1 BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC
(DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC)

2

Chơng 1
Tập hợp Số Tự Nhiên
Đ.1.
Phép toán hai ngôi trên một tập hợp .
1.1.Phép toán hai ngôi :
Cho tập hợp X


. Mỗi ánh xạ :
XXXt

ì
:

- x

X gọi là phần tử đối xứng phải của x nếu : x*x

= e
- x

X gọi là phần tử đối xứng ( phần tử nghịch đảo , phần tử đối ) của x nếu
x * x

= x

*x , với mọi xX .
Đối với phép cộng ( + ) ký hiệu phần tử đối xứng của a là -a .
Đối với phép nhân (.) ký hiệu phần tử đối xứng của a là a
-1
(phần tử nghịch đảo ).

3

c) Phần tử chính qui :
Cho X , phép toán * ,
- x X gọi là chính qui bên trái nếu : x*y = x* z thì y = z .
- x X gọi là chính qui bên phải nếu : y*x = z* x thì y = z .
- x X gọi là chính qui nếu x là chính qui bên trái và chính qui bên phải .
1.4. Bộ phận ổn định phép toán cảm sinh .
-A X , A là ổn định đối với phép toán * trong X ,
nếu với mọi x , yA thì x*y A và * là phép toán cảm sinh trong A .

Đ.2.

nghịch đảo a trong A .
2.3. Vành
Định nghĩa :Tập R cùng với hai phép toán ( ta thờng ký hiệu là + và . ) là một
vành , nếu thoả mãn :
(i) (R, + ) là một nhóm aben .
(ii) ( R , . ) là một nửa nhóm .
(iii) Giữa phép cộng và phép nhân có tính chất phân phối :
a. (b + c ) = ab + ac và ( b+ c ) a = ba + ca ; với mọi a,b,c R .
Hơn nữa nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì R là vành giao hoán .
Phép nhân có phần tử đơn vị thì R là vành có đơn vị .
2.4. Trờng :
Định nghĩa : Cho ( T , + ,. ) là một vành .
Ta nói T là một trờng , nếu (T \
{
}
0
, . ) là một nhóm aben .
Định lý 3.1 Giả sử ( R , + , . ) là một vành , khi đó với mọi a,b,c R , luôn có :
(i) a. (b - c ) = ab - ac và ( b- c ) a = ba - ca .
(ii) a.0 = 0 .
(iii) a(-b) = (-a ).b = - ab ; (- a ).( - b ) = ab .
Định lý 3.2. Cho R là một vành và a,b ,c R. Khi đó các phát biểu sau là tơng
đơng :
(i) Nếu ab = 0 thì a =0 hoặc b =0 .
(ii) Nếu a 0 và b 0 thì ab 0 .
(iii) Giả sử c 0 . Nếu ac = bc thì a = b ; nếu ca = cb thì a =b .
(iv) ab = 0 và a 0 thì b = 0 .
Cho R là một vành . Bộ phận A của R là vành con của vành R , nếu A
cùng với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một vành .
Định lý 3.3. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R . Khi đó các mệnh

Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có:
A A (tính chất phản xạ)
Nếu A B thì B A (tính chất đó xứng)
Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu)
Chứng minh:
- Ta đã biết ánh xạ đồng nhất 1
A
: A A là một song ánh. Điều đó
chứng tỏ, theo định nghĩa A A
- Nếu A B thì có song ánh f : A B . Ta đã biết nếu f là song ánh thì
f có ánh xạ ngợc f
-1
: B A cũng là một song . Song ánh f
-1
chứng tỏ B
A.

6

- Nếu A B thì có song ánh f : A B , nếu B C thì có song ánh
g : B C . Tích g.f của hai song ánh f, g cũng là một song ánh từ A lên C .
Song ánh này chứng tỏ A C.
Ta nhận thấy quan hệ có cùng lực lợng giữa các tập hợp có cả ba tính
chất của một quan hệ tơng đơng. Nh vậy ta có thể phân lớp các tập hợp : các
tập hợp có cùng lực lợng có cùng một lớp. Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác
định thuộc tính đặc trng về lực lợng của một tập hợp.
Thuộc tính đặc trng xác định mỗi lớp gọi là bản số của tập hợp. Các tập
hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng lực lợng(bản số còn đợc gọi
là lực lợng). Bản số của tập hợp A ký hiệu là Card(A). Ta có thể viết
Card(A) = Card(B) A B

Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử thì car (X) = n .
Thừa nhận N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , n, }
3.4 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
- Cho X = {1, 2, 3, 4}; U = {m, n, p}.Tập U X
1


X nếu tồn tại đơn ánh thực
sự f từ U đến X. Hay f(U)

X và U f(U) .
- Định lý Căng to: Nếu X và Y là hai tập hợp bất kỳ thì:
1- Hoặc X Y
1


Y , hoặc Y X
1


X
2- Nếu X Y
1


Y và Y X
1

X thì X Y
-Phát biểu dạng tơng đơng:

Chứng minh:
1) Quan hệ "

" là quan hệ thứ tự bộ phận, thỏa mãn:
-Tính chất phản xạ : Giả sử x= card(x) ,

x

X , luôn có X

X

x

x.
-Tính chất phản xứng: Giả sửb x= card(x), y = card(Y) , nếu có đồng thời x

y
và y

x , tức có X Y
1


Y và Y X
1

X , tức X Y . Do đó x = y.
-Tính bắc cầu: Nếu có x= card(X), y = card(Y), z = card(Z) , mà x




X

y

x
3.5 Số liền sau: x, y

N sao cho x= card(X) , y = card(Y) và X

Y
Định nghĩa: Gọi y là số liền sau của số x

Card ( Y\ X) = 1. Ta cũng nói x là
số liền trớc của y. ( hai sốliền nhau).
Số liền sau của số tự nhiên x thờng ký hiệu là x
'

Rõ ràng tập hợp X \Y là tập đơn tử. Do đó bản số của nó là 1.
Ta có x < x' hay x' = x + 1. Số 1 là liền sau của số 0. Hay 0' = 1, , n' = n
+ 1,

n

N.
- Tính chất của số liền sau :
+ Mọi số tự nhiên x có một số liền sau. Giả sử x = card(X). Xét tập {X} là tập
đơn tử mà phần tử là tập X. Rõ ràng {X} không phải là phần tử của X.
Lúc đó Y = X {X} cũng là một tập hợp hữu hạn và ta có Card(Y-X) =

Vậy không thể có số tự nhiên y ở giữa hai số x và x
'
.
Tính chất trên còn có thể phát biểu dạng khác: x và y là hai số tự nhiên nếu x < y
thì x'

y (x' là số liền sau của x)
Với khái niệm số liền sau và các tính chất nêu trên, ta có dãy các số tự nhiên
quen thuộc: 0, 0' = 1, 1' = 2 , 2' = 3, , n' = n + 1,
- Một số tính chất cơ bản khác
Định lý1: ( Tiên đề qui nạp). Nếu M là bộ phận của tập hợp các số tự nhiên thỏa
mãn hai điều kiện:
1) 0

M
2) Nếu x

M thì x'

M (x' là số liền sau của x). Khi đó M = N.
Định lý 2: Mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất.
Chứng minh: Giả sử M

N , M


. Ta chứng minh M có số nhỏ nhất. Nghĩa
là tồn tại số m

M , mà m


N.
Ta chứng minh m

M. Thật vậy , nếu m

thì từ m

x,

x

M ( Do m


M') ta phải có m <x,

x

M. Từ m < x ,

x

M ta lại có m'

x ,

x

M .

2n


n
1
,n
2


N , giả sử n
1


n
2


2n
1


2n
2
hay f(n
1
)

f(n
2
) , f là đơn ánh. Mỗi

,
, khi dó tồn tại hai tập hợp hữu hạn A,B sao cho a =
card(A) , b = card(B) . Ta có : a.b = card(A
ì
B) , b.a = card(B
ì
A) .
Ta chứng minh (A
ì
B) ~ (B
ì
A).
Thật vậy : xét ánh xạ f: (A
ì
B) (B
ì
A)
(a,b)

(b,a)
Rõ ràng f là song ánh Giả sử ( a
1
, b
1
) , (a
2
,b
2
)








21
21
bb
aa
f((a
1
, b
1
))

f((a
2
, b
2
))

11

f là toàn ánh , vì mỗi (b,a)
)( AB
ì

luôn có cặp (a,b)
)( BA


,,
, khi đó

các tập hữu hạn A, B, C sao cho card(A) = a,
card(B) = b, Card(C) = c và A

B = A

C = B

C =

, ta có :(A

B)

C
= A

(B

C)

Card((A

B)

C) = Card(A


ì
C ~ A
ì
(B
ì
C)

card((A
ì
B)
ì
C) = card(A
ì
(B
ì
C))
hay (a.b).c = a.(b.c)
Đ
4. Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên
.
4.1 Phép cộng và phép nhân.
Định nghĩa phép cộng và phép nhân: Cho a,b là hai số tự nhiên và A, B là hai tập
hữu hạn sao cho a = card ( A) , b = card ( B) .
- Phép cộng: Giả sử A B = , khi đó c = card ( A

B ) gọi là tổng của a và
b. ký hiệu là : a+b = c . Qui tắc cho phép xác định tổng của hai số tự nhiên a,b
gọi là phép cộng gọi là phép cộng các số tự nhiên .
Từ định nghĩa suy ra muốn cộng nhiều số tự nhiên với nhau ta cộng hai số với
nhau, cứ nh vậy cho đến hết.


B = B

A, A

B =


Thiết lập ánh xạ f: A
ì
B B
ì
A
(a,b)

(b,a) . Ta chứng minh f là song ánh

A
ì
B B
ì

A. Do đó Card( A
ì
B) = Card ( A
ì
B) . Vậy ab = ba Đợc chứng minh.
- Tính chất kết hợp:
- ( a + b ) + c = a + ( b + c)
- ( a.b ).c = a. ( b. c)




Có nghĩa là số 0 là phần tử trung lập của phép cộng, số 1 là phần tử trung lập của
phép nhân.
Chứng minh;
Ta có 0 = card

, A


=



A ,

A nên có a + 0 = 0 + a = a.
Tơng tự f: {x}
ì
A A , ta chứng minh đợc f là song ánh. Do đó a.1 = 1.a
= a
(x,a)

a
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
- a.(b+c) = a.b + a.c
- (b + c) .a = ba + ca

13

Định nghĩa : Cho a,b

N , nếu có số tự nhiên x sao cho : b + x = a thì ta nói
rằng có phép trừ a cho b và x gọi là hiệu của a và b. Ký hiệu là x = a - b .
Định lý: Với mọi số tự nhiên a,b nếu b

a thì tồn tại duy nhất số tự nhiên c sao
cho b + c = a.
Chứng minh: Vì b a nên tồn tại hai tập hữu hạn A, B sao cho B

A và
cardA= a, Card(B) = b .Khi đó A \ B là tập hữu hạn và B

( A \ B) =


Đặt c = Card(A \ B), c

N, b+ c = Card(B

( A \ B)) = card(A) = a. (tính
duy nhất suy ra từ luật giản ớc của phép cộng).
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: Với mọi a, b, c là các số tự
nhiên, mà c

b ta có:
- a.(b - c) = ab - ac
- (b - c) a = ba - ca
Chứng minh:
Theo định nghĩa phép trừ có: c+ ( b- c ) = b. Do đó a[c + (b - c )] = ab.

18 = 180.
4.3 Định nghĩa phép chia:
4.3.1 Định nghĩa phép chia hết: Cho số tự nhiên a, b và b 0 . Nếu có một số
tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b ký hiệu
là a

b, khi đó a gọi là bội của b, b là ớc của a.
Khi a

b ta còn nói b chia hết a. Ký hiệu b\ a
- Từ định nghĩa suy ra:
Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0.
Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.
Quan hệ "\" là quan hệ thứ tự bộ phận trong N
*
.
Thật vậy:
Quan hệ chia hết có tính phản xạ :
*
Na
luôn có a

a
Tính đối xứng :

a,b

N* nếu có a

b và b

i
ii
xa
1
, x
i


N, i =
n
,1

Quan hệ thứ tự không là quan hệ thứ tự tuyến tính , vì

a,b

N* không có a \ b
hoặc b \ a.
4.3.2 Phép chia có d
Định lý:

a, b

N, b

0 ,

! q, r

N sao cho a = bq + r, 0

M và a < b(q + 1) = bq + b. Vậy có bq

a < bq + b.
Nếu lấy r = a - bq thì a = bq + r, với 0

r <b . Vậy tồn tại q, r

N.
- Tính duy nhất
Giả sử có q
1
, r
1
cũng thỏa đẳng thức a = bq
1
+ r
1
, 0

r
1
< b.
Vậy a = bq + r = bq
1
+ r
1
; 0

r, r
1

Nếu r

0 thì a = bq + r , q thơng hụt (thơng gần đúng), r là số d.
- Ví dụ1 : Khi chia 315 cho một số tự nhiên b ta đợc thơng hụt là 10.Hãy tìm
số chia và d.
Bài giải
Ta có 315 = b.10 + r, 0

r<b

r = 315 - b.10 , từ đó có:
0

315 -10.b < b

10b

315 <11b




<

b
b
11315
31510



n

có điều phải chứng minh.
- Trờng hợp 3: Nếu a : n d 2 thì a + (n -2)

n

có điều phải chứng minh 16

- Trờng hợp thứ n : Nếu a : n d n - 1 thì (a + 1)



có điều phải chứng
minh.
Vậy trong mọi trờng hợp đều có 1 số chia hết cho n.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng trong m số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số là bội của
m.
Giả sử a, a+1, a+2, ,a+(m-1) là m số tự nhiên liên tiếp, a

N. Thực hiện phép
chia có d của a cho m có a = mq + r , 0
r

< m
Nếu r = 0

1- a

a + b
2- Nếu a

b thì a + c

b + c và ngợc lại nếu b + c

a + c thì a

b
Chứng minh.
1. Là hiển nhiên
2. Chứng minh nếu a

b thì a + c

b + c. Thật vậy :
Giả sử a= cardA, b = cardB, c= cardC, A

C =

, B

C =

. Vì a<b nên
A


ngay b + c

a + c mâu thuẫn .

17

Tính chất tơng thích giữa thứ tự và phép nhân.
Với ba số tự nhiên tùy ý a,b,c ta có:
1- Với b

0 , a

ab
2- Nếu c

0 thì a

b

ac

bc và ngợc lại nếu ac

bc thì a

b
Chứng minh:
1- Giả sử a= cardA, b = cardB, c= cardC, theo giả thiết có A

B khi đó có

Không thể dùng kí hiệu này với mọi số tự nhiên. Ngời ta đã chọn 10 số tự
nhiên đầu tiên trong hệ thập phân : 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để biểu diễn số tự
nhiên a tuỳ ý.
1) Nếu a 9 thì a viết một trong 10 ký hiệu trên.
2) Nếu a = 9 ( Kề sau 9) áp dụng bổ đề 2 , đến bớc thứ n ta có
a = 10
n
q
n
+ 10
n-1
r
n -1
+ + 10r
2
+ r
1
, với 0 r
1
, , r
n
9.
Ta ký hiệu : a =
2 1
1

n
n
n
r

Giả sử a là số tự nhiên khác 0 ; g là một số tự nhiên lớn hơn 1, nếu
a = g
n
c
n
+ g
n-1
c
n -1
+ + g c
1
+ c
0
,
với n 0 , 0 ci g -1 , i=0,1, ,n và c
n
> 0
thì ta viết a =
1 1 0

n n
c c c c


và nói là sự biểu diễn số tự nhiên a trong hệ g - phân .
5.3 Thực hành phép tính trong hệ ghi cơ số g
Chú ý:
- Chỉ thực hiện trong cùng một cơ số
- Thực hiện nh trong hệ thập phân nhng đến g thì phải nhớ
5.3.1 Lập bảng cộng g = 6

1

1

2

3 4 5

10

2

2

3

4 5 10

11

3

3

4

5 10

11


.

0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10

12

14

3 0 3 10

13

20

23

4 0 4 12

20

24

32

5 0 5 14

23

g
=
n
0i =
∑
aigi = angn + an
+1
.gn
−1
+ + a
1
.g + ao.
- Dùng sơ đồ Horner
an an
-1
ao
g
x
an
+

an.g + an
−1

a
Ví dụ: a = (245)
6
= 2.6
2
+ 4.6 + 5 = 101.

8
Do đó: (1551)
6
= (653)
8
.

20

Đ. 6. Dấu hiệu chia hết

6.1.Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 :
Định lý: Một số chia hết cho 2 hoặc 5

chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho
2 hoặc 5
Chứng minh: Giả sử a =
011
cccc
nn
= c
n
10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ +10c
1

0


5 thì a

2 hoặc a

5
6.2.Dấu hiệu chia hết 4 và 25 :
Định lý: Một số chia hết cho 4 hoặc 25

số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó
chia hết cho 4 hoặc 25.
Chứng minh: Ta có a =
011
cccc
nn
= 10
2
(c
n
10
n-2
+ c
n-1
10
n-3
+ +c
2
) +10c

a =
011
cccc
nn
= c
n
10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ +10c
1
+ c
0

Lại có: 10
n
= ( 9+1)
n
= 9
n
+ c
1
n
9
n-1
+ + c
n-1





9
3


a
a
(c
n
+c
n-1
+ + c
1
+c
0
) chia hết cho 3 hoặc 9.
6.4.Dấu hiệu chia hết 11 :
Định lý: Một số chia hết cho 11

tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các
chữ số hàng lẻ là bội của 11.
Chứng minh: Ta biết lũy thừa của 10 có dạng 11q + 1 hoặc 11q - 1 . Thật vậy :
10
n
= ( 11 - 1)
n
= 11


10
n
= 11q + (-1)
n
=



=
+=+
knKhiq
knkhiq
2111
12111
, k là số tự nhiên.
Từ đó a =
011
cccc
nn
= c
0
+ c
1
(11q
1
- 1) + c
2
(11q
2

) - ( c
1
+ c
3
+ + c
2k+1
)
Ví dụ: Không chia , cho biết số 9873215 có chia hết cho 11 không?
Ta có tổng chữ số hàng chẵn là: 5

+ 2+ 7+ 9 = 23
Tổng chữ số hàng lẻ là: 1+ 3+ 8 = 12
Hiệu là 23 - 12 = 11 là bội của 11 . Vậy số 9873215

11
5.5 Dấu hiệu chia hết cho 8 hoặc 125
Định lý: Một số chia hết cho 8 hoặc 125

số tạo bởi ba chữ số cuối cùng của
nó chia hết cho 8 hoặc 125.
Chứng minh:
Ta có a =
011
cccc
nn
= 10
3
(c
n
10

012
ccc


25 thì a

8 hoặc a

125 . 22

Chơng 2
Tập hợp số nguyên
Đ.1.
Xây dựng tập hợp số nguyên


1.1. Đặt vấn đề :
- Sự ra đời của tập hợp số tự nhiên N : Khoảng 1550 năm TCN , đã có sự khảo
sát , nghiên cứu về phân số .
- Số âm : đợc nghiên cứu khoảng TK 16 - SCN.
- Về mặt toán học : Phơng trình a = x + b , khi nào có nghiệm do đó xây dựng
tập hợp số nguyên

.
1.2. Xây dựng tập hợp số nguyên

:


, nếu ( a,b)

ì( , )
a b
,
( , )
c d


:
( , )
a b
=
( , )
c d
a + d = b + c
1.3.Các phép toán trên

:
Đặt x =
( , )
a b
, y =
( , )
c d


là đại diện của y , khi đó :
( , )
a b
+
( , )
c d
=
' '
( , )
a b
+
' '
( , )
c d23

( , )
a b
.
( , )
c d
=
' '
( , )
a b
.
' '
( , )


4) Với x =
( , )
a b
thì - x =
( , )
b a


có
( , )
a b
+
( , )
b a
=
0

2.2.Định lý 2.
(

, .
) là một vị nhóm nhân giao hoán
Hớng dẫn c/m : x , y


; x =
( , )
a b
, y =

3) C/m : x , y , z

, ta có x.( y + z ) = xy + xz .
2. 4. Định lý 4.
vành số nguyên


không có ớc của
0
.
Nghĩa là : x , y


và x
0
, y
0
thì x.y
0
.
Thật vậy x =
( , )
a b
, y =
( , )
c d
a b , c d , x.y =
( , ).( , ) ( , )
a b c d ac bd da bc
= + +

- Nếu a < b b - a N : ( a, b ) ( 0 , b- a ) , đặt m = b a x =
(0, )
m

.
Chú ý :
Đặt
+

=
{
}
( ,0);
n n

;


=
{
}
(0, );
m m

.
Ta có
+
=







, do đó



.
Nh vậy x =
( , 0)
n
. Viết x = n .
4.3.Ký hiệu số nguyên :
4.3.1. Mỗi số nguyên là một sô tự nhiên hoặc là số đối của số tự nhiên .
4.3.2.


= { , -3 , -2 , -1, 0 , 1 , 2 , 3 , }
4.4. Phơng trình : b + x = a và phép trừ trong

.
Định lý : Phơng trình : b + x = a , a , b

luôn có nghiệm .
Do

là vị nhóm cộng , với mọi b

, tồn tại b



và x = -x .
5.2. Thực hành phép cộng trong

.

Giả sử x , y

, xét các trờng hợp
1) Nếu x, y

: x = n =
( , 0)
n

,y= m =
( ,0)
m

.
x + y =
( , 0)
n
+
( , 0)
m
= n +m
2) Nếu x, y


, y = - m =
(0, )
m
,
thì :
x + y =
( , 0)
n
+
(0, )
m
=
( , )
n m

, xảy ra :
- Nếu x y thì x + y = n m = x - y
- Nếu x < y thì x + y = - ( m n ) = - ( y - x )
5. 3. Thực hành phép nhân trong

.

Giả sử x , y

, xét các trờng hợp
1)Nếu x, y

: x = n =
( , 0)
n

m
=
( . ,0)
n m
= ( n . m) = x . y
3) x

, y


: x = n =
( , 0)
n

, y = - m =
(0, )
m
,
thì :
x . y =
( , 0)
n
.
(0, )
m
=
(0, . )
n m
= -
n .m = - x . y .