Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính
nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các
ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học
là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của
vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng

1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các
giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.
Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt
phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối
với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa
3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
độ, ví dụ đối với trường
2 2 2
1
y
x y z
=
+ +
mặt mức u = 4 là hình cầu

1
M
đứng trước điểm M.
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
cung M
1
M
là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến
1
M
) và độ dài cung
S
∆
, tức bằng:

1
( ) ( )f M f M
S
−
∆
Đạo hàm theo đường cong L tại điểm
1
M
là giới hạn của tỷ số:
1
( ) ( )f M f M
S
−
∆

f
L
∂

∂
=
1 1 1
cos cos cos
M M M
f f f
x y z
∂ ∂ ∂
 α +  β+  γ
∂ ∂ ∂
(1.2)
trong đó
α,β,γ
là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các
đểm
1
M
và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm
1
M
không phụ
thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến
4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

M
1

1.2 Gradien của trường vô
hướng
Ta xét trường vô
hướng u = f(x, y, z) và tính
đạo hàm của u theo hướng
vectơ
ℑ
ur
, trong đ ó
ℑ
ur
=
ai
r
+
b j
r
+
ck
r
. Người ta gọi đạo
hàm theo hướng của vectơ
ℑ
ur
tại điểm M là đạo hàm
theo cung L bất kỳ đi qua
M và tiếp xúc với
ℑ
ur
. Đạo

∂
∂
là đạo hàm theo hướng vectơ
k
r
.
Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ
ℑ
ur
.

2 2 2
cos
a
a b c
α =
+ +
;
2 2 2
cos
b
a b c
β =
+ +
;
2 2 2
cos
c
a b c
γ =

∂
∂
,
u
z
∂
∂
). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
Gradu =
u
x
∂
∂
i
r
+
u
y
∂
∂
j
r
+
u
z
∂
∂
k
r
(1.4)

3 2
x y
u
z
=
xuất phát từ M (1, 2, 1) theo
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
Giải:

2 2 3 3 2
2
3 2u u u x y x y x y
gradu i j k i j k
x y z z z z
∂ ∂ ∂
= + + = + −
∂ ∂ ∂
r r r r r r
6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
gradu tại M

12 4
M
gradu i j k = + − 4
r r
Đạo hàm theo hướng gradien, tức

2 2 2

2| ℑ|= 2
ur
;
2
2
u
x y
x
∂
= +
∂
;
2
u
xy
y
∂
=
∂
Do đó:

0
(6,4)
M
gradu =
và
.
2
u gradu∂ ℑ
= =

=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
, do
0
u∂
=
∂ℑ
ur
và gradu ≠ 0 nên
cos( , ) 0gradu ℑ =
ur
. Tức là góc giữa
ℑ
ur
và
gradu
bằng
0
90
.
7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

gradu
l
M
H.1.3
ℑ
ur

) .( ) ) .( ) ) .( ) 0
x y z x y z x y z
u u u
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
( − + ( − + ( − =
∂ ∂ ∂
(1.6)
Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
2 2
z x y= +
tại điểm M (2, 1, 5).
Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm
2 2
u z x y= − −
.
Bởi vì:

2 2 1gradu xi y j k= − − +
r r r
,
cho nên

0
4. 2.
M

một đại lượng vô hướng (không
đơn trị) một cách đơn giản hơn,
nhưng gradien của nó lại cho ta
một đại lượng vật lý thực dưới
dạng vectơ, đơn trị, có thể đo
được trên thực nghiệm. Thí dụ,
trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng
E grad
ϕ
=
ur
là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như
E grad
ϕ
=
ur
được nêu ở trên. Để biểu diễn hình
học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ
A
ur
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien
A grad

( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
dt dt dt
P x y z Q x y z R x y z
= =
(2.1)
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có:

( , , , ) ( , , )
dx
x y z t P x y z
dt
= Φ
;

( , , , ) ( , , )
dy
x y z t Q x y z
dt
= Φ
; (2,2)

( , , , ) ( , , )
dz
x y z t R x y z
dt
= Φ
.
Chú ý: vì hàm Φ(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của
đường vectơ là không duy nhất.

trí điểm M trên mặt.
Xét hàm f (M) = (
A
ur
,
n
r
) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
Nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
và các góc chỉ phương của vectơ
n
r
tương ứng
bằng α, β, γ tức là:
n cos cos cosi j k= α + β + γ
r r r r
thì
f(M) cos cos cosP Q R= α + β+ γ

hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ Φ:

S S
= ( , )dS= (P cos Qcos R cos ) A n dS
α β γ
Φ + +
∫∫ ∫∫

x y z
+ +
= = = + +
+ +
ur r r r
r r r r
do
2 2 2
1x y z+ + =
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:

2 2 2
( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z= + + − + = + +
ur r

Vì thế thông lượng bằng

2 2 2
( , ) ( ) 4
S S S
A n dS x y z dS dS S
π
= + + = = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
ur r
.
2.2 Dive của trường vectơ
2.2.1 Dive của trường vectơ
Dive (divergen) của trường vectơ
A

V M V M
A n dS P Q R
divA
V V
α β γ
→ →
+ +
= =
∫∫ ∫∫
ur r
ur
(2.4)
trong đó α, β, γ là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:

( )
lim
V
V M
P Q R
dV
x y z
divA
V
→
∂ ∂ ∂
+ +

P Q R
dV
x y z
P Q R
divA
V x y z
→ →
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = + + 
∂ ∂ ∂
∫∫∫
ur
Khi V→ M thì
TB
M
→M, vì thế

P Q R
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
ur
(2.6)
Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:


ur
Vậy thông lượng

4
( , ) 3 3 3. 4
3
S V V
A n dS divAdV dV V
π π
Φ = = = = = =
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ur r ur
13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2.2.2 Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường
A
ur
bằng
không, thì ta nói rằng
A
ur
là trường hình ống của miền này.
Ví dụ: Cho trường hấp dẫn
3
mR
F
R
γ

, tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng

3
3
4 3
4
3
m m
a
a
πγ γ
π
− −
=
Theo định nghĩa:

(0,0,0)
3
0
3
( ) lim
a
m
divF
a
γ
→
= − = −∞
uur

là lưu thông của trường vectơ
A
ur
theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
A
ur
và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay
đổi dấu.
Ví dụ 1: Nếu
A
ur
là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x = ϕ(t), y = ψ(t) , z = χ(t) với
0
t t T≤ ≤
ta có:
[ ] [ ] [ ]
{ }
0
' ' '
( ) ( ) ( )
t
t
l
Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t R t t t t dt
+ + = ϕ( ), ψ( ),χ( ) ϕ + ϕ( ),ψ( ), χ( ) ψ + ϕ( ),ψ( ),χ ( ) χ

3.2 Rota của trường
Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc
S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao
quanh điểm
M
rồi chọn hướng xác định trên
chu tuyến này và tính
Adl
∫
ur r
Ñ
.
Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện
tích σ của bề mặt S được giới hạn bởi chu
tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung
bình

l
Adl
σ
∫
ur r
Ñ

R Q P R Q P
c c c d
y z z x x y
σ
σ
α β γ σ
σ
→
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + −
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
=
∫∫

0
( ) os +( ) os ( ) os
lim
TB
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
σ
α β γ
σ
→
 

bằng:

( ) os +( ) os ( ) os
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
α β γ
Μ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + − |
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
16 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

z
O
x
y
n
S
M
o
σ l
M
o
H.3.1
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ
n
r
và vectơ


( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
rot A i j k
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur r r r
(3.7)
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường
đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:

i j k
rot A
x y z
P Q R
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
r r r
ur
(3.8)
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
A
ur
cho bởi công thức:

2 2 2 2 2 2

= + =
ur r r
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ

n
l S
Adl rot AdS=
∫ ∫∫
ur r ur
(3.9)
trong đó
n
rot
A
ur
là hình chiếu của vectơ rot
A
ur
lên pháp tuyến của mặt S. Như
vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của
rot
A
ur
của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ
quan trọng như rota của thông lượng của trường từ
H
uur
thì sinh ra dòng điện

ur r r r
trong đó a, b, c là hằng số thì

0
a b c
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
ur
(4.1)
Tương tự

0rot A =
ur
(4.2)
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính
Điều này có nghĩa là nếu
C A B
α β
= +
ur ur ur
trong đó
A
ur
,
B
ur
là các trường

( ) ( ) ( )C P P i Q Q j R R k
α β α β α β
= + + + + +
ur r r r
và

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )divC P P Q Q R R
x y z
α β α β α β
∂ ∂ ∂
= + + + + +
∂ ∂ ∂
ur
1 1 1 2 2 2
( ) ( )
P Q R P Q R
x y z x y z
α β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
divA divB
α β
= +
ur ur
4.3 Các phép tính đối với tích
a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta
có:
graduv = ugradv+vgradu

B
ur
) là trường vô hướng, còn (
A B∧
ur ur
) là trường vectơ và
( ) ( ) ( )div A B Brot A ArotB∧ = −
ur ur ur ur ur ur
Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan
trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô
19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của
trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của
trường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính
này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc. CHƯƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG
1. HỆ TỌA ĐỘ CONG
1.1 Định nghĩa
Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính
vectơ
r
r
. Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz:
r xi y j zk= + +
r r r r

2
q
,
3
q
được gọi là toạ độ cong của điểm M.
20 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ
1
q
,
2
q
,
3
q
do đó mỗi một toạ độ này là
một hàm của bán kính vectơ
r
r1 1
2 2
3 3
( ) ( , , )
( ) ( , , )
( ) ( , , )

. Nghĩa là 3 thành phần x, y, z của
r
r
là
hàm số của
1
q
,
2
q
,
3
q
.

1 2 3
1 2 3
1 2 3
( , , )
( , , )
( , , )
x x q q q
y y q q q
z z q q q
=


=



không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển nhiên giao tuyến
của hai mặt
2
q
và
1
q
cho ta đường tọa độ
3
q
.
1.2 Các ví dụ
Hai hệ tọa độ cong hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
a/ Hệ tọa độ trụ
Vị trí của 1 điểm được xác định bởi
1
q
ρ
=
,
2
q
ϕ
=
,
3
q z=
(H.1.2)
Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc:
21 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

O
x
y
M
z
ρ
φ
H.1.2
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Khoảng biến thiên
0;0 2 ; z
ρ ϕ π
≥ ≤ ≤ −∞ < < +∞

Các mặt tọa độ:
onstc
ρ
=
là mặt trụ có trục tọa độ Oz.
onstc
ϕ
=
là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz.
onstz c=
là mặt phẳng song song với mặt Oxy.
Các đường tọa độ:
Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường
ϕ
là đường tròn có
tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường

0;0 ;0 2r
θ π ϕ π
≥ ≤ ≤ ≤ ≤
Các mặt tọa độ:
onstr c=
là mặt cầu tâm O.
onstc
θ
=
là nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz.
onstc
ϕ
=
là nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz.
Các đường tọa độ:
Đường
r
là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O.
Đường
θ
là kinh tuyến trên mặt cầu.
Đường
ϕ
là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu.
1.3 Hệ tọa độ cong trực giao
Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôi
một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao. Trong các ví dụ trên,
hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao.
22 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh


và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ
i
q
.
Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc tơ
i
r
l
không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị
trực giao
1 2 3
, ,e e e
r r r
phụ thuộc vào các vị trí của M.
Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ
i i
q C=
và hướng
theo chiều tăng của
i
q
là
i
e
ur
. Trong hệ tọa độ cong trực giao thì
i
i
=
ur

1 1 2 3 1 2 3
1 1
( , , ) ( , , )r q q q q r q q q
r
q q
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
ur r
uuur

Lấy giới hạn của tỉ số trên khi
1
M
tiến đến M, ta có vectơ
1
r
q
∆
∆
ur
tiến đến vectơ cùng phương, cùng chiều với vectơ
đơn vị
1
uur
l
tại M. Đó là vectơ đạo hàm
1
r

r
r
H.1.5
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo
đường tọa độ
1
q
. Hệ số
1
h
chỉ độ lớn của vectơ
1
r
q
∂
∂
ur
Ta có:
1 1 1 1
r x y z
i j k
q q q q
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
ur
r r r

do đó

i
i i i
x y z
h
q q q
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
(1.3)
được gọi là hệ số lame của hệ tọa độ cong đang xét.
Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các

2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1 1
x x
x y z
h h
x x x
∂ ∂ ∂
= + + = → =
∂ ∂ ∂
.
Tương tự
1
y z
h h= =
Hệ số lame trong hệ tọa độ cầu

sin ; 1;
r


Hơn nữa ta có:

( )
( , ) ,
i j i j
i j
r r
h h e e
q q
∂ ∂
=
∂ ∂
r r
ur uur
24 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
từ đó suy ra:

( , ) 0
i j
r r
q q
∂ ∂
=
∂ ∂
r r
với
i j≠

= C
i
và theo
chiều tăng của q
i
, nên gradq
i
cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị
pháp tuyến
i
e
ur
, ta có thể viết
i
i i
gradq gradq e
=
ur2
2 2
2
i i i
i
q q q
gradq
x y z
 
∂ ∂ ∂

1 2 3
1 2 3
i i i i
r r r
drgradq gradq dq gradq dq gradq dq a
q q q
     
∂ ∂ ∂
= + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂
     
r r r
r
Mặt khác ta lại có:

( )
i i i
i i
q q q
dq dx dy dz drgradq b
x y z
∂ ∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
r
So sánh hai đẳng thức (a) và (b) ta có:

1
0