SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH THPT KĨ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN"

1
A - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong đề thi Đại học các khối A, B và D những năm gần đây, câu IV trong đề thi là
câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học ở các
trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học
sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học tốt các
nội dung trong câu IV. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Tính thể tích
khối đa diện. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi
ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ
NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3
phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết
vấn đề.
Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi có thể
có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

2
1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình học
phẳng không tốt.
2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng phân tích
đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.

đê thi ĐH, đối với bài toán tính thể tích khối đa diện thì có đến 90% bài toán chỉ cần sau
câu hỏi này học sinh đã thực hiện được)
*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:
A - Phải nhớ được công thức tính thể tích khối đa diện:
+/ Công thức tính thể tích khối chóp:

hSV .
3
1
=

Trong đó:
S
- là diện tích mặt đáy;
h
- là chiều cao của hình chóp.
+/ Công thức tính thể tích khối lăng trụ:

4

hSV .=

Trong đó:
S
- là diện tích mặt đáy;
h
- là chiều cao của khối lăng trụ.
Như vậy để làm được bài toán theo cách này thì ta cần phải tính được 2 yếu tố:
Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy
Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy ta cần phải

 Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Ta có thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
để tính thể tích khối tứ diện đều không?
 Yêu cầu học sinh chỉ ra đâu là đáy, đâu là chiều cao và cách tính các đại lượng đó.
+/ Tính diện tích tam giác
BCD
theo nhiều cách:

4
3
.
2
1
2
a
BMCDS
BCD
==
∆
+/ Tính chiều cao
AG
bằng cách gắn
AG
vào tam giác vuông
AGB

6
2
;
3
3





=

6
C
A
B D
G M
 Với hướng dẫn trên, giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện chi tiết lời giải
sau đó giáo viên yêu cầu các học sinh khác chấm điểm. Sau cùng là giáo viên đưa ra kết
luận.
Ví dụ 2 Tính thể tích khối chóp tam giác đều
ABCS.
có cạnh đáy bằng
a
trong các
trường hợp sau:
a) Cạnh bên bằng
2a
.
b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60

aAB =
và góc giữa mặt
SBC
với mặt đáy bằng
0
45
.
c) Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, mặt phẳng
SBC
với mặt đáy bằng
0
60
và tam giác
SBC
có diện tích bằng
2
a
.
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều
ABCDS.
có cạnh đáy bằng
a
trong các trường
hợp sau:
a) Cạnh bên bằng
2a

;
aCDaADAB === ,2
. Góc giữa hai mặt phẳng
)(SBC
và
)(ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là trung

8
điểm của
AD
. Biết hai mặt phẳng
)(SBI
và
)(SCI
cùng vuông góc với
)(ABCDmp
. Tính
thể tích khối chóp
ABCDS.
.

9
Bài 5:(Đại học khối B năm 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác

a
.
3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể tích
thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?
A/ Mở đầu: Có một số khối đa diện nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ gặp
nhiều khó khăn, nhưng nếu chúng ta bổ sung thêm hoặc phân chia khối đa diện đó thành
nhiều khối đa diện thì việc tính thể tích lại đơn giản hơn. Đây là một kỹ năng rất cần thiết
đối với học sinh.
B/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, các nửa đường thẳng
DyBx,
vuông góc với
)(ABCDmp
và ở cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Lấy điểm
DyNBxM ∈∈ ,
. Đặt
yDNxBM == ,
. Tính thể tích tứ diện
ACMN
theo
ayx ,,
.
 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa ra kết
luận cuối cùng.

10

 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện
AMNI
theo
ayx ,,
.
 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện
CMNI
theo
ayx ,,
.
 Đáp số:
)(
6
3
yx
a
V +=
Với cách khai thác như trên, học sinh đã phần nào hình thành cho mình cách suy nghĩ
khi gặp bài toán tính thể tích của khối đa diện là: Có thể phân chia khối đa diện cần tính
thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?
Ví dụ 2 Cho tứ diện
ABCD
có các cặp cạnh đối bằng nhau
aCDAB ==
,
., cBCADbBDAC ====
Tính thể tích tứ diện
ABCD
.
Hướng dẫn:

13
+/
PRBCAD
2
1
==
;
D
là trung điểm của
PR
. Suy ra:
APR ⊥A
.
+/ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
AQRAQ;P ⊥⊥ AA
+/
abcAAQAPVV
PQRABCDA
12
2
R
24
1
4
1

===
C/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
ABCS.

có
MN
là đoạn vuông góc chung của
AB
và
CD
.
a/ Chứng minh rằng, nếu
CDAB ⊥
thì thể tích của tứ diện
ABCD
là:

MNCDABV
6
1
=
b/ Chứng minh rằng, nếu góc giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
bằng
α
thì thể tích của tứ
diện
ABCD
là:
α
sin
6

ABC
BCB
ABC
CAB
'
'
;
'
;
'
'
'''
===
∆
∆
∆
∆
∆
∆
b/ Cho tam giác
ABC
,
'B
là điểm nằm giữa
A
và
B
,
'C
là điểm nằm giữa

là một điểm bất kỳ nằm giữa
S
và
A
. Khi đó ta có:
AA
SA
V
V
SA
AA
V
V
SA
SA
V
V
ABCA
BCAS
ABCS
ABCA
ABCS
BCAS
'
'
;
'
;
'
'.

A’
giữa
S
và
B
. Khi đó ta có:
SBSA
SBSA
V
V
ABCS
BCAS
.
''.
.
'.
=
c/ Cho hình chóp tam giác
ABCS.
,
'A
là một điểm bất kỳ nằm giữa
S

và
A
,
'B
là một điểm bất kỳ nằm
giữa

SCSBSA ,,
tạo
với đáy một góc bằng
0
60
. Gọi
D
là giao điểm của
SA
với mặt phẳng qua
BC
và vuông
góc với
SA
.
a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
DBCS.
và
ABCS.

17
A
B
C
S
A’
B’
C’
b/ Tính thể tích của khối chóp
DBCS.

Kết quả mong muốn:
0
0
60cos
3
2
;60cos
AI
SAAIAD ==
*/ Vậy tỉ số
ABCS
DBCS
V
V
.
.
bằng bao nhiêu?
Kết quả mong muốn:
8
5
.
.
=
ABCS
DBCS
V
V

18
B

''.
''.
=⇒∩=∩=
MBDABCD
MDABS
V
V
PSDDPSBB
Bài 2: Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
α
=⊥
))(,(),( SABSCABCDSA
. Mặt phẳng
)(P
qua
A
và vuông góc với
SC
chia khối chóp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
'''. CBAABC
có đáy
ABC

Bài 4: Cho tứ diện
ABCD
có góc
aABCADBADABC ==∠=∠=∠ ,120,90
00
,
aADaAC 3,2
==
. Tính
ABCD
V
?
Đáp số:
2
.2
3
a
V
ABCD
=
3.4/ Câu hỏi 4: Có thể sử dụng phương pháp tọa độ được không?
A/ Mở đầu:

19
Trong đê thi Đại học hiện nay ít khi sử dụng được phương pháp này nhưng chúng
ta cần trang bị cho học sinh cách này vì đây là phần kiến thức khá bổ ích trong các kỳ thi.
Để áp dụng được cách này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn hệ trục tọa
độ thích hợp. Muốn vậy, học sinh phải nắm vững tính chất của các hình không gian.
B/ Ví dụ: Cho hình chóp
ABCDS.

OA
;
j
cùng
hướng với
OB
;
k
cùng hướng với
OS
)
2. Chỉ ra tọa độ của các điểm có liêm quan:
3. Nêu công thức tính thể tích thể tích
của một tứ diện(biểu thức tọa độ).

20
A B
C
S
D
I
MN
y
x
z
4. Nêu lên cách tính thể tích khối chóp
ABMNS.
.
Kết quả mong muốn:
AMNSABMSABMNS

2
.
=
ABMNS
V
*/ Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm theo cách khác.
C/ Bài tập:

21
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD
có
cAAbADaAB
===
',.
.
a/ Tính thể tích tứ diện
BDCA ''
b/ Gọi M là trung điểm của
'CC
. Tính thể tích khối chóp
BDMA'
.
Đáp số: a/
abcV
BDCA
3
1
''
=

MBAA
=
.
Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA4, còn tại hai lớp 12A2 và
12CA3 tôi dạy theo cách cũ. Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách
tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói
chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài
toán hình học tổng hợp. Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn
nhiều so với những lớp vẫn dạy theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi
quen. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
12A1 Lần kiểm tra 1 50 6 16 24 4 0

22
Lần kiểm tra 2 11 25 13 1 0
12CA4
Lần kiểm tra 1
50
2 12 26 10 0
Lần kiểm tra 2 8 20 18 4 0
12A2
Lần kiểm tra 1
50
5 14 23 8 0
Lần kiểm tra 2 7 16 22 5 0
12CA3