1

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE
 2


tính để tìm quy luật dãy số
* Giúp cho các bạn đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng
dạy bộ môn toán của mình. Qua chuyên đề nầy tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ
yêu thích hơn các ứng dụng mà máy tính Casio, Vinacal đem lại cho chúng ta và
truyền sự say mê n
ầy đến các HS của mình. Thực tế một số Thầy Cô không thích sử
dụng máy tính Casio bởi vì kết quả của nó đa phần là kết quả gần đúng, nhưng trong
chuyên đề nầy các bạn sẽ thấy ta có thể dùng cái gần đúng để đi tìm cái đúng ( ứng
dụng máy tính Casio hoặc Vinacal trong việc giải các bất phương trình )

 Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường
trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và
Cao đẳng - Đại học.
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

3
* Không trình bày các vấn đề cơ bản về máy tính Casio, Vinacal (vì các vấn đề
cơ bản nầy được trình bày trong nhiều tài liệu ) mà chỉ minh họa các ứng dụng cụ thể và
có tính mới trong giải toán.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal dự đoán nghiệm để giải phương trình lượng
giác.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong giải các bất phương trình phức tạp.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal để kiểm tra kết quả và trong các dạng toán khác.

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
* Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về ứng dụng máy tính
Casio, Vinacal trong dạy và học môn toán.
* Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của
Công Đoàn ngành Giáo dục phát động.


4 Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
* Các kiến thức cơ bản về máy tính Casio, Vinacal.
* Các kiến thức toán học cơ bản trong chương trình THPT.
* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay. Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm toán học ngày
càng hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học môn toán, tuy
nhiên không phải học sinh nào cũng có điều kiện tạo cho mình một máy vi tính và
cài đặt các phần mềm thích hợp để học tập bộ môn toán, hơn thế nữa theo quy chế
học sinh không được đem máy vi tính vào phòng thi Trong khi mọi học sinh đều
có máy tính Casio hoặc Vinacal, do đó việc rèn luyện cho họ
c sinh sử dụng các loại
máy tính cầm tay nầy một cách thành thạo là một việc làm cần thiết. Thực trạng hiện
nay cho thấy kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay của học sinh còn rất yếu, đa số chỉ
biết dùng máy tính để thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và tính
giá trị của các hàm số lượng giác mà thôi. Do đó SKKN nầy đề cập đến một vấn đề
mới đ
ó là giúp học sinh khai thác tối đa các chức năng của máy tính Casio và
Vinacal trong tư duy giải toán. Nếu làm tốt công việc nầy thì chất lượng dạy và học
môn toán sẽ được nâng lên.
ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL DỰ ĐOÁN NGHIỆM GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

tương ứng liên kết với nghiệm ấy. Cụ thể:
+ Thử với giá trị đối của nó:
6
x


 , nếu thỏa mãn phương trình thì ta dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho
3
cos
2
x  , hay phương trình được đưa về dạng tích
với một thừa số là
(2cos 3)x 

+ Thử với giá trị bù với nó :
5
6
x

 , nếu thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có
nghiệm x sao cho
1
sin
2
x  , hay phương trình được đưa về dạng tích với một thừa số là
inx(2s 1) .
+ Thử với một giá trị hơn ( kém ) nó

, thử với

Có thể dùng máy tính Casio fx 570 ES để tiến hành nhẩm nghiệm theo một trong
hai cách sau:
Cách 1:
Dùng chức năng
CALC
. Chức năng nầy có công dụng là tính giá trị của một hàm
số tại một điểm.
- Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0. Giả sử cần thử với giá trị
6
x

 , ta thực
hiện như sau:
- Nhập vào máy hàm số f(x), nhấn phím
CALC
, máy hỏi x ? ta nhập vào
6

và
nhấn phím

.
Để thử với các giá trị khác, ta tiếp tục nhấn phím
CALC
…
Cách 2:
Dùng chức năng
SOLVE
. Chức năng nầy có công dụng là tìm nghiệm của
phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện theo các bước sau đây:

phương trình sẽ có nghiệm x :
1
sinx
2

. Vậy lời giải được trình bày theo hai cách sau:
Cách 1
Đặt sinx( 1)tt. Ta viết phương trình đã cho thành phương trình với ẩn số t:
2
3(1 2 ) 5 cos 2 cos 4tt xtx  
2
6(2cos5)(1cos)0txt x



 (*)
Theo dự đoán trên thì phương trình (*) có nghiệm
1
1
2
t

.
Áp dụng định lí Viet:
12 2
52cos 1cos
63
x
x
tt t

x

. Vậy nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để
có thừa số (2sin 1)
x
 ? Ta có thể thấy ngay nên kết hợp như sau :
cos sin 2 cos (1 2sin )
x
xx x  . Còn tổng (3cos2 5sin 4)?
x
x

 Một điều chắc chắn
rằng có thể phân tích tổng nầy thành thừa số mà có một nhân tử là (2sin 1)
x
 .
Thật vậy :
22
(3cos2 5sin 4) 3(1 2sin ) 5sin 4 6sin 5sin 1xx x x xx  
(2sin 1)(3sin 1)
x
x  

* Vậy lời giải được trình bày ngắn gọn như sau :
(cos sin 2 ) (3cos2 5sin 4)PT x x x x  

2
cos (1 2sin ) ( 6sin 5sin 1) 0xx xx
cos (1 2sin ) (1 2sin )(3sin 1) 0
x

3
x

 . Vậy ta dự đoán phương trình
có nghiệm x :
1
cos
2
x

 .
Cách 1
Đặt cos ( 1)txt. Phương trình (1) trở thành:
32
(4 3 ) (2 1) 2 sin sinx 5 3tt t tx t   
32
4 2 (2sin 8) (sin 4) 0 (2)tt xt x  
Do thử nghiệm ở trên nên ta biết PT(2) có nghiệm
1
2
t

 . Thực hiện phép chia vế
trái của (2) cho
1
()
2
t 
. ta được:
2

12
cos 2 ,( )
23
xxkk


 
Vậy phương trình có nghiệm :
2
2,( )
3
xkk



 
Cách 2
( Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích )
Do dự đoán trên nên khi biến đổi phương trình về dạng phương trình tích thì phải
có một nhân tử (2cos 1)
x
 .
Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào để có nhân tử (2cos 1)
x

?
- Có thể thấy ngay , nên kết hợp sin2 sinx
x

.

12
cos 2 ,( )
23
xxkk


 
Vậy phương trình có nghiệm :
2
2,( )
3
xkk



 

Giải phương trình:
22
18 1
2cos cos ( ) sin2 3cos sin (1)
33 23
xx xx x






Giải

PT
Cx
x
A








sin 1
2sin 6cos 7
x
xx








Mà phương trình : 2sin 6cos 7
x
x vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có
nghiệm :
2,( )
2







Vậy phương trình đã cho có nghiệm : 2,( )
2
xkk


  .

9

Giải phương trình: sin3 6sin 2 9sin cos3 9cos 8 (1)
x
xxx x
Giải
- Nhận thấy 2
2
x
k


 là nghiệm phương trình. Vậy ta có sinx = 1.
-
Đặt sinx ( 1)tt. Thay :
33
sin3 3sin 4sin , os3 4cos 3cos

x
k

 là nghiệm của (4), vậy PT(4) có nghiệm x sao cho cosx = 1.
- Đặt u = cosx, PT(4) trở thành :

2
4(1 ) (4 4)sinx 8 8 0uu u   
2
4 (4sin 8) (4 4sin ) 0uxu x



2
4(4sin8)(44sin)0 1 1sinxuxu xuu  

cos 1 sinx cos 1
x
x. Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:

2, 2 ( )
2
xk x k k


 Giải phương trình:
sin 2 sin cos8 cos6 cos7 (1)xx x x x

  Giải phương trình: 4sin cos 3sin .tan 3tan 3 (1)
x
xxxx  
Giải

Điều kiện:
cos 0
x


 Thực hiện phép thử được hai nghiệm
4
x



và
3
4
x


. Vậy cần nhóm
các số hạng để xuất hiện thừa số
(tanx 1)

.

Điều kiện: cos 0x 
Thực hiện phép thử được cặp nghiệm
4
x


và
3
4
x


 . Vậy ta dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho tanx = 1

Cách 1

Đặt t = tanx, phương trình (1) trở thành:

2
22
21
1
11
2
tt
t
tt



2
tan 14sin cos 4cos
x
x
x
x



2
tan 1
1) 0
1
cos2
2
(tan 1)(4cos
x
x
x
x









Kết quả: phương trình có các họ nghiệm:

học sinh giải quyết các bài toán về bất phương trình. Chúng tôi thấy rằng việc giải một
bất phương trình có dạng f(x) > 0 ( f(x)  0, f(x) < 0, f(x) 0) thì phức tạp hơn nhiều so
với việc giải phương trình f(x) = 0. Thực chất của bài toán giải bất phương trình là quy
về việc xét dấu của biểu thức f(x) trên miền xác định D của nó. Do vậy nội dung của
chuyên đề nầy là quy việc giải các bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0,
sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và từ đó suy ra tập hợp nghiệm của bất ph
ương trình.

B. Nội dung phương pháp:
Nội dung của phương pháp nầy dựa trên tính chất sau đây: Tính chất: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên miền K ( K có thể là (a ; b ) ;
[a ; b] ; (a ; b]; [a ; b); (- ; a) ; (- ; a]; (a ; + ); [ a ; + ) ; R ). Nếu
phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên
K.
Phương pháp giải bất phương trình:
Dựa trên tính chất trên ta suy ra phương pháp giải bất phương trình dạng f(x) > 0
( f(x) < 0, f(x)
 0, f(x) < 0, f(x)  0) như sau :
* Tìm tập xác định
D của hàm số f(x).
* Giải phương trình f(x) = 0.
* Lập bảng xét dấu của f(x) (Để xác định dấu của f(x) trên các khoảng con
K của
D mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x
0
) với x
0
là một phần tử bất kì của

CALC a


Nói chung khi đã nhập biểu thức y vào xong thì ta có thể tính giá trị của y tại các điểm
x
1
, x
2
, … Ở đây vấn đề mà ta quan tâm là dấu của y tại các điểm x
1
, x
2
, … ( các giá
trị của y tại các điểm nầy có thể là các giá trị gần đúng. Điều nầy không ảnh hưởng gì
kết quả nghiệm của bất phương trình).

12
C. Các ví dụ minh họa:
a)Giải các bất phương trình vô tỉ. Giải bất phương trình :
2
2
40
16
16

16
16
26
026
24
0
( 16) (24 )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x





























22
26 0
26 0
26
26
0
26
26
3
































26
24
16 0 3
026
026
24
16
33
64 24
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x








0
03
03
x
xx
x








.

Cách 2:
( Dùng phương pháp trên)
* Tập xác định D = R.
* Xét hàm số
2
2
40
() 16
16
fx x x
x
  

, hàm số f(x) liên tục trên R.

* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm
trên các khoảng : (-
 ; 3); (3 ; + )
nên trên từng khoảng nầy f(x) không
đổi dấu.
Ta có f(0) = -6 < 0 , f(4) = 2,58 > 0
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra
BPT f(x)
 0 có nghiệm x  3.
Giải phương trình :
2
321 (1)
32
x
xx
x



Cách 1 Điều kiện x >
2
3
.
BPT(1)

2
(3 2) (1 ) 3 2 ( 1)( 2) ( 1) 3 2 0xx xx xx x x   

xx
xx





























2
2
2
12
12
2
16
76
2
12
2
3
1
2
2
3
1
1
3
3
1
760
6
x
x
x
x
x
x
xx
































x
xx
x




PT f(x) = 0

2
20
(1)(2 32)0 1 322 1
32(2)
x
xx x x Vx xxV
x
x


  

 


x = 1 V
2
2
2
1
3

; 1); (1 ; + ) nên
trên từng khoảng nầy f(x) không đổi
dấu.
Ta có f(
5
6
) = 0,108 > 0 , f(2) = 1 > 0
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra
BPT f(x)
 0 có nghiệm x >
2
3
. Giải bất phương trình :
11 (1)xxx 
Cách 1 Điều kiện : -1  x  1.
BPT(1)
2
10
()
1(1)
11
10
()
10
xx
A
xx x

10
1(1)
xx
x
xx




  



2
2
0
01
01
10
10
10
101 11
0
15 15
10
1
22
x
x
x






 
















Hệ (A)

22
11 11
1121212(2)
xx
xx x x x x x xx
   





2
2
10
11
15
11
10
0
2
10
1
1
15
2
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
 





vô nghiệm
Tóm lại: BPT có nghiệm 0  x  1.

Cách 2: Điều kiện : -1  x  1.
Xét hàm số f(x) =
11
x
xx  với x  [-1 ; 1 ]. BPT(1)  f(x)  0.

15
PT : f(x) = 0 
22 2
1 1 1 ( 1 ) 1 1 21 21 2
x
xxxxx xxxxxxxxx        
2
021 2 04(1)(2) 0.xV x xxV x x x     
Thử lại thấy x = 0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Bảng xét dấu của f(x)
_
0
0
x
f (x)
-1
1

1x 0






-1  x  1 (1)
* Ta có x
2
+x +1 > 0 ,  x  R. Ta xét 3 trường hợp :
a) Trường hợp : x
2
+x +1 = 1  x
2
+ x = 0  x = 0 V x = -1 thỏa mãn BPT (*).
b) Trường hợp : x
2
+x +1 > 1  x
2
+ x > 0  x < -1 V x > 0, kết hợp với đk (1) ta được
0 < x
 1 (2)
BPT(*)

2
1x 1x x x 1x 1x x (1x)2x1x 1x      
22
21x2x04(1x)x4x4x0x0loaïi (do ñk (2) ). 


x ( 1;1] \{0} x ( 1;1] \{0}
f(x) 0
x x11
x1
1x1xx 2x1x 21x x 2
1x1
1x 1x x





 
 







 

   







- 0,0035 < 0 và
1
f( )
2

- 0,0147 < 0
Từ đó suy ra BPT(*) có nghiệm x = -1; x = 0. Giải bất phương trình:
2
1
1
3
3
11
(1)
log (x 1)
log 2x 3x 1




Cách 1 : Điều kiện :
2
0 2x 3x11
133
x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
222
0 x11

log (x 1) 0












 (3) vô
nghiệm.
b) Trường hợp 2 :

1
0x
2

. Khi đó :
2
2
3
3
2x 3x 1 1
log 2x 3x 1 0
x11
log (x 1) 0

3
2x 3x 1 x(2x 3) 1 1
log 2x 3x 1 0
x11
log (x 1) 0


 










Suy ra BPT(3) nghiệm đúng với mọi x :
3
1x
2

 .
d) Trường hợp 4:

3
x
2


13
T(0;)(1;)(5; ).
22


Cách 2 Điều kiện :
2
0 2x 3x11
133
x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
222
0 x11


    




Xét hàm số
22
1
1
3
3
11
ln( ) ln( )
11
33
f(x)

2

) = -3,584 < 0 ; f(
1
4
) = 7,163 > 0 ;
5
f( )
4

3,594 > 0 ; f(2) = -1 < 0 ;f(6) =
0,016 > 0
+
_
+

5
+
3
2
1
2
_
0
0
x
f (x)
-1
1
+

2
0
1
sin
cos
22
334
33
x
x
 

 
 

Từ đây suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu không dùng máy tính thì việc giải phương trình nầy sẽ gặp khó
khăn.
BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA
MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL

1) Dùng máy tính để chứng minh phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Cho hàm số :
24
646yx x x . Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị.
Ta có :

cụ thể để từ đó rút ra kết luận :
33
sin sin sin
2
ABC
. Sau đó dùng lý luận để
chứng minh bất đẳng thức nầy và chỉ ra đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC đều.
3) Dùng máy tính giải các dạng toán về phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ:
Giải phương trình:
28
12 432 114
1
x
xx x
x

  


Giải
Điều kiện: 1
x

Xét các hàm số :
28
() ,
1
[1; )

Máy tính Casio và Vinacal không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy
nhiên ta có thể dự đoán kết quả của giới hạn qua ý tưởng sau:
Giả sử cần tính
()lim
xa
f
x

, ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm số
f(x) tại các giá trị của x rất gần a. Sau đây là các ví dụ minh họa:

19
Ví dụ 1: Tính
3
2
2
725
32
lim
x
xx
x
x

 


Bằng phương pháp gọi số hạng vắng, ta viết:
33
22

54
.
Sau đó ta dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả, bằng cách tính giá trị của hàm số
3
2
725
()
32
xx
fx
x
x
 


tại giá trị của x rất gần với số 2, chẳng hạn tính:
f(1,99999999),
ta sẽ được kết quả là 0.1300000, đây cũng chính là giá trị
gần đúng của
7
54
.
5) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả của tích phân.
Giả sử tính tích phân : ()
b
a
f
xdx

, ta được kết quả là m. GV nên hướng dẫn HS

biết, hy vọng việc bổ sung thêm các chuyên đề nầy sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm
giải toán cho học sinh, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích bộ môn, từ đó
hướng các em vào việc nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với

2
0
những kiến thức đã biết mà luôn luôn có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự mình tìm ra
kiến thức mới.
Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào mà giáo viên quan tâm và
truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các
em vào con đường nghiên cứu. Đưa máy tính cầm tay vào giảng dạy trong chương
trình phổ thông không phải là vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy còn nhiều Thầy
Cô chưa quan tâm đúng mức về vấn đề nầy. Với SKKN nầy hy vọng góp phần thực
hiện tố
t chỉ đạo của BGD là đưa máy tính vào thực tế giảng dạy phổ thông và bồi
dưỡng để hàng năm có nhiều học sinh đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi về
giải toán trên máy tính Casio, Vinacal cấp tỉnh và khu vực. Tôi viết SKKN nầy nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh
những kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Các chuyên
đề được trình bày trong SKKN nầy thể hiện các ý tưởng mới, mong muốn khai thác
và sử dụng máy tính cầm tay một cách thật hiệu quả trong công việc giảng dạy và
học tập bộ môn toán. Những vấn đề được trình bày trong SKKN nầy là những gợi ý,
hy vọng rằng quý đồng nghi
ệp sẽ tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các
thủ thuật ứng dụng máy tính cầm tay sao cho thật hiệu quả. Nếu làm tốt công việc

Nguyễn Văn Quí