Mục lục
1
Chương 1: Mở đầu
Vào cuối thế kỷ thứ 19, Vật lý cổ điển vẫn được xem như là một hệ
thống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ. Nó cho kết quả phù hợp với thực
nghiệm đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến. Đến năm 1900,
Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ
các vật để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vật
đen. Chỉ một vài năm sau, Albert Einstein đã diễn tả chính xác hiện tượng này
trong thuyết lượng tử ánh sáng. Sự không thể hòa hợp lý thuyết Maxwell với
giả thuyết này đã buộc các nhà nghiên cứu phải đi đến kết luận rằng, các hiện
tượng bức xạ chỉ có thể hiểu được bằng việc dứt khoát từ bỏ sự trực quan hóa
về chúng.
Được tìm ra bởi Planck, được nối tiếp bởi Einstein và Debye, lý
thuyết lượng tử tiến thêm một bước nữa khi được diễn tả một cách hệ thống
trong các định đề cơ bản của Bohr, đối lập một cách không khoan nhượng với
cơ học cổ điển, tuy nhiên theo các kết quả định lượng, chúng lại vô cùng cần
thiết cho việc tìm hiểu các tính chất của nguyên tử. Vật lý cổ điển như là
trường hợp giới hạn được trực quan hóa đối với một lĩnh vực vật lý vi mô về
cơ bản là không thể trực quan hóa được. Cơ học lượng tử (CHLT) ra đời như
một lời giải đáp cho hàng loạt những mâu thuẫn nổi lên trong Vật lý của thế
kỷ 19. Các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phù
hợp với thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc. Dù vậy, ngay từ đầu
CHLT cũng chưa được công nhận đối với tất cả các nhà vật lý, ngay cả các
nhà khoa học lỗi lạc như Schrodinger hay Richard Feynman từng nói “không
một ai có thể hiểu được cơ học lượng tử”. CHLT đã mang lại những cuộc
tranh luận gay gắt trong lịch sử phát triển của nó. Chính vì sự khó hiểu đó mà
Einstein đã cho rằng cơ học lượng tử là không hoàn toàn chính xác, vật lý học
2
phải mô tả thiên nhiên đúng như sự thật của nó. Trong cuộc trò chuyện giữa
Einstein với Abraham Pais, Einstein đưa ra câu hỏi thách thức “mặt trăng có

đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử. Thứ hai, sự phát
triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự ra đời của nhiều phòng thí
nghiệm hiện đại với những thiết bị tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác
và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử đã thực sự lôi cuốn mạnh mẽ các nhà
khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Trong những thành công đó
phải kể đến Serge Haroche và David J.Wineland với giải Nobel vật lý năm
2012, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao
tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được
bản chất lượng tử của chúng , mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu
sâu rộng về thông tin lượng tử.
Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit,
còn trong lý thuyết thông tin lượng tử đơn vị cơ bản đó lại là bit lượng tử, còn
gọi là qubit. Thuật ngữ này được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995. Nói
chung quá trình truyền thông tin lượng tử có thể được xem như là sự tổng
quát hóa hay sự mở rộng của quá trình truyền thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ
lượng tử nào cũng được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi 2
trạng thái độc lập tuyến tính với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin
½, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,… đều có thể sử
dụng như các qubit. Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính
lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực
hiện công việc nhanh hơn rất nhiều [7]. Trong khi các máy tính số ngày nay
xử lý thông tin cổ điển được mã hóa theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử
lý thông tin theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể sử dụng để thực thi
những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với các máy tính số thông thường . Ví
dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ
4
của vũ trụ để có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên có
khoảng vài trăm chữ số, trong khi đó máy tính lượng tử có thể thực hiện
nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây. Lý thuyết lượng tử còn cho
phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử,

hóa Unita có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài
toán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố hay dò tìm dữ
liệu các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa
trên cơ học lượng tử. Sự phân bố khóa lượng tử cho phép sự liên lạc an toàn
tuyệt đối mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo cách cổ điển.
Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tương vô cùng
kỳ lạ đó là viễn tải lượng tử. Bằng viễn tải lượng tử, một trạng thái lượng tử
chưa biết bất kỳ bị phá hủy ở một nơi và bản sao hoàn hảo của nó lại xuất
hiện ở một nơi rất xa khác. Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc về
lĩnh vực này trong thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thực
hóa việc xử lí thông tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn, cho dù đến nay
cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính lượng
tử như cộng hưởng từ hạt nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái rắn và
quang. Những minh họa gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới giới hạn 7
qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản. Năm 1998, Chuang
đã báo cáo về sự hiện thực hóa 2 qubit của một thuật toán lượng tử cơ bản,
ông đã thu được bằng cách sử dụng công nghệ khối NMR. Trong cùng năm
đó và năm tiếp theo cũng có một số minh họa thực nghiệm tương tự, ví dụ
như, Jones và Mosca đã tạo ra được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng,
trong đó có 2 qubit được tích trữ trong các spin hạt nhân của nguyên tử hidro;
Vandersypen cùng các cộng sự đã phát triển một thiết bị 7 qubit bằng cách sử
dụng NMR để minh họa thuật toán thừa số hóa Shor trong năm 2001. Năm
2003, đã có một số nhà nghiên cứu lạc quan như Stoneham tin rằng ông có
thể tạo ra một chiếc máy tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến
năm 2010. Trong 20 năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ
6
các hiệu ứng không định xứ trong phòng thí nghiệm [18,19] và gần đây nhất
là trong các sợi quang dài 10km. Gần đây nhất, Aspenmayer cũng các cộng
sự đã chứng minh rằng rối của sự phân cực photon có thể thu được trong
không gian tự do trên khoảng cách 600m.

được mô tả bởi hàm sóng và gọi là trạng thái sạch.
Chúng ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằng
hàm sóng
)(x
Ψ
, trong đó x là kí hiệu một tập hợp biến số động lực xác định
trạng thái của hệ. Giả sử
)(
ˆ
xA
là toán tử biểu diễn đại lượng vật lý A trong
trạng thái
)(x
Ψ
được xác định bằng công thức

∫
ΨΨ=
dxxxAxA )()(
ˆ
)(
*
(2.1)
Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh
không được xác định một cách chính xác thì trạng thái của hệ không được mô
tả bằng một hàm sóng. Bởi vì khi chưa biết tương tác giữa hệ và trường ngoài
thì không thể giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng. Để mô tả
hệ lượng tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét( gọi là hệ
con) và các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) làm thành một hệ
kín. Khi đó ta có thể dùng khái niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín.

(2.4)
∫
ΨΨ=
dqxqxqxx ),(),(),(
,*,
ρ
(2.5)
ta viết được
∫∫
=
,,,
),(),( dxdxxxxxAA
ρ
(2.6)
Đại lượng
),(
,
xx
ρ
là yếu tố của ma trận mật độ
ρ
trong tọa độ biểu
diễn. Dùng quy tắc nhân ma trận ta viết được
[ ]
∫
== )(
ρρ
ATrdxAA
xx
(2.7)

trong đó hệ số khai triển C
n
(q)= C
n
(F
n
) là hàm sóng trong F_biểu diễn
ứng với giá trị q đã cho. Đặt (2.3) vào (2.6) ta được
)(
,
ρρ
ATrAA
nm
mnmn
==
∑
(2.9)
ở đây
∫
∫
ΨΨ=
=
dxxxAxA
dqqCqC
nmmn
mnmn
)()(
ˆ
)(
)()(

chọn hàm sóng thích hợp .
Sử dụng các kí hiệu Dirac, ma trận mật độ được viết lại
∑
==
,,,
),( xmnxxxxx
nm
ρρρ
(2.12)
toán tử ma trận mật độ có dạng
∑
=
nm
nm
mn
,
ρρ
(2.13)
Dễ thấy rằng
∑∑
===
mn
mnmm
nm
nn
nm
mn
mmnnmn
,
,,

δρρρρ
===
(2.17)
∑∑
==
nm
nmm
nm
nm
mnmn
,,
δρρρ
(2.18)
∑
=
m
m
mm
ρρ
(2.19)
∑∑
==
mn
mnm
nm
mnmn
nAA
,,
δρρ
(2.20)


Ma trận mật độ có một số tính chất sau
• Ma trận mật độ là ma trận Hermitic
);,(),(
,*,
xxxx
ρρ
=

*
mnnm
ρρ
=
(2.23)
• Nếu cho
IA
ˆ
ˆ
=
là toán tử đơn vị thì từ (2.7) và (2.9) suy ra

[ ]
1
=
ρ
Tr
(2.24)
•
Ma trận mật độ thỏa mãn điều kiện
[ ]

i
ttiH
dt
td
Ψ−=
Ψ
)(
)(
(2.28)
14
lấy liên hiệp phức hai vế ta được
)()(
)(
tHti
dt
td
i
i
Ψ=
Ψ
(2.29)
Toán tử mật độ biến đổi phụ thuộc thời gian, tại thời điểm t toán tử mật
độ mô tả trạng thái của hệ lượng tử được cho bởi
∑
ΨΨ=
i
iii
ttpt )()()(
ρ
(2.30)

)(
)(
ρ
(2.30)

( )
( )
∑
ΨΨ−ΨΨ−=
i
i
iiii
tHtttttHpi )()()()()(
(2.31)

( )
)()()()( tHtttHi
ρρ
−−=
(2.32)

[ ]
)(),( ttHi
ρ
−=
(2.33)
phương trình (2.33) được gọi là phương trình chuyển động của ma trận
mật độ, còn gọi là phương trình Liouvillian lượng tử hay phương trình von
Neumann
15

E
là Hamitonian của hệ E
H
int
là Hamitonian tương tác của S và E
Trạng thái động lực của hệ S được mô tả bởi toán tử mật độ rút gọn
ρ
thu
được từ
tot
ρ
bằng cách lấy vết trên cơ sở của không gian Hilbert của véc tơ
trạng thái của môi trường. Các phương trình chuyển động của toán tử mật độ
rút gọn của hệ S được gọi là các phương trình Master.
Từ phương trình Von Neumann (2.34) cho
tot
ρ
, chúng tôi đưa về phương
trình vi tích phân của toán tử mật độ rút gọn
ρ
của hệ mở
16
[ ]
ρρ
ρ
LHi
dt
d
+−=
,

ρδρ
,
1
HiL
−=
(2.38)
∑
Γ−=
A
AA
hH
2
1
δ
(2.39)
với
A
Γ
là các vi tử trong không gian hilbert của các véc tơ trạng thái của
hệ S và
ρ
)2(
L
được xác định bởi công thức của Gorin, Kossakowski và
Sudarshan [21]:
17
( )
[ ] [ ]
∑


. Một trường hợp đặc biệt của công thức trên được trình bày
bởi Linblad [22]:

( )
[ ] [ ]
∑






ΓΓ+ΓΓ=
++
AB
AA
A
AA
L ,,
2
1
2
ρ
ρξρ

(2.41)
công thức này được dùng để nghiên cứu các hệ năng lượng có suy giảm
kết hợp.
Trong không gian Hilbert của các véc tơ trạng thái của hệ S, chúng tôi
chọn một cơ sở gồm tập hợp các véc tơ trực giao và chuẩn hóa

sao cho trung
bình thống kê của tất cả các trạng thái của môi trường bị triệt tiêu tại nhiệt độ
T đã cho

0
=
β
µν
K

(2.44)
trong đó
1
)(
−
=
kT
β
, k là hằng số Boltzmann, trong gần đúng bậc hai của
lý thuyết nhiễu loạn Hamiltonian tương tác – gần đúng Born- Markov, tác
dụng của toán tử Liouvillian lên ma trận mật độ rút gọn
ρ
của hệ S có thể
được thiết lập dưới dạng hình thức luận của Bloch-Redfield. Trong các trạng
thái riêng của H,
ρ
L
có dạng
∑
=

−+
Γ−Γ
τνµστνµσ

(2.47)
∫
∞
−
+
=Γ
0
)(
)0()(
β
µτµσ
ω
τνµσ
ντ
KtKdte
ti
(2.48)
∫
∞
−
−
=Γ
0
)(
)()0(
β

KK
=
+
(2.51)
từ điều kiện này, chúng tôi thu được mối liên hệ giữa các yếu tố ma trận
)(*)(
)(
−+
Γ=Γ
τνσµµσντ
(2.52)
và

µντσµνστ
RR
=
*
)(
(2.53)
Chúng ta chọn các vi tử
A
Γ
là các toán tử Hermitic

AA
Γ=Γ
+

(2.54)
Chúng phải thỏa mãn các điều kiện sau

được biểu diễn theo
A
Γ
:

AA
A
ρρ
Γ+=
∑
4
1

(2.57)

AA
A
LL )(
00
ρρ
Γ=
∑
≠

(2.58)

A
i
A
A


(2.61)

BAB
B
AA
L
ρλλρ
~~
)(
)2(
∑
−−=

(2.62)
trong đó

]},[{
16
1
~
BCA
CD
CDA
Tr
ΓΓΓ−=
∑
ξλ

(2.63)

A
L )(
ρ
và
A
ρ

trong Bloch-Redfield
B
B
ABAA
L
ρλλρ
∑
−−=
)(
(2.66)
µνσσµν
µνσ
λ
R
AA
)(
16
1
Γ=
∑
(2.67)
στµνστµν
µνστ

(2.69)
24

∑
+=
C
ABCABCAB
hf
λλ
~

(2.70)
trong đóA
λ
,
A
λ
~
,
AB
λ
,
AB
λ
~
được xác định bởi các công thức (2.67),
(2.63), (2.68) và (2.64).

(2.72)
25