Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
LỜI NÓI ĐẦU
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,
… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới.
Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật, khối lập
phương, khối lăng trụ, khối chóp,… gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học
công thức tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không
đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,
trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã
gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực
tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu.
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng, vấn đề thể tích
của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn.
Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng
cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay. Khi học vấn đề này nhìn chung
các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư
duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, học không giải được, đặc biệt là
những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào
đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một
cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó
khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ
thị” còn hạn chế.
Tài liệu “ ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp
cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị
tuyệt đối, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai
lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn
xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh
đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong
chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học.
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học
sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPT, ôn thi ĐH, CĐ.

2
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
PHẦN MỘT
THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT VẦN ĐỀ
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HIỆN NAY
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải .

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương
trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý
nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng
quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề
thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ, ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa
số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay
vật thể tròn xoay).
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng
đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích các khối đa diện…). Học sinh không tận
dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề
này.
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để
giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy
sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học.
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại
học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay)
một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ
thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng,
trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp
phải.

+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối.
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối.
+ Hoặc dùng công thức sau:
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
3
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy
chính khóa và dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo. Qua đây rèn luyện cho học sinh
kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán. Giúp học có hình ảnh trực quan về các
hình phẳng.Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng, gần gũi thực tế hơn, hứng thú hơn.
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học
sinh luyện tập từ dễ tới khó. Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải, số còn lại
để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
- Kết hợp với máy tính để biểu diễn các hình phẳng một cách trực quan giúp học sinh
vận dụng công thức tính diện tích, thể tích một cách nhanh chóng và chính xác.
4
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
PHẦN HAI
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn

b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
 Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách
làm như sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét
dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn
[ ]
b ; a
.
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn
[ ]
b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì
[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≥xf
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì

[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≤xf
Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
∫∫
==
b
a
b

−
+=+=+=
∫∫
−−
xxdxxdxxI
Vd 2 :
dxxxJ
∫
−+−=
3
0
2
22
Xét dấu tam thức f(x) = - x
2
+ 2x – 2 , có
0121)2)(1(1'
2
<−=−=−−−=∆
, a = - 1 < 0
Suy ra f(x) < 0
R∈∀x
5
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
x -∞ 0 3 +∞
f(x)= -x
2
+ 2x - 2 - -2 - -5 -
Suy ra
[ ]

2
3
=−+−=






−−−+−=
Vd 3
dxxxK
∫
+−=
2
0
2
23
Cách 1 Xét dấu tam thức f(x) = x
2
– 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và



=
=
⇔=+−
2
1
023

2
3
3
(
0
1
)2
2
3
3
(
2323
x
xx
x
xx
+−−+−=
=
6
5
-
)
6
1
(−
=1
Cách 2
1
6
1

-2
O
1
Hình 1
Bài toán 2 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4, trục hoành
Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2.
6
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
+=
0
2
42
Từ hình vẽ, suy ra
[ ]
2;0-x , 042 ∈∀≥+x
Do đó
[ ]
0 0
2
2 2
2
0
2 4 (2 4) ( 4 )
2
0 ( 2) 4( 2) 4
S x dx x dx x x
− −

[ ]
2 4 0, x -2;0x− − ≥ ∀ ∈
Do đó
[ ]
4)2(4)2(0
2
0
)4()42(42
22
0
2
0
2
=−+−−=
−
+=+=−−=
∫∫
−−
xxdxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 3 . Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây:
y
x
f
x
()
= x
3
4
-2

3
0
=−====
∫∫
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây .
y
x
f
x
()
=
x
2
3
4
-2
O
1
A
B
Hình 4
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x =2.
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫

dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 5 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x
2
, trục hoành Ox
và hai đường thẳng x = -1; x = 2.
7
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
x
f
x
( )
= -
x
2
3
-4
-1
-2
O
1
A
B
Hình 5
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
−=

−
−=
−
==−=
∫∫
−−
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 6.
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó .
y
x
f
x
( )
= -x-2
3
-4
2
-1
-2
O
1
A
B
Hình 6
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS







+−+=+=+=−−=
∫∫
x
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 7.
Cho hàm số y = -x
2
+2x – 2 có đồ thị (C ) .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C), trục hoành và hai đường thẳng x =0, x = 3
(C)
y
x
f
x
()
=
-
x
2
+2
⋅
x

Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
0
3
)2
3
()22(22
2
3
3
0
2
3
0
2
xx
x
dxxxdxxxS
+−=+−=−+−=
∫∫

6069
3
27
0.20
3
0
3.23
3
3
2

O
1
A
B
Hình 8
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
2
+2x +2, trục hoành và các đường thẳng
x = -1, x = 1 .
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxxS
∫
−
++=
1
1
2
22
Từ hình vẽ, suy ra
[ ]
1;1-x , 022
2
∈∀≥++ xx
1
1
)2
3
()22(22
2
3

)1(
1.21
3
1
2
3
2
3
=+++=−+
−
−+=






−−+
−
−++=
(đvdt)
Bài toán 9.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x
3
–x
2
+ 2, trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1; x = 2.
y
x
f

2
Từ hình vẽ, suy ra
[ ]
1;2-x , 02
23
∈∀≥+− xx
1
2
)2
34
()2(2
34
2
1
23
2
1
23
−
+−=+−=+−=
∫∫
−−
x
xx
dxxxdxxxS
12
85
2
3
1

−+−=
(đvdt)
Bài toán 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
)(
−
−−
==
x
x
xfy
, trục
hoành và các đường thẳng x = -1; x = 0 .
9
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
x
f
x
( )
=
-x-2
x-1
3
-4
2
-1
-2
O

−
−−=
−
−−−
=
−
−−
=
−
−−
=
0
1
0
1
0
1
0
1
)
1
3
1()
1
3)1(
)
1
2
(
1

x
( )
=
x
3
3/2
3
-1
4
-2
O
1
A
B
Hình 11
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS
∫
−
=
2
3
1
3
. Từ hình vẽ, suy ra
[ ]
1;0-x , 0
3
∈∀≤x
và

3
0
1
2
3
0
33
2
3
1
3
xx
dxxdxxdxxdxxdxxS
+
−
−=+−=+==
∫∫∫ ∫∫
−−−
64
97
64
81
4
1
0
64
81
)
4
1

, x
2
, …, x
k
thuộc (a ; b) thì trên mỗi
khoảng (a ; x
1
) , (x
1
; x
2
) , …, (x
k
; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .
Khi đó để tính tích phân
∫
=
b
a
dxxfS )(
ta có thể tính như sau :
∫∫∫∫
+++==
b
x
x
x
x
a
b

1
A
B
Hình 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng
x = 2.
Giải
Trục tung có phương trình x = 0. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và
hai đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

dxxxS
∫
+−=
2
0
23
23
Cách tính 1
Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1
.
Hơn nữa x
3
-3x
2
+ 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và x
3
-3x
2
+ 2 ≤ 0 ∀x∈ [ 1 ; 2 ]
Do đó

)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4
3
4
3
4
xx
x
xx
x
2
5
21
4
1
4841
4
1
=+−+−+−+=
(đvdt)
Cách tính 2
∫∫∫

4
(
3
4
3
4
=+=
−
+=+−++−= xx
x
xx
x
(đvdt)
Bài toán 13 Cho hàm số y = x
4
- 3x
2
+ 2 có đồ thị ( C ) . (Hình 13 )
(C)
y
x
f
x
( )
=
x
4
-3
⋅
x

2
+ 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
11
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Do đó
5
12
1
1
)2
5
()23(23
3
1
1
5
24
1
1
24
=
−
+−=+−=+−=
∫∫
−−
xx
x
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 14 . Cho hàm số y = -x

Hình 14
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên .
Giải
a/ Ta có



±=
±=
⇔




=
=
⇔=−+−
2
1
4
1
045
2
2
24
x
x
x
x

1
2424
1
2
2
2
24
−+−++−+−+−=−+−=
∫∫∫∫
−
−
−−
8
15
22
15
76
15
22
=++=S
(đvdt)
Bài toán 15 . Cho hàm số y = -x
3
- x + 1 có đồ thị ( C) (Hình 15)
a/ Xét chiều biến thiên của hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.
(C)
y
x
f

0
1
3
0
1
3
=+−−=+−−=
∫∫
−−
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 16 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành ,
trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16
12
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
x
f
x
( )
= x
⋅
ln
x
( )
GiaoDiem
3
O
1
A

x
v
dx
x
du
xdxdv
xu
Do đó
4
1
1
42
1
ln
2
1
.
2
1
ln
2
ln
222
1
2
1
22
1
+
=−=−=−==

y
x
f
x
( )
=
x
2
+x
(
)
-2
x+1
Gi aoDiem
Gi aoDiem
3
-1
4
-2
O
1
Hình 17
Giải :a/ Ta có



−=
=
⇔


0'
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
y
Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)
b/ Diện tích S cần tìm là
dx
x
xx
dx
x
xx
dx
x
xx
S
∫∫∫
+
−+
+
+

1
2
()
1
2
(
22
3
1
1
0
+−++−=
+
−+
+
−=
∫∫
x
x
x
x
dx
x
xdx
x
x
2ln4
2
9
2ln2

1
Hình 18
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e
2x
, trục hoành y = 0, trục tung x = 0 và
đường thằng x = -1. Vì e
2x
> 0 với mọi x thuộc R nên e
2x
> 0
[ ]
0;1−∈x
nên diện tích S của
hình phẳng đã cho là:
)
1
1(
2
1
)(
2
1
1
0
2
1
102
0
1
2

45 += xy
, trục hoành, và hai đường
thẳng x = 0, x = 1 .
Vì
45 += xy
≥ 0 với mọi
[ ]
1;0∈x
.
dxxS
∫
+=
1
0
45
. Đặt u = 5x + 4 => du = 5dx
Khi x = 0 => u = 4
Khi x =1 => u = 9
Do đó
15
38
)827(
15
2
)49(
15
2
4
9
15

x
f
x
( )
= -
5
⋅
x+4
-4
-1
-2
O
1
Hình 20
Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số
45 +−= xy
, trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 0, x = 1.
15
38
4545
1
0
1
0
=+=+−=
∫∫
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 21: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

dxxxS
∫
+−=
3
0
2
23
.
Vì
(
] [
)
+∞∪∞−∈∀≥+− ;21; 023
2
xxx
và
( )
2;1 023
2
∈∀<+− xxx
∫ ∫ ∫∫∫
+−++−−+−=+−=+−=
1
0
2
1
3
2
222
3

y
x
f
x
( )
=
x+2
x-1
2
-1
4
-2
O
1
-4
Hình 22
Diện tích S cần tìm là
dx
x
x
S
∫
−
−
+
=
0
4
1
2

−
−−
=
−
+
+
−
−−
=
−
+
=
∫∫∫∫∫
−
−
−−
−
−−
0
2
2
4
0
2
2
4
0
4
1
2

−
−−−
=
−
−−
=
∫∫∫
−
−
−
−
−
−
xxdx
x
dx
x
x
dx
x
x
A

2)3ln5(ln323ln35ln3)5ln34()3ln32(
−−=−−=−−−=

3ln32)3ln32(0
2
0
)1ln3()

x
dx
x
x
B
5ln343ln32)3ln5(ln32 −=−+−−=+= BAS
4/ Diện tích hình tròn, hình elip :
a) Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương
x
2
+ y
2
= r
2
( r > 0). Khi đó hình tròn đó có diện tích là :
2
rS
π
=
Giải : Ta có
22222
xryryx
−±=⇔=+
15
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(P)
x
y
-r

-b
4
-1
b
-a
-2
-1
r
a
O
1
Hình 24 a
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là :
π
baS .
=
(đvdt)
Bài toán 23 . Cho hình phẳng sau. Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol (P):
3
3
1
2
−=
xy
; nửa elip ( E ) và trục tung.
(P)
(E)
x
y
-3

=−=−=
∫∫
−
.
Do đó
2
1
.2 rSS
π
==
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Phương trình của nửa (E ) là :
1
9
2
2
=+ y
x
với y ≥ 0 hay (E ) :
2
9
3
1
xy
−=

Gọi S
1
là diện tích của hình phẳng giới hạn bửa nửa elip (E) , trục hoành , trục tung .
Ta có

2
=−=−=
∫∫
dxxdxxS
(đvdt)
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
4
423
2
21
4
3 +
=+=
ππ
S
(đvdt)
Bài tập tương tự :
1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) y = x
2
, trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1
b) y = -x
2
+ 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1
c) y = e
x
, y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2
d) y = x
2
– 4 và trục hoành .

π
=x
II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x
0
; y
0
) thì cặp số (x
0
; y
0
) là nghiệm của
hệ phương trình



=
=
)(
)(
xgy
xfy
(1)
 Hoành độ x
0
của điểm chung M là một nghiệm của phương trình
)()( xgxf =
(*)

⇔=−−⇔=−−−⇔=−−−⇔
0
2
3
1
0)1)(3(0)3()3(0)3(3
2
y
y
x
x
xxxxxxxx
17
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là: (1 ; - 2) và (3 ; 0)
Vd 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
0)1(ln0lnln =−⇔=−⇔= xxxxxxxx
Vì x > 0 nên
exxxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln0)1(ln
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Vd3: Cho hai hàm số
33
23
+−−= xxxy
và
44
23
++−−= xxxy

x
xx
Vậy hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau
tại ba điểm có hoành độ lần lượt là :
1
1, x - , x 1
2
x = − = =
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có
diện tích S được tính theo công thức :
dxxgxfS
b
a
∫
−= )()(
.
Bài toán 24 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai
đường thẳng x = 1 , x = e
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là
0)1(ln0lnln =−⇔=−⇔= xxxxxxxx
Vì x > 0 nên
exxxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln0)1(ln
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Trên đoạn
[ ]
e; 1

−
=−+
+
−=+
+
−=
eee
e
xe
(đvdt)
Bài toán 25 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số :
33
23
+−−= xxxy
,
44
23
++−−= xxxy
và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 .
Giải:
dxxxdxxxxxxS
∫∫
−+=++−−−+−=
2
0
2
2
0
2323
)1)(12()44(33

2;0
2
1
01
012
0)1)(12(
2
2
x
x
x
x
x
xx
7
6
35
6
7
)1)(12()1)(12(
2
1
2
1
0
2
=+
−
=−++−+=
∫∫

Hình 25
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành .
Giải : Xét phương trình :



±=
±=
⇔




=
=
⇔=−+−
2
1
4
1
045
2
2
24
x
x
x
x
xx

=
15
38
+
15
22
4=

Bài toán 27.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x
2
-3x + 2 và đường thẳng y = x – 1
d
(C)
x
y
4
-3
-2
-1
3
2
1
-3
-2
-1
4
3
2
O

34)1(23
Cách 1 : Dựa vào đồ thị ta có x
2
– 3x + 2 ≤ x – 1 ∀ x ∈ [1 ; 3 ] .
19
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Do đó x
2
– 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]
3
4
3
4
1
3
)32
3
()34(
2
3
3
1
2
=
−
−=+−−=+−−=
∫
xx
x
dxxxS

xx
x
dxxxS
Cách 3 :
3
4
3
4

1
3
)32
3
()34(34
2
3
3
1
2
3
1
2
=
−
=+−=+−=+−=
∫∫
xx
x
dxxxdxxxS
Bài toán 28 . Cho hình phẳng ở hình 25

=
=
⇔



+=
+−=
2
1
0.22
20
b
a
b
ba
Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :



±=
=
⇔=−⇔=−⇔+=+−
2
0
0)4(04223
233
x
x

3
=−+=−+−=
∫∫
−
dxxxdxxxS
(đvdt)
Bài toán 29. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến ∆ .
20
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
(C)
x
y
-5
2
-2
-3
-1
3
1
-3
-2
-1
4
3
2

+=
x
x
y
và đường thẳng y =
x
Hãy tính diện tích của hình phẳng đó .
(C)
d
x
y
-2
4
-3
-1
3
2
1
-3
-2
-1
4
3
2
O
1
Hình 29

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :


x
x
x
x
x
x
xxxx
x
Diện tích của hình phẳng đã cho là :
dxxxdxxxdxx
x
dxx
x
S
∫∫ ∫∫
+++=+++=
−−
2
0
2
2
0
0
2
22
0
2
2
43
4

)416(
9
1
4
16
9
1
4
16
2
3
6
1
6
1
6
1
333
2
3
16
4
2
1
16
4
−=−−=−=−=−=−=
∫∫
u
u

2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị (C )
a/ Tìm tiệm cận xiên ∆ của đồ thị hàm số đó .
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , tiệm cận xiên ∆ và các đường
thẳng x = 2 , x = 3 .
(C)
d
x
y
2
-2
4
-3
-1
3
2
1
-3
-2
-1
3
O
1
Hình 30

(lim)(lim =
−
−=−
−
−=−
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xxy
xxx
Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là :
∫∫∫
−
−
=
−
−=−=
3
2
3
2
3
2
1
1
1
1
dx

−4
−2
2
x
y
Hình 32
Biết rằng (C ) là đồ thị của hàm số
1
23
2
+
+−
=
x
xx
y
; đường thẳng d đi qua hai điểm (4 ;0)
và ( 0 ; - 4) ; đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
46 +x
, trục hoành , và hai đường
thẳng x = 0 ; x = 2
Thể diện tích của hình phẳng (H) .
Bài 4.
Hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường y = 2x
2
- 3x + 2 , y = 0 , x = - 1 , x = 2
Tính diện tích của hình phẳng đó.
- 5 5 10
2

Bài 7.Cho hình phẳng sau :
23
(
∆
)
(d)
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
- 5 5 1 0
- 2
2
4
x
y
Hinh 36
a/ Viết phương trình của các parabol trên.
b/ Tinh diện tích của hình phẳng đã cho.
Bài 8. Cho hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2) và trục hoành.
- 6 - 4 - 2 2 4
- 2
2
4
x
y
Hinh 37
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y =f(x) với trục hoành.
b/ Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 9 .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn các đường sau:
xy sin=
, y = 0,
2

3
, y = 2 - x
2
, x = 0.
Bài 15.Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = 1 + sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 16. Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường
12
2
+
+−
=
x
x
y
, y = 0 và đường thẳng
(d) đi qua hai điểm (-2 ;0) , ( 0 ;2).
- 6 - 4 - 2 2 4
- 2
2
4
x
y
Hình 38
24
Sáng kiến kinh nghiệm: ĐỂ HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
a/ Viết phương trình của đường thẳng (d) .
b/ Tính diện tích của hình phẳng trên.

=x
Bài 22.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x
3
, y = 2 - x
2
, x = 0
Bài 23.Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = 1 + sinx, y = 0, x =0, x =
2
π
Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 24 .Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C ).
c/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên với đường thẳng
y = -x
2
+ 1.
Bài 25.Tính diện tích của hình phẳng sau :
- 6 - 4 - 2 2 4 6
- 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3