CHUỖI SỐ – CHUỖI HÀM

<VI.1> Tính tổng
n
n1
x
¥
=
å
với :
a)
n
n
xq(|q|1)
=<
b)
n
1
x
n(n1)
=
+

c)
n
2
1
x(n2)
n1
=³
-

n1
q
xlimS
1q
¥
®¥
=
==
-
å

b) Ta có
k
11
x,
kk1
=-
+
từ đó

n
111111
S1 1
223nn1n1
ỉưỉưỉư
=-+-++-=-
ç÷ç÷ç÷
++
èøèøèø


=+++=-+-+-++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷
-+
èøèøèøèø
èø1111
1
22nn1
ỉư
=+
ç÷
+
èønn
n
n1
113
xlimS1
224
¥
®¥
=
ỉư
==+=
ç÷

ç÷ç÷
+
èøèø
èø1
1
n1
=-
+
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Vậy
nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å<VI.2> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau :
a)
2
n1
1

n2
1
lnn
¥
=
å
f)
nn
n
n1
23
6
¥
=
+
å. Giải:
a)
2
11
nn(n1)
£
+
,
n1
"³
và
n1

2
<=<
nên
n
n1
1
2
¥
=
å
hội tụ.
c) do
( )
nn
n
2
nn
0
2
2
®¥
=®
nên
n
2
0
n2,nn
<"³
.
Từ đó

2
¥
=
å
hội tụ.
d) đặt
n
11
S1
2n
=+++

với
0
1
2
e=
, và mọi số nguyên
n
ỴN
lây
nN
³
và m =2n
thì
mn
1111
SS ()
n1n2nn2
-=+++³=e

=
å
phân kỳ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
f) Với
nn
n
nnn
2311
x
632
+
==+
và các chuỗi :
n
1
3
å
và
n
1
2
å
hội tụ.
Vậy
nn
n
n1
23
6

không có giới hạn là 0 nên
n
1
x
¥
å
phân kỳ.
<VI.4> Cho
( )
n
n1
a
¥
=
å
và
( )
n
n1
b
¥
=
å
với
n
a0n
³"n

¥
=
å
hội tụ.
b)
c
=¥
, và
( )
n
n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ.
c) 0c
<<¥
thì
( )
n
n1

0
n
$
sao cho
nn0
0ab,nn
££"³

Vậy
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ dẫn đến
( )
n
n1
a
¥
=
å
hội tụ.
b) do
n
n
n
a

¥
=
å
phân kỳ.
c)
n
n
n
a
limc
b
®¥
=
với 0c
<<¥
,
0
n
$
:

nnn
c3c
ba.b
22
££ ,
0
nn
"³


n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
n
n1
c
.b
2
¥
=
å
phân kỳ do đo
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ. <VI.5> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
1
n(n1)
+


g)
n
n
x
(x0)
n
³
å
h)
n
x
n!
å

i)
2
n4
2n1
n4n3
¥
=
+
-+
å
j)
n1
1
sin
nn

b)
22
11
1nn
£
+
nên
2
1
1n
+
å
hội tụ.
c) Đặt
( )
n
n
1
x
lnn
= ta có

n
n
n
1
x0
lnn
®¥
=®

n!
x
n
= từ đó
(
)
( )
22
n1
2
n
n1!
xnn
xn!n1
n1
+
+
=´=®¥
+
+
, nên chuỗi
2
n!
n
å
phân kỳ.
f) Xét
1
n
nlnn

2
2n11
~n
n4n3n
+
®¥
-+
nên
2
2n1
n4n3
+
-+
å
phân kỳ
j) Xét
n
2
1
sin
nn
nsin
1
n
n
®¥
p
p
=®p



. Giải:
Đặt
p
p
n
1.3.5 (2n1)
x
2.4.6 2n
-
éù
=
êú
ëû

ta có
2
n
135(2n1)35(2n1)(2n1)1
x 1
2462n24(2n2)2n2n1
+
=
-+1111111
11 1.11 1.
242242n2n1
ỉưỉưỉưỉưỉưỉư

+++=£=
å

nên
2
n
11
x.
22n1
³
+

mà vì
11
.
22n1
+
å
phân kỳ, ta có
2
n
x
å
phân kỳ.
Từ đó suy ra

p2
£
: ta có
p2

==
êú
ç÷ç÷ç÷
+
èøèø
èø
ëû( )
p
2
1
2n1
£
+

mà
p
n1
2
1
(2n1)
¥
=
+
å
hội tụ
p
(1)

x
(1)
x2
+
-
+
å. Giải:
a) Đặt
( ) ( )
2n1
2n1
2n1
n
x
x
a(1)
2n1!2n1!
+
+
+
=-=
++

Ta có
( )
( )
( )( )

2n1
x
(1)
2n1!
+
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối tại
x
"Ỵ

.
b) Đặt
( )
n
n
n1
n
nn
x
x
a(1)(x2)
x2
x2
+
=-="¹-
+
+

=1 nên
n
a
å
phân kỳ.
Vậy
( )
n
n1
n
x
(1)
x2
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x > -1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
<VI.8> Cho
(
)
n
n
b
bò chặn và
n
a0,n
³"

).
và
n
Ma
å
hội tụ nên
nn
ab
å
hội tụ, do đó
nn
ab
å
hội tụ.

<VI.9> Xét tính hội tụ của
( )
k
p
lnn
n
å
với
k1
>
và
p1
>
a
=®>

Mà
1
2
1
n
a
+
å
hội tụ, nên
( )
k
p
n2
lnn
n
¥
=
å
hội tụ.

<VI.10> Khảo sát tính hội tụ của
n2
1
(,0)
nlnn
¥
ab


2
dx
xlnx
¥
ab
ò
phân kỳ

1
a=

-
1
b>

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
hội tụ
-
1
b£

2
dx
xlnx

2
n
b
å
hội tụ. CMR
nn
ab
å
hội tụ

. Giải:
Ta có
22
nn
nn
ab
ab,n.
2
+
£"

mà
2
n
a
å
,
2
n
b

a
å
phân kỳ
CMR
n
n1
n
a
1a
¥
=
+
å
phân kỳ, còn
n
2
n1
n
a
1na
¥
=
+
å
hội tụ.

. Giải:
Giả sử
n
n

n
0
n
a
n:n0
1a
$³Þ<e
+'
n0
'
a,nn
1
e
Þ<=e³
-e
.
Vậy
n
n
lima0
=

từ đó
nn0
aa,nN
£"³ (N
0

do
n
1
a
2
å
phân kỳ nên
n
n
a
1a
+
å
phân kỳ.
Dễ dàng kiểm chứng
n
22
n
a1
,n
1a.nn
£"
+

từ đó do
2
1
n
å
hội tụ, ta có

( )
2
nn
aa
=
åå
và
2
1
n
å
hội tụ.
Theo <V.11>,
n
a
n
å
hội tụ.

<VI.14> Tìm miền hội tụ của :
a)
n
nx
å
b)
n
n
x
n
å

nx
å
là
(
)
1,1
-
b)
n
nn
n
n
11
aa0
nn
®¥
=Þ=®

chuỗi
n
n
x
n
å
có miền hội tụ là
(
)
,
-¥+¥


phân kỳ.
X= 2 :
n
n
2
2
å
phân kỳ
Vậy miền hội tụ là
(
)
2,2
- .
d)
n
nn
2
n2
n
11
aa1
n2n
n2n
®¥
=Þ=®
+
+

n
n

xlnn
å

c)
( )
n
x
4n1!
-
å
d)
( )
n
n
2
x
2n7!
+
å. Giải:
a) Bán kính hội tụ là R = 1.

x1
=
chuỗi phân kỳ.

x1
=-

==
++++

Bán kính hội tụ
R
=¥

Miền hội tụ là
(,)
-¥+¥

d)
( )
n
n
2
a
2n7!
=
+
thì
( )
(
)
( )( )
n1
n1
n
n
2n7!

n
11
x,x[0,]
22
ỉư
£"Ỵ
ç÷
èø

Và
n
1
2
å
hội tụ nên
n
x
å
hội tụ đều trên [
1
0,
2
]
đặt
2n
n
S(x)1xx x
=++++
với n cho trước, ta có :

n
x1
x
lim
1x
®
=¥
-
nên
n
x
x:1
1x
$>
-

Vậy S
n
(x) không hội tụ đều về S(x) trên (0, 1).
<VI.17> CMR
( )
n
n0
1xx
¥
=
-
å

n
1,x1
S(x)S(x)
0,x1
¹
ì
®=
í
=
ỵ

do đó :
(
)
n
n
f(x)1xx
=-
liên tục trên [0, 1] và
S(x)
không liên tục trên [0, 1] nên
n
S(x)
không hội tụ đều về S(x) trên [0, 1].

<VI.18> Chứng minh
22
1
nx
+

nn
å
hội tụ đều trên

.

. Giải:
Với
n
sinnx
f(x)
nn
=
do
n
1
f(x)
nn
£ và
1
nn
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.20> Xét tính hội tụ đều của
nnx


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Vậy
n
n
0f(x)e
-
££
[
)
,x0,
"Ỵ¥

mà
n
e
-
å
hội tụ vậy
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.21> Chứng minh chuỗi
n
n
x
1x

n
n
n
c
f(x)c,0,c
1x
££"Ỵ
+

Do
n
c
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tu đều trên [0, c].
Xét trên [0, 1)
Đặt
k
n
n
k
k1
x
S(x)
1x
=
=

[
)
n
n
x1
x0,1:
1x3
$Ỵ>
+

vậy
n
f(x)
å
không hội tụ đều trên [0, 1).
<VI.22> Cho
2
n1
1
f(x)
1nx
¥
=
=
+
å

a) Tìm miền xác đònh của f.
b) Xét tính liên tục của f.


không xác đònh, hàm số không xác đònh

22
111
x\{0,,,, }
123

"Ỵ được chọn trước
( )
22
11
~n
1nxn
®¥
+
nên
2
1
1nx
+
å
hội tụ tuyệt đối , f xác đònh.
Vậy miền xác đinh của f là
22
111
D\{0,,,, }
123

= 
b) Lấy x

nnnn
f(x)max(f(),f())a
£ba=

Trong đó
nn
af()
=a
hay
nn
af()
=b
và có
n
a
å
hội tụ. Suy ra
n
f(x)
å
hội tụ đều
trên
[
]
,
ab
, mà các hàm f
n
liên tục trên
[

x0
³
thì :
222
3332
nxnxx
xnxn
£=
+

Với bất kỳ
x0
³
tồn tại a > 0 thỏa
0xa
££
nên

222
3332
nxn.aa
0
xnnn
££=
+

mà
2
2
a

n
"
)
Þ
f liên tục tại moi
[
)
x0,
Ỵ¥
.

<VI.24> Tính đạo hàm của
22
1
f(x)
nx
=
+
å. Giải:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
với
n
22
1
f(x)
nx
=

f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+n
f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+
, ta lại có các hàm
'
n
f
liên tục nên
[ ]
'
'
nn00
f(x)f(x),xx1,x1
éù

2n1
23n
12x3xnx

aaaa
-
+++++

|x|a
<

c)
23n
xxx
x
23n
+++++

|x|1
<. Giải:
a) Xét chuỗi
n2n1
n1
(1)2nx
¥
-
=

]
,
-aa
. Hơn nữa
n
F(x)
å
cũng hội tụ trên
[
]
,
-aa
nên:

[ ]
'
nn
1n1
F(x)f(x),x,
¥¥
=
ỉư
="Ỵ-aa
ç÷
èø
åå

Và do đó
( )
'

( )
2
nn
2
n
1
x
F(x)limS(x),x1,1
1x
¥
®¥
-
==Ỵ-
+
å

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
nên
( )
'
2
n
2
2
2
x2x
f(x)
1x
1x
¥

n
xxx
F(x),1
aaa
ỉư
==<
ç÷
èø

Lý luận như trên :
'
n
n
2
xa
f(x)
a(ax)
ỉư
ỉư
==
ç÷
ç÷
ç÷
-
èø
èø
åå

c) Chuỗi đã cho có dạng
n


nên
xx
n1n1
n
n1n1
00
f(x)tdttdt
¥¥

==
ỉư
==
ç÷
èø
ååå
òò( )
x
0
dt
ln1x
1t
==
-
ò

<VI.26> Cho

=

b)
f,g
khả vi trên

và
'
'
f(x)g(x)
g(x)f(x)
ì
=
ï
í
=-
ï
ỵ. Giải:
a) Bạn đọc tự kiểm tra.
b) Các chuỗi
f(x),g(x)
có bán kính hội tụ là
R
=¥
nên hội tụ đều trên mọi đoanj
[
]

=
và
'
nn1
g(x)f(x)
-
=-
Sự hội tụ đều của
f(x),g(x)
dẫn đến sự hội tụ đều của
'
n
f(x)
å
và
'
n
g(x)
å

Từ đó

'
''
nnn
f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)
ỉư
====
ç÷
èø