ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU TRUNG
VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU TRUNG
VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - Năm 2011
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử Noether . . . . . . . 5
1.1.1 Toán tử Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính chất . . . 6
1.2 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Một số tính chất của SIFO . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Hàm dịch chuyển và hàm dịch chuyển Carleman . . 21
1.3.2 Toán tử dịch chuyển Carleman và một số tính chất . 25
2 Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp

là những tính chất liên quan đến sự tồn tại nghiệm và mối liên hệ giữa số
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tích phân kỳ dị thuần nhất
với số điều kiện giải chuẩn.
Luận văn tập trung nghiên cứu tính Noether và xây dựng công thức
tính chỉ số của toán tử hàm tích phân kỳ dị cấp một với dịch chuyển Car-
leman.
Luận văn gồm phần mở đầu và được chia thành hai chương:
Chương 1: Giới thiệu về tiêu chuẩn Noether đối với một toán tử tuyến
tính, chỉ số của một toán tử Noether, toán tử hàm tích phân kỳ dị cùng
3
với hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển Carleman. Là cơ sở để xác
định tính chất Noether và công thức tính chỉ số của SIFO.
Chương 2: Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp
một với dịch chuyển Carleman. Đây là phần chính của luận văn, trước tiên
xây dựng tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số của SIO với một
nhân Cauchy, toán tử cặp đôi, SIFO Kveselava-Vekua cho hệ số của chúng.
Sau đó, tác giả phân chia dịch chuyển Carleman thành hai trường hợp bảo
toàn hướng và ngược hướng đồng thời xây dựng tiêu chuẩn Noether và
công thức tính chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội,
người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành
và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo, các thành viên,
các anh chị đồng nghiệp trong Seminar Giải tích trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu và
giúp đỡ tận tình trong thời gian qua.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học,
Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

2
) được gọi là
giải chuẩn nếu tập imA là đóng trong không gian X
2
nghĩa là:
imA = imA.
5
Không gian thương X
2
imA được gọi là đối nhân của toán tử A và
được kí hiệu bởi CokerA, kí hiệu β(A) = dim CokerA.
Định nghĩa 1.2. Một toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X
1
, X
2
) được
gọi là một toán tử Noether nếu:
1, A là một toán tử giải chuẩn.
2, α(A) và β(A) là những số hữu hạn.
1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính
chất
Định nghĩa 1.3. Số nguyên: indA = α(A) −β(A) được gọi là chỉ số của
toán tử Noether.
Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
A : X
1
→ X
2
được gọi là toán tử Noether nếu thỏa mãn hai điều kiện:
1, Toán tử A giải chuẩn (tức là: imA = imA),

F.
Toán tử compact có chỉ số bằng không.
Toán tử Fredholm là toán tử Noether với chỉ số bằng không.
A là toán tử Fredholm chính tắc nếu A = I + D, trong đó D là toán
tử compact.
Ví dụ 1.1. : toán tử
U : C[a, b] → C[a, b]
(Uϕ)(x) ≡ ϕ(x) + λ

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
trong đó K(x, s) là hàm liên tục trên miền [a,b]x[a,b].
Sau đây, ta giới thiệu một số định lý cơ bản về công thức tính chỉ số của
toán tử Noether: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson.
Định lý 1.1. (Nikolskii) Toán tử A ∈ L(X
1
, X
2
) là Fredholm khi và chỉ
khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
a, Toán tử A có biểu diễn
A = B + D,
trong đó B là toán tử khả nghịch liên tục và D là toán tử compact.
b, Toán tử A có biểu diễn A = B
1
+ K trong đó B
1
có nghịch đảo
7

α(A)
k=1
∈ X
∗
1
và {ζ
k
}
α(A)
j=1
∈ X
2
trực giao với hệ: {x
k
}
α(A)
k=1
và {u
j
}
α(A)
j=1
chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử:
B
1
x ≡ Ax +
α(A)

j=1
ξ

(Ax
0
+
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
)ζ
j
) = u
j
(Ax
0
)+
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
)u
j
(ζ) = A
∗
u
j

j
(ξ
k
) = δ
jk
. Suy ra, x
0
∈ KerA vì Ax
0
=
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
) = 0. Nên ta có
biểu diễn:
x
0
=
α(A)

j=1
α
j
x
j
Do x

j
, j = 1, 2, , α(A). Dễ
thấy x
0
là nghiệm, hơn nữa nghiệm của phương trình B
1
x = y nếu tồn tại
thì duy nhất.
8
Bây giờ chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta
viết lại phương trình dưới dạng một hệ phương trình:







Ax = y −
α(A)

j=1
d
j
ξ
j
ξ
j
(x) = d
j

= u
j
(y) thì:
u
j
(y) −
α(A)

k=1
d
k
u
j
(ξ
k
) = u
j
(y) − d
j
= 0.
Do đó phương trình đầu của hệ (1.2) được giải. Khi đó nghiệm tổng quát
có dạng
x =

x +
α(A)

j=1
c
j

x) + c
j
, j = 1, 2, . . . , α(A).
(1.3)
Nó đủ để chọn
c
j
= u
j
(y) − ξ
j
(

x), j = 1, 2, . . . , α(A).
9
Sao cho đẳng thức (1.3) đúng. Nghĩa là B
1
là toán khả nghịch. Vì một
toán tử hữu hạn chiều là toán tử compact nên biểu diễn a, được chứng
minh.
Bây giờ ta chỉ ra a, là điều kiện đủ của định lý Nikolskii. Vì B là toán
tử khả nghịch, liên tục trong L(X
1
, X
2
) nên ta được hai phương trình sau
tương đương Ax = y và B
−1
Ax = B
−1

) và
B
2
∈ L(X
2
, X
1
) sao cho B
1
A và AB
2
là những toán tử Noether.
Chứng minh. a, ⇒ b, cho A là một toán tử Noether. Vì α(A) < ∞ và
β(A) < ∞. Không gian Banach KerA và imA thuộc X
1
, X
2
. X
1
, X
2
có
các tổng trực tiếp:
X
1
= KerA


X
1

A xác định một - một từ

X
1
vào imA. Hơn nữa, toán tử

A có một
toán tử nghịch đảo bị chặn:

A
−1
.
Xét toán tử chiếu: K
1
: X
1
→ KerA và K
2
: X
2
→

X
2
. chúng ta viết:
K
1
= −
α(A)


là trực giao với các hệ {x
j
}
α(A)
j=1
và {z
j
}
β(A)
j=1
.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng toán tử R =

A
−1
(I − K
2
) là một chính quy của
toán tử A.
Toán tử K
1
và K
2
hữu hạn chiều có cùng vai trò như toán tử
D
1
: X
1
→ X
1

A(I −K
1
)x = (I −K
1
)x
ARy = AR(K
2
+ I − K
2
)y = A

A
−1
(I −K
2
)y = (I − K
2
)y
nên a, ⇒ b, được chứng minh.
b, ⇒ c, được chứng minh tương tự.
c, ⇒ a, từ KerA ⊂ Ker(B
1
A), KerA
∗
⊂ Ker(AB
2
)
∗
. Ta thấy số chiều
của các không gian con KerA và KerA

là một đa tạp
tuyến tính và X
2,2
được chứa trong không gian hữu hạn chiều X
2,1
nên
X
2,2
là một không gian con hữu hạn chiều và X
2,2

im(AB
2
) ∩imA Hơn
nữa, mọi véctơ y ∈ imA có thể biểu diễn dưới dạng y = y
1
+ y
2
trong đó
y
1
∈ im(AB
2
) và y
2
∈ X
2,1
. Vì y
1
∈ imA và imA là tuyến tính, nên ta có

là toán tử Noether, thì toán tử tích AB : X
1
→ X
3
cũng
là toán tử Noether và indAB = indA + indB.
Chứng minh. Do các toán tử A và B có chính quy R
A
và R
B
tương ứng.
Dễ thấy R
B
R
A
là một chính quy của tích AB. Hơn nữa, AB là toán tử
Noether, không gian X
1
, X
2
, X
3
có các biểu diễn sau:
X
1
= X
1,1

KerB,
X

3,2
= X
3,1

AX
2,1
.
Do đó
dim Coker(AB) = dim X
3,2
= dim KerA + dim AX
2,1
Chúng ta có:
dim AX
2,1
= dim X
2,1
−dim(X
2,1
∩KerA) = dim CokerB−dim(X
2,1
∩KerA).
Suy ra,
indAB = dim Ker(AB) − dim Coker(AB)
= indB − dim CokerA + dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X
2,1
).
Nhưng,
dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X
2,1

chúng ta có: ||RB|| = ||BR|| < 1. Suy
ra, I + RB và I + BR có toán tử nghịch đảo liên tục.
Theo Định lý Nikolskii, I + BR + D
1
và I + BR + D
2
là các toán tử
Noether. Thật vậy, indR + indA = indRA = 0 ta lại có: indR + ind(A +
B) = indR(A + B) = 0. Do đó chúng ta được: indA = ind(A + B) =
−indR.
Định lý 1.5. (Mikhlin và Atkinson) Nếu A là một toán tử Noether và D
là một toán tử compact thì A + D là một toán tử Noether và:
ind(A + D) = indA.
Chứng minh. Toán tử Noether A có một chính quy R nghĩa là tồn tại R
RA = I + D
1
,
AR = I + D
2
,
trong đó D
1
và D
2
là các toán tử compact. Ta có:
R(A + D) = I + D
1
+ RD,
(A + D)R = I + D
2

2
)
Định lý 1.6. Nếu toán tử Noether A : X
1
→ X
2
và toán tử B : X
1
→ X
2
là đồng luân thì: indA = indB.
Chứng minh. Xét ánh xạ liên tục Φ : [0; 1] → Θ(X
1
, X
2
) sao cho Φ (0) = A
và Φ (1) = B. từ định lý Dieudonne và tính liên tục của ánh xạ Φ với mọi
t
0
∈ [0; 1] tồn tại một số ε > 0 sao cho indΦ (t) = indΦ (t
0
) trong đó
|t − t
0
| < ε. Theo định lý Heine - Borel, chúng ta có thể bao phủ đoạn
[0; 1] thành hữu hạn những khoảng có độ dài nhỏ hơn ε.
So sánh chỉ số của toán tử Φ (t) với t thuộc các khoảng kể trên ta
thấy chỉ số của Φ (t) bằng nhau trong mỗi khoảng. Bắt đầu với khoảng
chứa Φ (0) = A kết thúc bởi Φ (1) = B. Suy ra, indA = indB.
Chúng ta kí hiệu hai toán tử đồng luân A và B là A  B. Đặc biệt từ

khi di chuyển trên đường cong Γ thì miền D
+
luôn thuộc bên tay trái của
chuyển động.
Chúng ta kí hiệu (r; t), ([r; t]) là một cung mở (đóng) trên Γ với các
điểm biên là r và t. Các toán tử được xét trong luận văn tác động trong
không gian Banach L
p
(Γ), (1 < p < ∞), L
p
(Γ), (1 < p < ∞) là tập các
hàm khả đo được trên Γ, khả tích Lebesgue bậc p với chuẩn là
||ϕ||
L
p
= (

Γ
|ϕ(t)|
p
dt)
1
p
,
và H
µ
(Γ), µ ∈ (0; 1] là không gian các hàm xác định trên Γ và thỏa mãn
điều kiện Holder với số mũ µ. Không gian H
µ
(Γ) là không gian Banach

−
(Γ) triệt tiêu tại vô cực kí
hiệu là R
0
−
(Γ). Ta được, mỗi hàm r ∈ R(Γ) có thể biểu diễn dưới dạng:
r = r
+
+ r
−
. Trong đó r
+
∈ R
+
(Γ) và r
−
∈ R
0
−
(Γ).
Định nghĩa 1.10. Chọn điểm t ∈ Γ làm tâm đường tròn bán kính  đủ
nhỏ, giả sử t
1
và t
2
là giao điểm của đường tròn này với Γ. Do bán kính
đủ nhỏ nên đường tròn không có điểm chung nào khác với Γ khác t
1
và t
2

(Γ), 1 <
p < ∞. Toán tử S được gọi là toán tử của tích phân kỳ dị trên Γ.
1.2.2 Một số tính chất của SIFO
Bổ đề 1.1. Cho Γ là một chu tuyến đóng, r
+
∈ R
+
(Γ), r
−
∈ R
0
(Γ). Thì
ta có đẳng thức (Sr
+
)(t) = r
+
(t) và (Sr
−
)(t) = −r
−
(t).
Hệ quả 1.2. Cho Γ là một chu tuyến đóng Lyapunov và r ∈ R(Γ) thì ta
được đẳng thức (S
2
r)(t) = r(t).
17
Hệ quả 1.3. Cho T là một đường tròn đơn vị {t ∈ C : |t| = 1} thì
span{t
k
}

}
+∞
−∞
bị chặn trong L
2
(T) và ||S
0
||
L
2
= 1. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng
toán tử S
0
bị chặn trong không gian L
p
(T)với p ∈ [2; ∞).
Cho ϕ(t) =
n

k=−n
a
k
t
k
, ϕ
+
(t) =
n

k=0

ϕ)
2
= 2(ϕ
2
+
+ ϕ
2
−
) = 2S
0
(ϕ
2
+
− ϕ
2
−
) = 2S
0
(ϕS
0
ϕ)
Suy ra
||(S
0
ϕ)
2
||
L
p
≤ ||2S

Suy ra
||S
0
ϕ||
2
L
2p
≤ 2||S
0
||
L
p
||ϕ||
L
2p
||S
0
ϕ||
L
2p
+ ||ϕ||
2
L
2p
tương đương với
y
2
− 2||S
0
||


1 + ||S
0
||
2
L
2p
S
0
bị chặn trên không gian L
p
(T), ∀t ∈ [2; ∞)
Cuối cùng chứng minh tính bị chặn của toán tử S
0
trên L
p
(T) với
p ∈ (1; 2), cho q =
p
p − 1
Với cặp đa thức lượng giác
ϕ(t) =
n

k=−n
ξ
k
t
k
, ψ(t) =

k
= 1 nếu k ≥ 0 và ε
k
= −1 nếu k < 0. Suy ra, trên R(T)
toán tử S
∗
0
là toán tử liên hợp của toán tử S
0
tác động lên không gian
L
q
(T), q ∈ [2; ∞).
Vì vậy, ta có toán tử S
0
bị chặn trên L
p
(T), p ∈ (1; 2]
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.7. (Mikhlin và khvedelidze) Toán tử của tích phân kỳ dị S trên
một chu tuyến đóng đơn Lyapunov Γ bị chặn trên không gian L
p
(Γ) với
mỗi p ∈ (1; ∞).
Hệ quả 1.4. Cho Γ là một cung Lyapunov không đóng đơn thì toán tử S
của tích phân kỳ dị trên chu tuyến Γ bị chặn trên không gian L
p
(Γ) với
mỗi p ∈ (1; ∞).
Định lý 1.8. Toán tử tích phân kỳ dị trên chu tuyến đóng đơn Γ định

) nếu:
a, Γ là một đoạn [a, b] của trục thực.
b, Γ là đường tròn đơn vị T.
Định lý 1.11. Với mọi cung Lyapunov Γ, toán tử
T = S
∗
− S : L
2
(Γ) → L
2
(Γ)
là toán tử compact.
Chú ý: Cùng với không gian L
p
(Γ), p ∈ (1, ∞), chúng ta sẽ xét không
gian tuyến tính L
n
p
(Γ) bao gồm các véc tơ n chiều u = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
trong đó u
k
∈ L
p
(Γ), k = 1, 2, . . . , n. Chuẩn trong L


(t) luôn khác không và thỏa mãn điều kiện Holder tại
mọi điểm trên Γ.
Phân loại hàm dịch chuyển có thể thực hiện theo các cách sau:
1, Hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ hoặc thay đổi hướng
(theo hướng ngược lại) trên Γ.
2, Hàm dịch chuyển α(t) có hoặc không có điểm tuần hoàn trên Γ.
3, Nếu tồn tại những điểm tuần hoàn thì hoặc là tất cả những điểm
trên đường cong Γ là tuần hoàn hoặc những điểm tuần hoàn trên Γ là một
tập đóng.
Sau đây là định nghĩa điểm tuần hoàn, điểm bất động và tập điểm tuần
hoàn.
Định nghĩa 1.13. Một điểm r ∈ Γ được gọi là một điểm tuần hoàn
của hàm dịch chuyển α(t) cấp k ≥ 1 nếu α
k
(r) = r và ( cho k>1),
α
j
(r) = r, ∀j = 1, 2, . . . , k −1, trong đó α
j
(t) = α(α
j−1
(t)), và ta quy ước
α
0
(t) ≡ t.
21
Một điểm tuần hoàn bậc một được gọi là điểm bất động hàm dịch
chuyển.
M(α, k) là kí hiệu của tập các điểm tuần hoàn của dịch chuyển α(t)

2
trùng nhau và: (r
1
; r
2
) = Γ{r
1
}. Khi
r
1
, r
2
∈ M(α, 1) và α(t) bảo toàn hướng (α(t) là đồng phôi từ Γ vào chính
nó). Điểm α(t) ∈ (r
1
; r
2
) nghĩa là α(t) ánh xạ cung (r
1
; r
2
) lên chính nó.
Thật vậy, cung (r
1
; α(t)) và (α(t); r
2
) được ánh xạ bởi hàm α(t) lên các
cung (r
1
; α(t)) và (α(t); r

2
). Vì α(t) bảo
toàn hướng trên Γ, chúng ta được
α
n
(t) ∈ (α
n−1
(t); r
2
), n = 1, 2, . . . . (1.8)
Như vậy ta có: α
n
(t) = t với mọi n = 1, 2, . . . Suy ra, nếu t ∈ M (α, 1)
thì t ∈ M(α, k) với mọi k = 2, 3, . . . khi t là một điểm bất kỳ của tập
ΓM(α, 1), chúng ta có: M(α; k) = ∅, k = 2, 3, . . .
Khi k > 1 và M(α, k) = ∅. Đặt m là số dương nhỏ nhất sao cho
M(α, m) = 0. Nói cách khác, M(α, m) = ∅ và M(α, j) = ∅ với j =
1, 2, . . . , m − 1. Cho β(t) = α
m
(t), ta được β(t) bảo toàn hướng trên Γ.
Chúng ta có: M(β, 1) = ∅ và nếu α(t) có điểm tuần hoàn cấp k > m thì
β(t) sẽ có điểm tuần hoàn cấp lớn hơn đơn vị (Nhưng điều này không thể
xảy ra theo điều kiện trên). Do đó, M(α, l) = ∅ nếu l = k
Bổ đề 1.4. Nếu một hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ, và
nếu các điểm r
1
, r
2
∈ M(α, 1) sao cho: (r
1

+
1
).
2, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là khác rỗng và không trùng
với chu tuyến Γ. Hơn nữa, tất cả các điểm tuần hoàn của α(t) có cùng cấp
k ≥ 1 (lớp M
+
2
).
3, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là rỗng (lớp M
+
3
).
23

Trích đoạn Tiêu chuẩn Noether cho toán tử cặp đôi

---