A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu
thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở
ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học. Đặc biệt là hình học
không gian tổng hợp.
Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là
tính thể tích khối đa diện. Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức
ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng
phân tích tổng hợp và tưởng tượng. Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc
đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh.
Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi
thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách
tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm. Nguyên nhân là do các em không nắm
vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít.
Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào
để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp
với nhiều đối tượng. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình
giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp.
1
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích
môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối
đa diện”.
II. Mục đích của đề tài
* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính
thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này.
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy
tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh.
* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy
luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy

+) Nếu hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) bằng nhau thì
1
( )H
V
=
2
( )H
V
.
+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) thì
V
(H)
=
1
( )H
V
+
2
( )H
V
.
3

* Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và
(α) như sau:
+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O.
+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H.
+) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và
ˆ
AOH
ϕ
=
4
4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)
+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng.
+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và
trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.
+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b.
4.4 Khoảng cách:
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là
hình chiếu vuông góc của O lên a).
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong
đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α).
Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo
giao tuyến d. Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó H là
hình chiếu vuông góc của O lên (α).
+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α).
+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN

Dạng 1: Tính trực tiếp
Tính đường cao và diện tích đáy. Sau đó áp dụng công thức để tính thể tích khối đa
diện.
Áp dụng công thức:
+) Thể tích của khối chóp được tính theo công thức :
6
V = B.h
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh chúp( tc l khong cỏch t nh ca hỡnh chúp
ti mt phng ỏy)
+) Th tớch ca khi lng tr l:
V = B. h
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia 2 ỏy)
Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu:
a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng,
hoc cú khi phi k ng cao ph,)
b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy.
* xỏc nh ng cao ta lu ý :

Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao của hình
chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy.

Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng nhau thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng
trũn ngoi tip mt ỏy.

Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di
cnh bờn ú
7
•

Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều
H×nh chãp cã mét mÆt bªn
(SBC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y
9
H
C
A
B
S
H
D
C
BA
S
H
C
B
A
S
H×nh chãp cã hai mÆt bªn kÒ nhau (SAC)
vµ (SAB) vu«ng gãc víi ®¸y. SA lµ ®êng cao.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền
BC=2a , góc . Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng
nhau và bằng
β
. Tính thể tíchcủa khối chóp.
* Phân tích: Bài toán này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toán ít , tuy nhiên giả
thiết thứ 2 khó xác định hơn, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa

= ⇒ = =
Do đó: V =
3
.tan .sin 2
3
a
β α
*Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau :
Kẻ SH ⊥ mp(ABC) ( hình vẽ),
ta có:
· ·
·
SAH SBH SCH
α
= = =
, như vậy nhìn vào
hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định
vị được điểm H.
11
H
C
B
A
S
J
K
I
H
C
B

'. ' '
2
AC B D
.
AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a
Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:
K
B'
D'
O
C'
S
D
C
B
A
Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC
TA có (AB’C’D’) SC, BD SC => DB // B’D’
13
Do đó: B'D' =BD.
2 4
3 3
SK a
BD
SO
= =
Vậy dt(AB'C'D')=
2
1 4 3
'. ' '

Công thức trên chỉ đúng đối với khối chóp tam giác, trong khi đó học sinh lại áp
dụng đối với khối chóp tứ giác. Bài này học sinh muốn sử dụng công thức này phải
chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác.
Ví dụ 3: ( Đề thi Đại học khối A - 2010)
14
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc với
mp(ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDMN.
* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định. Chỉ lưu ý
học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ
H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh.
Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao và
đáy
S
* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,
suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN
S
CDMN
= S
ABCD
– S
AMN
– S
BCM
= a
2
-
Vậy V =
15
A

B'
A'
C
B
A
Tam giác A'B'C' là tam giác đều nên
A'B' ⊥ IC' (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'⊥ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể
từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B'). Vậy
·
'C BI
α
=
, từ đó ta có:
2
2
2 2 2 2 2
2
3 ' 3
' ; '
2 sin 2sin
3
' ' ' ' (3 4sin )
2sin 4sin
a C I a
C I BC
a a
BB BC B C a
α α
α

·
' 'C BA
. Vậy ta
có:
·
' 'C BA
α
=
.
17
a
C'
B'
A'
C
B
A
Xét ∆A’BC’ ta có:
'
sin ' sin
BC a
A
α
=
. Vì
' ' ' 'BC BA A BC
= ⇒ ∆
cân.
Từ đó suy ra:
0

a a
a
α
α α
− = −
Suy ra :
2
' 1 4sin
2
2sin
2
a
CC
α
α
= −
Vậy
2
2
3
. 1 4sin
4 2
2sin
2
a a
V
α
α
= −
;

lại phải xác định chiều cao của hình hộp.
Từ giả thiết của bài toán, phân tích dự đoán, xác định đúng chân đường
vuông góc.
* Lời giải :
1) Kẻ A'H ⊥ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D, AA’B, A’DB và
BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác
đều ABD.
19
O
A'
H
B'
C'
D'
D
C
B
A
2
2
2 2 2 2
2 2 3 3
3 3 2 3
3 6
' '
3 9
6
'
3
a a

khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
• Phân tích: GT của bài toán yêu cầu học xác định đúng góc giữa 2 mặt phẳng: Xác
định giao tuyến của 2 mp, chọn 2 đường thẳng nằm trong 2 mp lần lượt vuông góc
với giao tuyến tại 1 điểm trên giao tuyến , từ đó suy ra góc giữa 2 mp.
Yêu cầu của bài toán: ở yêu cầu thứ nhất thì học sinh cần phải xác định được
đường cao của lăng trụ.
20
Yêu cầu thứ 2 thì học sinh phải nhớ được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp tam giác: xác định trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, xác định
trung trực của 1 cạnh bên, cắt nhau tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Tính bán kính là khoảng cách từ 1 đỉnh tới tâm.
• Lời giải:+) Thể tích khối lăng trụ:
(A’BC) và (ABC) có giao tuyến là BC.
Gọi D là trung điểm của BC,
ta có: BC ⟘ AD ,
theo định lí 3 đường vuông góc ,
suy ra BC ⟘ A’D.
Suy ra góc giữa 2 mp này là
góc ADA’bằng 60
0
.
Ta có V = AA’. S
ABC
,
S
ABC
= , AA’ = AD. tan =
Vậy V = .
+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH // AA’

bằng 30
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ
. ' ' ',ABC A B C
biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
'CB
bằng
.
2
a
Lời giải: Vấn đề quan trọng là xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
nhau. Ta chọn mp( A
’
B
’
C) chứa B
’
C và song song với AB, bây giờ ta xác định
khoảng cách từ AB đến mp này.
22
N
M
A'
B'
C
A
B
C'
H

BMC
vuụng ti M, suy ra
0
.tan 30
3
a
CM BM= =
Tam giỏc CMN vuụng ti M, cú MH l ng cao
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 1
MN a
MH MC MN a a MN
= + = + =
T ú
3
. ' ' '
1 3
. .2 . . .
2 3
3
ABC A B C ABC
a a
V S MN a a= = =
Dng 2: Tớnh giỏn tip:
Ngha l ta s dng phõn chia lp ghộp khi a din, a v bi toỏn ỏp dng
tớnh th tớch theo cụng thc n gin hn hoc dựng bi toỏn tớnh t l th tớch hai
khi t din(chúp tam giỏc),
Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách
tính sau:
+) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V =

A1
B1
C1
Nh vậy nếu việc tính các tỉ số này và tính thể tích của một trong 2 hình dễ hơn thì
áp dụng công thức trên ta sẽ suy ra thể của hình còn lại.
24
+) Tø diÖn ABCD cã AB = a; S
1
, S
2
lµ diÖn tÝch cña 2 mÆt chung c¹nh AB, α lµ gãc
gi÷a 2 mÆt ph¼ng (ABC) vµ (ABD). Khi ®ã thÓ tÝch cña khèi chãp lµ
V =
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và
∠
BSA=60
0
,
∠
ASC=120
0
,
∠
CSB=90
0
. Hãy tính thể tích chóp S.ABC.
Lời giải:
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý gì đặc biệt nên việc xác định đường cao
là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Vậy ta có lời giải sau:


1
C
1
= a
2
, A B
1
= a.

Vậy
∆
A B
1
C
1
vuông
Có S=
2
1
. B
1
A. B
1
C
1
=
2
2
2
a