®¹I häc th¸i nguyªn
tr−êng ®¹I häc s− ph¹m
Khoa Ho¸ häc
TS Mai Xu©n Tr−êng
Ho¸ ph©n tÝch II vμ ®¸nh gi¸,
xö lý sè liÖu thùc nghiÖm
b»ng x¸c xuÊt thèng kª (TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ)



Bài giảng

Hoá phân tích II (Hoá học phân
tích định lợng
) v đánh giá, xử
lý số liệu thực nghiệm bằng
xác xuất thống kê

(3 tín chỉ = 45 tiết) Thái nguyên, 2011

1

I. Đối tợng, nội dung nghiên cứu, ý nghĩa, tầm quan trọng của hoá
phân tích định lợng
I.1 Đối tợng
Hoá học phân tích định tính nghiên cứu cấu tạo của vật chất xem chúng
đợc cấu tạo từ các nguyên tố hoá học nào, ion nào hoặc từ những hợp chất nào.
Hoá học phân tích định lợng xác định hàm lợng của các nguyên tố, ion có
trong hợp chất hay trong mẫu nghiên cứu.
I.2 Nội dung nghiên cứu
Hoá học phân tích định lợng xác định hàm lợng các nguyên tố, ion có
trong các hợp chất, các chất.
I.3. ý nghĩa, tầm quan trọng của hoá học phân tích định lợng
Hoá học phân tích nói chung và phân tích định lợng nói riêng có ý nghĩa
rất lớn đối với khoa học và đời sống.
- Với hoá học nó là cơ sở để nghiên cứu, để tìm ra các nguyên tố mới.
- Với các ngành khoa học khác: Khoáng chất học, địa chất học, sinh lý
học, vi sinh học, nông học và các ngành kỹ thuật . . . thì hoá học phân tích cũng
đóng vai trò hết sức quan trọng.
- Với sản xuất: Bất kỳ một nguyên vật liệu nào đợc dùng để sản xuất ra
một sản phẩm nào đó cũng cần đến hoá học phân tích để xác định thành phần
định tính cũng nh định lợng của chúng, biết đợc dữ kiện đặc trng cho chất
lợng sản phẩm.
II. Quá trình tiến hnh.
Để tiến hành phân tích định lợng một mẫu nghiên cứu theo phơng pháp
phân tích thể tích ngời ta thờng tiến hành theo các bớc sau đây:
1. Chọn mẫu đại diện. Tức là chọn một phần nhỏ chất tiêu biểu cho toàn
bộ đối tợng phân tích. Ví dụ: Khi tiến hành phân tích chỉ lấy độ vài gam mẫu

3
đại diện cho hàng tấn vật liệu, đây là điều khá phức tạp quyết định kết quả phân
tích.


4
Nếu một chất thiếu 1 trong 4 điều kiện trên thì chất đó không phải là chất
gốc.
+ Các phơng pháp tiến hành chuẩn độ bằng phơng pháp thể tích.
- Phơng pháp pipet: Dùng pipet để lấy dung dịch chuẩn hoặc chất nghiên
cứu.
- Phơng pháp chuẩn độ lợng cân riêng: Cân chính xác lợng chất chuẩn
trên cân phân tích rồi pha vào bình định mức dung tích nhất định. Sau đó dùng
chất nghiên cứu hoặc chất chuẩn để chuẩn độ nồng độ chất nghiên cứu.
III. Phân loại các phơng pháp phân tích định lợng
Dựa vào bản chất mà ngời ta chia phân tích định lợng ra làm 2 loại
chính: Phơng pháp hoá học và phơng pháp vật lý.
III.1. Phơng pháp vật lý
Các phơng pháp vật lý dựa trên việc đo một số tính chất vật lý nào đó (độ
hấp thụ ánh sáng, độ dẫn điện, . . .) của đối tợng phân tích. Tính chất này là
hàm của khối lợng hoặc nồng độ cấu tử trong mẫu phân tích vì vậy từ kết quả
đo có thể suy ra hàm lợng của cấu tử cần xác định.
Ví dụ: Cờng độ màu của dung dịch KMnO
4
tỷ lệ thuận với nồng độ của
chất này. Vì vậy đo độ hấp thụ ánh sáng của dung dịch ở 1 bớc sóng xác định
để suy ra nồng độ đơng lợng của Mn có trong dung dịch.
Tuy vậy thông thờng phải sử dụng phản ứng hoá học để chuyển cấu tử
phân tích thành dạng có tính chất vật lý thích hợp . Ví dụ chuyển Mn
2+
thành
MnO
4
-

Phân tích khí: Nếu cho thuốc thử R vào mà sản phẩm phản ứng có sinh ra
chất khí thì có thể tìm đợc lợng của nó bằng cách đo thể tích khí ở một nhiệt
độ và áp suất xác định rồi suy ra hàm lợng của cấu tử M.
Ngoài ra trong phân tích thể tích dựa vào bản chất của phản ứng hoá học
xảy ra ngời ta lại chia ra thành các phơng pháp trung hoà, phơng pháp oxihoá
- khử, phơng pháp kết tủa và phơng pháp tạo phức.
Phơng pháp phân tích khối lợng và phân tích thể tích đợc dùng đầu
tiên trong phân tích định lợng nên ngời ta còn gọi 2 phơng pháp này là
phơng pháp kinh điển.
Ngoài ra còn có phơng pháp vi sinh để định lợng vết các chất dựa trên
hiệu ứng của chúng với tốc độ phát triển của các vi sinh vật.

IV. Phạm vi áp dụng
Tuỳ theo kích thớc mẫu và hàm lợng cấu tử cần phân tích mà ta sử dụng
các phơng pháp phân tích tơng ứng.
Phơng pháp phân tích thể tích đòi hỏi xác định chính xác điểm kết thúc
chuẩn độ (điểm gần với điểm tơng đơng) vì vậy nếu hàm lợng của cấu tử cần
xác định nhỏ làm cho việc xác định điểm tơng đơng khó khăn thì ngời ta
cũng ít sử dụng phơng pháp này.

V. Cách biểu diễn kết quả phân tích định lợng v đánh giá kết quả
V.1. Biểu diễn hoá học
Ngời ta thờng biểu diễn cấu tử cần phân tích dới dạng tồn tại của nó
trong chất phân tích. Ví dụ nitơ đợc biểu diễn dới dạng NO
3
-
, NO
2
-
, NH

W
W
biểu diễn phần khối lợng cấu tử trong 100 phần khối
lợng mẫu.
+ % thể tích P
V
V
biểu diễn số phần thể tích cấu tử trong 100 phần thể tích
mẫu (ở nhiệt độ xác định).
+ % khối lợng - thể tích P
W
V
biểu diễn phần khối lợng cấu tử trong 100
phần thể tích mẫu, thờng dùng khi cần biểu diễn nồng độ % của chất rắn hoặc
chất lỏng nguyên chất trong một chất lỏng khác ở một nhiệt độ xác định.
+ % thể tích - khối lợng P
V
W
biểu diễn phần thể tích cấu tử trong 100
phần khối lợng mẫu, thờng dùng để biểu diễn nồng độ % theo thể tích chất
lỏng hoặc khí trong một khối lợng chất lỏng khác.
Các hệ thức liên hệ:

7

W
W
V
W
l

d
l
1 nên
WW
WV
P = P.
Ví dụ: Trong 1 lít nớc tự nhiên có 0,002 gam chì thì ta nói có 2 ppm Pb
2+
.
Nghĩa là có 2 phần khối lợng chì trong 1.000.000 phần thể tích nớc.
Đối với các chất khí thì thờng biểu diễn theo số % thể tích P
V
V
.
Ví dụ: Khi cho 1,150 lít không khí khô (ở 0
0
C và 760 mm Hg) đi chậm
qua một dung dịch NaOH đặc thì lợng khí CO
2
bị NaOH giữ lại là 1,3 mg. Tinh
P
V
V
CO
2
trong không khí.
Giải:
Số mol CO
2
=

dungdich
m
C%= .100(%)
m
(1.5)
V.3.2. Nồng độ mol/ lit (M)
Nồng độ mol / lít (C
M
) là số mol chất tan trong 1000 ml hay 1 lít dung
dịch (hoặc số milimol trong 1 ml dung dịch).

8
M
n
C=
V
(1.6)
với n là số mol chất tan. V là số lít dung dịch.
Để ký hiệu nồng độ mol ngời ta dùng chữ M . Ví dụ dung dịch NaOH
0,25 M có nghĩa là trong 1 lít dung dịch có 0,25 mol NaOH. Cần phân biệt khối
lợng mol cũng ký hiệu là M . Ví dụ M
NaOH
= 40 gam.
Nồng độ phần trăm là nồng độ gần đúng còn nồng độ mol là nồng độ
chính xác.
V.3.3. Nồng độ đơng lợng (N)
Là số đơng lợng gam chất tan có trong 1 lít dung dịch.
N
C=
V

SO
4
tham gia phản nào.
Với phản ứng H
2
SO
4
+ NaOH NaHSO
4
+ H
2
O

9
+ Đơng lợng gam của H
2
SO
4
=
24
HSO
M
1
= 98(gam); Đơng lợng gam
của NaOH =
NaOH
M
1
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH và 1 mol H
2

1
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH trao đổi 1 mol H
+
và 1 mol
H
2
SO
4
trao đổi 2 mol ion H
+
.
Với phản ứng 2H
2
SO
4
+ Cu CuSO
4
+ SO
2
+ 2 H
2
O
+ Đơng lợng gam của H
2
SO
4
=
24
HSO
M

= 32,5 (gam).
Với phản ứng 5H
2
SO
4
+ 4Mg 4MgSO
4
+ H
2
S + 4H
2
O
+ Đơng lợng gam của H
2
SO
4
=
24
HSO
M
8
= 12,25 (gam); Đơng lợng
gam của Mg =
Mg
M
2
= 12 (gam).
Quy tắc đơng lợng.
Trong một phản ứng hoá học số đơng lợng gam của các chất tham gia
phản ứng bằng nhau.

Độ chuẩn của một chất A theo chất B là số gam của chất B phản ứng vừa
đủ với 1 ml dung dịch chất A.
Ví dụ T
HCl/CaO
= 0,0056 có nghĩa là 1 ml dung dịch HCl phản ứng hết với
0,0056 gam CaO.
3
A/B
N(A)
B
T.10
C=

(1.10)
VI. các loại sai số v cách đánh giá, xử lý số liệu
VI.1. Phân loại các phép đo
VI.1.1. Phép đo trực tiếp
Phép đo trực tiếp là phép so sánh vật đo với vật chuẩn.
Trong thực hành khoa học thực nghiệm nói chung và hoá học nói riêng
cần sử dụng các phép đo trực tiếp để xác định một đại lợng nào đó.
Ví dụ: Phép cân là phép so sánh khối lợng vật cần đo khối lợng với khối
lợng của quả cân (khối lợng chuẩn).
Phép đo thể tích là phép so sánh thể tích của dung dịch với thể tích của
dụng cụ đo thể tích (pipet, buret, bình định mức - thể tích chuẩn).
Đối với các đại lợng đo trực tiếp ta phải lấy số các số có nghĩa sao cho
chỉ con số cuối cùng là gần đúng, còn lại các con số trớc đó là chính xác.
Ví dụ: Nếu cân vật cân 1(g) trên cân kỹ thuật có độ chính xác
là 0,01(g) thì số liệu đợc biểu diễn là 1,00(g), nếu cân trên cân phân tích có
độ chính xác 10
-3

M là khối lợng mol của chất tan.
V là thể tích dung dịch (lít)
d là khối lợng riêng của dung dịch.
Nh vậy một phép đo có thể là phép đo trực tiếp hay gián tiếp tuỳ thuộc
vào việc sử dụng kết quả đó một cách trực tiếp hay gián tiếp.
VI.1.3. Phép đo tập hợp
Để xác định một đại lợng nào đó ta thờng tiến hành đo nhiều lần, qua
nhiều giai đoạn và thu đợc rất nhiều giá trị thực nghiệm. Tập hợp tất cả các giá
trị của các phép đo mới có thể xác định đợc một đại lợng nào đó. Trong trờng
hợp này, đại lợng đó đợc xác định từ một phép đo tập hợp.
Ví dụ: Để xác định hàm lợng sắt trong một mẫu quặng ta phải cân khối
lợng quặng (phép đo 1), hoà tan quặng thành một thể tích dung dịch nhất định
(phép đo 2), chuẩn độ xác định nồng độ ion sắt trong dung dịch đó (phép đo 3);
hoặc có thể hoà tan quặng rồi cho kết tủa hydroxit, nung chuyển về dạng oxit rồi
cân xác định khối lợng oxit sắt. Khi đó hàm lợng sắt trong mẫu quặng đợc
xác định từ một phép đo tập hợp.
VI.2. Sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên
Các số liệu thực nghiệm thu đợc luôn mắc sai số ngẫu nhiên và có mắc
sai số hệ thống hay không ta phải dựa vào toán học thống kê để kiểm tra đánh
giá. Để đánh giá đợc sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống phải hiểu và nắm
vững các khái niệm sau.

12
VI.2.1. Độ lặp lại (độ chính xác)
Độ lặp lại phản ánh sự phù hợp giữa các kết quả thu đợc trong các lần thí
nghiệm lặp lại ở trong cùng một điều kiện thực nghiệm quy định của phép đo.
Kết quả đo có thể có độ lặp lại cao (chính xác) nhng không đúng hoặc ngợc
lại. Độ lặp lại phản ánh qua phơng sai của phép đo.
Vì phơng sai biểu diễn độ sai khác giữa các giá trị trong tập số liệu kết
quả thực nghiệm so với giá trị trung bình. Phơng sai càng nhỏ thì độ lặp lại

Ví dụ: Xác định nồng độ dung dịch HCl 0,1M chuẩn. 3 sinh viên A, B, C
tiến hành 5 lần thí nghiệm thu đợc kết quả nh sau: 13
Sinh viên Lần 1 Lần 2 Lần 3 Lần 4 Lần 5
A 0,1002 0,0998 0,1005 0,0991 0,1001
B 0,1014 0,1017 0,1016 0,1015 0,1016
C 0,1002 0,0999 0,1001 0,0998 0,1000

Kết quả cho thấy độ đúng của sinh viên A cao hơn của sinh viên B; độ lặp
lại của sinh viên B cao hơn sinh viên A. Sinh viên C vừa có độ lặp lại cao và vừa
có độ đúng cao.
VI.2.3. Sai số phân tích
Trong thực nghiệm, việc đánh giá các kết quả thu đợc là hết sức quan
trọng, nó cho biết kết quả thu đợc có độ đúng và chính xác tới mức nào. Khi
xác định một đại lợng nào đó, chúng ta không bao giờ nhận đợc giá trị thực
của nó, chúng ta chỉ cố gắng thực hiện quá trình đó sao cho kết quả thu đợc có
thể chấp nhận đợc tức là sai số của quá trình xác định đại lợng đó nhỏ nhất
mà thôi.
Theo cách biểu diễn sai số thì có 4 loại sai số là :
VI.2.3.1. Sai số tuyệt đối
Sai số tuyệt đối đợc tính theo công thức (1.13):

X
= x
i
-
X
x

của 2 phép đo là không nh nhau. Để đánh giá độ chính xác của phép đo ngời
ta sử dụng sai số tơng đối.
VI.2.3.2. Sai số tơng đối
Sai số tơng đối tính theo công thức (1.4):

iii
xX x x
.100 .100 = .100

XX

==

(1.4)
Trong đó: là sai số tơng đối của đại lợng ngẫu nhiên X.
x
i
là giá trị thứ i của đại lợng ngẫu nhiên X ( i = 1 ữ n).

X
là giá trị trung bình cộng của đại lợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại lợng ngẫu nhiên X.
Sai số tơng đối là tỷ số của sai số tuyệt đối với giá trị trung bình hay giá
trị thực. Sai số này không có thứ nguyên cho nên đợc dùng để so sánh sai số
tơng đối của các phơng pháp nghiên cứu cho kết quả không cùng thứ nguyên.
Sai số này có thể âm hoặc dơng. Sai số tơng đối cho biết độ chính xác của
phép đo.
Ví dụ 1: Xác định hàm lợng sắt trong mẫu phân tích, làm nhiều thí
nghiệm thu đợc
X

x
4
x
5
X =
X
- 0 (1.15)
Trong đó: X là sai số hệ thống của đại lợng ngẫu nhiên X.

X
là giá trị trung bình cộng của đại lợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại lợng ngẫu nhiên X.
Nếu hiệu số này là đáng tin cậy (tức là khác không là đáng tin cậy) thì nghiên
cứu đã mắc sai số hệ thống. Khi đó các giá trị x
i
tập trung về một phía của giá trị thực
trên trục số. Sai số hệ thống có thể tìm đợc nguyên nhân gây ra để loại bỏ.
Sai số hệ thống là sai số do lựa chọn phơng pháp không chính xác, dụng cụ đo
lờng không đúng hoặc không thống nhất giữa những ngời thực hiện về cách xác
định một đại lợng nào đó. Do hoá chất không tinh khiết. Do nồng độ dung dịch chuẩn
sai. Do ngời phân tích thiếu kinh nghiệm. . . Do vậy kết quả xác định luôn lớn hơn
hoặc nhỏ hơn giá trị thực.
Sai số hệ thống làm cho kết quả của phép đo không đúng. Về nguyên tắc thì
nguyên nhân của sai số hệ thống có thể xác định và có thể loại bỏ đợc. Mỗi loại sai số
hệ thống làm cho kết quả đo dịch chuyển về một chiều nhất định (tăng hoặc giảm so với
giá trị thực). Sai số hệ thống có thể không đổi, cũng có thể thay đổi theo điều kiện.
Ví dụ 1: Dùng pipet có dung tích sai để đo thể tích dung dịch thì các lần đo
sẽ mắc sai số và sai số này không đổi theo thời gian. Khi dùng quả cân có khối
lợng sai để cân mẫu thì kết quả cân cũng sẽ mắc sai số và sai số này cũng không
đổi. Khi đó phép đo thể tích và phép cân đó đã mắc sai số hệ thống. Trong trờng


cân phân tích một cách chính xác nhng không đậy
nắp thì kết quả cân liên tục tăng theo thời gian (do CaCl
2
hút ẩm), khi đó phép cân
cũng mắc sai số hệ thống. Trong trờng hợp này các số liệu thu đợc lệch về cả hai
phía so với giá trị thực và nếu biết giá trị thực của phép đo ta cũng rất khó xác định

16


+
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
phép đo có mắc sai số hệ thống hay không. Trong những trờng hợp đó ta phải
dùng toán học thống kê để kiểm tra. Sai số hệ thống phản ánh sự sai lệch giữa giá trị trung bình với giá trị thực
nên sai số hệ thống nói lên độ đúng của phép phân tích (phép đo).
VI.2.3.4. Sai số ngẫn nhiên
Sai số ngẫu nhiên đợc tính theo công thức (1.6):


17
chất lợng làm việc của ngời thực hiện phép đo, của máy đo, đánh giá so sánh
kết quả đo ở các phòng thí nghiệm khác nhau. . . Do đó mà sai số ngẫu nhiên
phải đợc xử lý bằng toán học thống kê.
Sai số ngẫu nhiên phản ánh sự sai lệch giữa từng giá trị cụ thể với giá trị
trung bình nên sai số này nói lên độ lặp lại của phép đo.
VI.2.4. Độ nhạy, giới hạn phát hiện và giới hạn định lợng
Các khái niệm độ nhạy, giới hạn phát hiện và giới hạn định lợng rất quan trọng
khi lựa chọn một phơng pháp phân tích.
VI.2.4.1. Độ nhạy
Độ nhạy là đại lợng dùng để mô tả sự thay đổi nhỏ nhất của nồng độ chất
phân tích mà gây ra sự thay đổi tín hiệu phân tích. Ví dụ trong phân tích khối
lợng với cân phân tích có độ chính xác 10
-4
(g) thì độ nhạy là nồng độ chất phân
tích để gây ra sự thay đổi khối lợng là 10
-4
(g). Trong phân tích so màu (cu vét
dày 1 cm), độ nhạy đợc định nghĩa là nồng độ mol gây ra sự thay đổi độ hấp
thụ quang A là 0,001. Trong phân tích quang phổ hấp thụ nguyên tử ngọn lửa, độ
nhạy đợc định nghĩa là nồng độ gây ra sự thay đổi độ truyền qua 1% tơng
đơng với độ hấp thụ quang là 0,0044.
VI.2.4.2. Giới hạn phát hiện (Limit Of Detection - LOD)
Giới hạn phát hiện đợc xem là nồng độ thấp nhất của chất phân tích mà hệ
thống phân tích còn cho tín hiệu phân tích có nghĩa với tín hiệu mẫu trắng hay
tín hiệu nền.Trớc đây giới hạn phát hiện liên quan đến tỷ số giữa tín hiệu và nhiễu và
đợc định nghĩa nh sau: Giới hạn phát hiện bằng 5 lần tỷ số giữa tín hiệu và nhiễu.
Bây giờ định nghĩa giới hạn phát hiện liên quan đến độ lệch chuẩn của mẫu trắng
(S

LOD: Giới hạn phát hiện.
B là độ dốc của đờng chuẩn, cũng chính là độ nhạy của phơng pháp.
S
y
hay
y
là độ lệch chuẩn của tín hiệu y trên đờng chuẩn

Giới hạn định lợng bằng 3 lần giới hạn phát hiện hoặc bằng 9 lần độ
chênh lệch chuẩn của mẫu trắng.
VI.2.4.4. Độ thu hồi (Rev)
Độ thu hồi đợc tính theo công thức (1.19):
TK
C- C
Rev = .100%
C
(1.19)
Trong đó: Rev là độ thu hồi (%) của chất X trong mẫu.
C
T
là nồng độ chất X xác định đợc trong mẫu sau khi thêm chuẩn.
C
K
là nồng độ chất X xác định đợc trong mẫu khi cha thêm chuẩn.
C là nồng độ của chất chuẩn X thêm vào mẫu (đã biết chính xác).
VI.2.5. Sai số tối đa cho phép

P(X)
Sai số tối đa cho phép P(X) của một tập số liệu kết quả thực nghiệm
đợc quy định cho phép lấy các giá trị x

là giá trị trung bình cộng của đại lợng ngẫu nhiên X.
P(X) là sai số tối đa cho phép tuyệt đối của đại lợng ngẫu nhiên X.
Sai số tối đa cho phép tơng đối đợc biểu diễn dới dạng phần trăm (%)
do đó không còn thứ nguyên, dùng để so sánh sai số tối đa cho phép tơng đối
của phơng pháp nghiên cứu này với sai số tối đa cho phép tơng đối của
phơng pháp nghiên cứu khác.
Những giá trị kết quả thực nghiệm nào nằm ngoài khoảng sai số tối đa cho
phép tuyệt đối thì phải loại bỏ (các giá trị đó gọi là đã mắc sai số thô). Cách xác
định các giá trị thực nghiệm mắc sai số thô để loại bỏ sẽ đợc trình bày ở mục
VI.4.
VI.2.6. Những nguyên nhân xuất hiện sai số đo đạc trong hoá học
VI.2.6.1. Sai số do sử dụng máy móc, hoá chất và thuốc thử
Khi sử dụng máy không đúng hớng dẫn, hoá chất không tinh khiết.
Ví dụ: Sử dụng cân và quả cân không đúng, sử dụng dụng cụ đo thể tích
không chính xác, do các chất lạ có trong bình thuỷ tinh, đồ sứ . . . xâm nhập vào
dung dịch hoặc hoá chất có lẫn tạp chất.
VI.2.6.2. Sai số thao tác.
Do chủ quan ngời thực hiện phép đo gây ra. Sai số thao tác không phụ
thuộc vào máy móc và dụng cụ đo và không liên quan với phơng pháp đo. Sai
số này có thể rất nghiêm trọng đối với ngời thực hiện phép đo thiếu kinh
nghiệm hoặc làm việc cẩu thả, không cẩn thận, thiếu suy nghĩ.
Ngời mới thực hiện phép đo lần đầu thờng phạm sai lầm nghiêm trọng
do không biết làm việc, không biết cách đo. Tuy nhiên khi đã quen công việc và

20
nếu làm việc không cẩn thận thì sai số thao tác vẫn xảy ra và việc mắc phải sai
số lúc này rất nguy hiểm.
VI.2.6.3. Sai số cá nhân
Sai số cá nhân do khả năng của ngời đo không thể thực hiện chính xác
một số thao tác đo.

;
x
2
; . x
n
(đại lợng X có n giá trị)
Phân loại các đại lợng ngẫu nhiên: Căn cứ vào giá trị mà đại lợng ngẫu
nhiên nhận ta có đại lợng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
VI.3.1. Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc (một chiều)
Nếu tập các giá trị mà đại lợng ngẫu nhiên X nhận là một tập gồm các
số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm nhng đếm đợc, khi đó đại lợng ngẫu
nhiên X là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử có đại lợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị x
1
; x
2
; . . . x
n
với tần
suất P(X = x
i
) = P
i
với i = 1; 2; 3;. . . m. Để mô tả đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X
ta dùng bảng phân phối xác suất nh sau:
X x
1
x
2
. . . x

VI.3.3. Véc tơ ngẫu nhiên (đại lợng ngẫu nhiên nhiều chiều)
Giả sử X = (X
1
, X
2
, . . . .X
Z
) trong đó X
i
(với i = 1, 2, . . . , z) là các biến
ngẫu nhiên 1 chiều - nghĩa là đại lợng ngẫu nhiên X
1
nhận các giá trị x
11
;
x
12
; . . .; x
1n
; X
2
nhận các giá trị x
21
; x
22
; . . .; x
2n
. . . và X
z
nhận các giá trị x

VI.3.4.1.1. Tần suất
Giả thiết có một tập số liệu gồm n giá trị, trong đó có m
i
giá trị x
i
(x
i
xuất
hiện m
i
lần). m
i
gọi là tần số của giá trị x
i
, khi đó tần suất của giá trị x
i
đợc tính
theo công thức (1.22):
n
m
p
i
i
=
(1.22)
Trong đó: m
i
là tần số của giá trị x
i
.

max
là giá trị X lớn nhất trong tập số liệu.
x
min
là giá trị X nhỏ nhất trong tập số liệu.
VI.3.41.4. Số trung vị (Median)
Số trung vị (Median) của một tập số liệu là một số (đợc ký hiệu Med) và
đợc xác định nh sau: Sắp xếp n giá trị x
1
, x
2
, . . ., x
n
từ nhỏ đến lớn và đếm.
Nếu n lẻ thì số trung vị bằng số hạng giữa của dãy và đợc tính theo công
thức (1.24):
Med =
X =
2
1n
x
+
(1.24)
Trong đó: Med là số trung vị.

X
là giá trị trung bình cộng của đại lợng ngẫu nhiên X.

2
1n

+
là hai giá trị của X nằm ở giữa của dãy số liệu đợc xếp
theo thứ tự tăng dần.
Giá trị trung vị khác với giá trị trung bình cộng là không chịu ảnh hởng
của các giá trị đầu mút x
1
và x
n
. Vì vậy có thể dùng nó để đặc trng cho dãy số
liệu có số phép đo nhỏ (n < 10) trong đó có những giá trị cách xa nhau.
Nh vậy số trung vị là số chia đôi khối lợng xác suất thành hai phần bằng
nhau.
Nếu mẫu quan sát đợc dới dạng khoảng thì số trung vị đợc tính theo
công thức (1.26):
Med = a +
2
.
n
m
h
n

(1.26)