năng xuất lao động (sớm – muộn, trước – sau):
2.2.3.3. Dạng toán về công việc ( “làm chung – làm riêng”, vòi

10
10
12
14
16
17
18
19
22
22
22
22
22
23
23
23
24
24
25