1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN ANH BÌNH MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS
TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Mã số : 60.44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2012
3
MỞ ĐẦU
Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R.
Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái
chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công
các quá trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ nhƣ sự
dịch chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ
dị thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng
nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của
electron với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ
của tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng moment từ electron
, và nó bằng
00
0
00
|1
22
ee
c
m c m
, giá trị này đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng của electron. J.
Schwinger /13/ là ngƣời đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thƣờng của
electron vào năm 1948 và ông thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ
chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai
5
số tính toán với thực nghiệm vào khoảng
10
10 %
). Biểu thức giải tích của moment
từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã thu đƣợc
23
0
23
1 0,32748 1,184175
2
ly thuyet
(0.1)
0
hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp theo cho phƣơng
trình Pauli ở gần đúng bậc
cao hơn
v
c
thu đƣợc bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở
mục 1.3.
Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng
của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta nêu
vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với
6
trƣờng điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần
đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho
việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi
tƣơng đối tính.
Chƣơng 3. Moment từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp Pauly-Villars ( P-V ) ta tách phần hữu hạn và
phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức
bổ chính cho moment từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở mục
3.2.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự. Trong Bản luận văn này chúng
tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
7
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON
Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa moment từ của electron với trƣờng
điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của moment từ với
trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục $1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở
là một spinor hai thành phần
1
2
,,
2
,,
,,
2
z
rt
r s t
rt
0
0
2
e
e
U H s sH
mc m c
(1.3)
Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng
2
0
()
2
p
H U r
m
(1.4)
Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dƣới
2
00
0
00
,,
1
,,
22
z
z
r s t
ee
i p A e r U r sH r s t
t m c m c
(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận tiện ta viết
các spinor hai thành phần
9
13
24
,,
u
ud
d
(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai thành phần
dƣới). Kể thêm
2
0 ( ) 2 ( )
0 , 0 ,
2
1
v
p A O
m c c c
(1.11)
Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-)
2
( ) ( )
0
2
0
2
ud
e
v
p A O
m c c c
c
.
Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dƣơng ta
có
1
( / )
u
O v c
(1.13)
2
3
20
0
3
0
1
2
d
u
ev
i p A m c eA O
t m c c
(1.14)
10
2
3
20
0
3
0
1
2
u
d
ev
i p A m c eA O
t m c c
(1.15)
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac
2
3
20
0
3
00
1
ˆ
,
22
0
ˆ
0
nr
nr
iH
t
e e v
H m c p A eA B O
m c m c c
(1.16)
đúng đến bậc
2
2
v
c
cùng với toán tử và tự liên hợp .
nr
H
. Nếu chúng ta giới hạn ở
nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phƣơng trình này với độ chính xác
2
0
mc
trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài
Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của
phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác
MB
giữa moment từ (hay spin ) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có
11
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lƣu ý các biểu thức để cho mật độ
xác suất và mật độ dòng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (1.16) với độ chính
xác
2
2
v
c
.
† † † †
2
,
2
ie
jA
im c
(1.18)
Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục
/0tj
Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc
/vc
và phƣơng trình Dirac ở dạng
2
0
0,m c K K
(1.19)
cùng
22
0
2 2 2
0
1
(1) ,
vv
i eA O O O
m c t c c
mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó
cao hơn và cao hơn bậc
/vc
sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới
bậc
/vc
. Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta thu đƣợc
12
21
0
0, ,m c K U K UKU
(1.22)
23
23
,,
vv
K O O
cc
2
iS
i
U e S
(1.26)
Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng nhƣ
công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán
3
cho việc tính
toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến
K
(1.27)
cùng
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
c
(1.29)
Nhƣ ta đã thấy
bây giờ đã nâng lên hai bậc
/vc
. Từ đây chúng ta nhận đƣợc
toán tử
K
đúng đến bậc
3
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
(1.32)
và
2 4 5
5
1
,,
2 8 8
v
KO
c
(1.34)
Cuối cùng kết quả dẫn đến phƣơng trình Dirac
iH
t
(1.35)
2
2 2 2 2
,,
00
1
ˆ
ijk k i i j j
i j k
i e e e
p A p A p A
m c c c m c c
2
3 2 2
00
Tiếp theo ta tính giao hoán tử
0
23
0
1
,,
e
p A i eA
m c c t
0
23
0
1
,,
ie
34
0
, , ,
ie e
p A E
m c c
34
0
,
ie
pE
mc
ie
p E E p
mc
34
, , ,
0
ˆˆ
2
ijk k ij i j ijk k j i
i j k i j
ie
i p E i E p
mc
4
4
v
O
c
với việc chéo hóa Hamilton
2
20
0
00
1
ˆ
22
ee
H m c p A B eA
m c m c
4
(1.39)
Và ta có hàm sóng
/2 /2ii
x e e x
(1.40)
Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho
những bậc cao hơn có thể thực hiện
/vc
Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây
- Khi các
, , SS
.là tự liên hơp , thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
, , UU
cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị
(1.42)
- Các toán tử một hạt nhận đƣợc trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép
biến đổi cho các toán tử ban đầu (tƣơng đối tính) và sau đó tách các phần chéo.
Phƣơng pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm
sóng cùng với kích thƣớc so với bƣớc són Compton của hạt.
16
- Phƣơng pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong
vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac đã cung cấp phƣơng pháp
chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phƣơng trình Dirac
(1.7) dƣới dạng
2 (0) (0) (0) (0) (0)
0
0,m c K K
(1.43)
Cùng với các toán tử chẵn
0
,
(1.45)
()
()
exp
2
n
n
i
U
(1.46)
Ta nhận đƣợc biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó
2 2 1
( ) ( )
2 2 1
,
n
nn
n
vv
OO
cc
0, , 0
xV
B E A E
e r r
(1.49)
Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tƣơng ứng
2 4 2
22
0
3 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
2 8 8 4
u
p p V
H m c V r V L
m m c m c m c r r
(1.50)
17
L
m c r
(1.51)
Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hƣởng tới các s-trạng thái. TỔNG KẾT
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tƣơng đối tính) phép gần đúng phi tƣơng đối tính của
phƣơng trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây
suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trƣớc đây nó đồng nhất cho
phƣơng trình phi tƣơng đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trƣờng hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ
là gần đúng. Điều này có thể đạt đƣợc bằng cách sử dụng phƣơng pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton đƣợc chéo hóa thành công ở các bậc cao
hơn
/vc
. Đối với phần chẵn của toán tử đƣợc chéo hóa và toán tử Hamilton tự
liên hợp là đúng đắn đến bậc đƣợc nghiên cứu
/vc
, mà từ đây ta thu đƣợc lý
thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.
H
mô tả tƣơng tác của moment từ riêng
với từ trƣờng ngoai
H
. Hạt có spin
bằng ½ có điện tích e, sẽ có moment từ
0
2
ee
S
mc mc
- Moment từ dị thƣờng trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng
0
2
CHƢƠNG 2
CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP
VÀO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON Xuất phát từ Lagrance tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta viết S-
matrận tƣơng ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng điện từ ngoài
ext
Ax
. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng
cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo
luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đăc biết trong gần đúng phi tƣơng đối
tính
2.1. S-ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trƣờng ngoài. Nếu trƣờng
ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhƣng về
nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ đƣợc mô tả
bằng S-ma trận /1/
23
0
4
1 ,
2! 3! !
n
Z
n
ext
Z Z Z
eZ
n
Z ie N A x d x
(2.2)
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trƣờng ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến có thể viết:
20
2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 (b3) (b4)
Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đƣờng electron
trƣờng điện từ ngoài
đƣờng photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lƣợng
1
p
bay vào vùng có
trƣờng điện từ bị tán xạ bay ra với xung lƣợng
2
p
ở gần đúng bậc thấp nhất. Các
21
giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tƣơng tác của electron với chân không vật
lý- chân không của trƣờng điện từ và chân không của trƣờng electron-pozitron.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1)
cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2),
(b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lƣợng của electron, chuẩn hóa điện tích
của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trƣờng điện từ ngoài.
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tƣơng ứng với
giản đồ Hình 1. (a) theo quy tắc Feynman có thể viết nhƣ sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
,
với:
()
x
:toán tử hủy
e
;
()
x
:toán tử hủy
e
;
nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
.
(2.5)
Xét yếu tố ma trận:
2 1 2 1
||0 |0 0 |0ccp c p p c p
(2.6)
Khi chuyển các toán tử sinh electron
1
()cp
từ phải sang trái và chuyển các
toán tử hủy electron
2
()c p
từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ
tƣ của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.
( ) ( )
3
21
20
2
2
1
1
2
2
10
21
11
2
2
ip x ip x
mm
u p u p
pp
ee
(2.7)
Thay (2.6) vào (2.3) ta đƣợc yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trƣờng điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :
0
2 1 0 2 1 2 1
1
2
ex
10 20
2
1
||
t
m
p S p e u p u p A p p
pp
, (2.8)
trong đó:
1
up
: spinor của electron ở trạng thái đầu ;
p S p p p R
(2.9)
trong đó
fi
R
đƣợc xác định bằng công thức:
12
2
0
0 2 1 2 1
10 20
2
/
ext
fi
m
R e . u p u p A p p
pp
(2.10)
và đƣợc gọi là biên độ tán xạ của electron trong trƣờng điện từ ngoài tĩnh (trƣờng
(2.11)
trong đó
là đỉnh « trần » , còn
12
,pp
đƣợc xác định bằng tập hợp các giản
đồ Hình 1. Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trƣờng ngoài cùng với tất cả các bổ
chính đƣợc kể đến, đƣợc xác định bằng, mà trong đó ta thay
21
uu
bằng
21
uu
.
2
Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không
Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ».
pp
(2.13)
Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh
2 1 2 1
,,p p p p
(2.14)
trong đó số hạng
là đỉnh “trần” , còn
21
,pp
đƣợc xác định bởi tập hợp
các giản đồ. Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trƣờng ngoài, cùng với các bổ
chính thì biểu thức
p
, Đặt
12
P p p
(2.16)
12
k p p
Khi các đƣờng ngoài nằm trên mặt khối lƣợng
2 2 2
12
p p m
, thì chỉ có một biến độc
lập bất biến mà ta chọn là
2
k
. Định luật bảo toàn dòng
2 2 1 1
,0k u p p p u p
. (2.17)
Điều này dẫn đến các điều kiện sau
25
2 1 2 1
1
2
u u u P i k u
m
(2.19)
Ta có thể viết
22
2 2 1 1 2 1 2 1
1
,
2
u p p u u F k P i k F k i k u
m
Hai thừa số dạng
1E
FF
;
12M
F F F
(2.21)
tƣơng ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ.
Yếu tố S-ma trận để cho tƣơng tác với trƣờng ngoài yếu cùng với tất cả bổ chính
có dạng
4
2 1 0 2 2 1 1
| | ,
ikx ext
p S p ie N d x e u p p u A x
(2.22)
Để cho trƣờng tĩnh công thức này có dạng
3
2
2 1 0 20 10 2 1 1
| | 2
2
ikx ext
F
3
2 1 1 20 10 2 1
0
| | 2
2
ikx ext
ie F
p S p p p d x e u P i k u A x
m
(2.25)
Để cho thế tĩnh điện, số hạng thứ hai triệt tiêu khi
0k
và ta có
3
2 1 1 0 20 10 2 1
| | 0 2
ikx
p S p ie F p p d x e V x u u
Copyright: Tài liệu đại học ©