Bài tập Đạo Hàm lớp 11
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x 1−
tại x
0
= 5
Giải: Tập xác định D =
1
x : x
2
 
≥
 
 
• Với
∆
x là số gia của x
0
= 5 sao cho 5+
∆
x
∈
∆
thì
•
∆
y =
2(5 x) 1+ ∆ −
-
10 1−

x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )
x 0
2
lim
9 2 x 3
∆ →
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Chứng minh hàm số
x
y
x 1
=
+
liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa:
x
=

( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +
• Khi
∆
x
→
0
+
( thì
∆
x > 0) Ta có:
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim
x x 1
+
∆ →




2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2
hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,
2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0

− ≥




không có đạo hàm tại x
0
= 0, nhưng liên
tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0
y

−
∆ →
∆
∆

⇒
hàm số không có đạo
hàm tại x
0
= 0
b) Vì
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=1;
x 0
lim f (x)
−
∆ →
=1; f(0) = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=
x 0
lim f (x)
−

+
→
=1 và
x 0
lim f (x)
−
→
=
x 0
lim( sin x)
−
→
−
= 0; f(0) = cos0 = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
→
≠
x 0
lim f (x)
−
→
⇒
hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián đoạn tại x
0
= 0)

 
Giải: y’ =
( )
2
3x ' x 1
x
 
+ −
 ÷
 
+
( )
2
3x x 1 '
x
 
+ −
 ÷
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 ÷
 
=

 
+ −
 ÷
 
4. y =
( )
(
)
3
2
3
x 2 1 x 3x+ + +
5. y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)
7. y =

(1 x )(1 x )− +
11. y = cos
2
1 x
1 x
 
−
 ÷
 ÷
+
 
; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x ) 1 x
 
−
 ÷
 ÷
+ +
 
12. y = (1+sin
2
x)
4
; Đs:
2 3
(1 sin x) sin 2x+
13. y =sin

x sin x cosx
x cos x
−
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang - 2 -
Bài tập Đạo Hàm lớp 11
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x+
; y’ =
1
1 cos x+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1
cos x

; y’ =
2
1
x 1
2cos
2
+
539) y = f(x) = cos
3
4x; y’ = -12cos
2
4x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x
x
 
+ +
 ÷
 
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
   
+ + +

685) y = f(x) =
2
x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
2
1 x
sin
2 2
−
….
689) y = f(x) =
2 4
1 tan x tan x+ +
; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +
694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x
18 24

cos sin 0.8x
2
+
 
−
 ÷
 
2x 1
sin cos0.8x
2
+
 
+
 ÷
 
713) y = f(x) =
2
1
1 sin x+
; y’ =
( )
3
2
sin 2x
2 1 sin x
−
+
721) y = f(x) = sin
2
x.sinx

2
x
y’ = 2(sin
2
x)’cosx+3(sin
2
x)(cosx)’+(cos
2
x)’
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang - 3 -
Bài tập Đạo Hàm lớp 11
= 6sinxcos
2
x-3sin
3
x-2cosxsinx =sinx(6cos
2
x-3sin
2
x-2cosx)
3. Cho hàm số : y =
2
x
x x 1+ +
Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2
2
2x 1

x)
3
+(cos
2
x)
3
+3sin
2
xcos
2
x= (sin
2
x+cos
2
x)(sin
4
x-sin
2
xcos
2
x+cos
4
x) +3sin
2
xcos
2
x
= [(sin
2
x)

xcos
2
x
= 1
⇒
y’ = 0 (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin
5
x.(sinx)’ +6cos
5
x.(cosx)’+3[(sin
2
x)’.cos
2
x+sin
2
x(cos
2
x)’]
= 6sin
5
x.cosx -6cos
5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos
2
x+sin
2
x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin

π
 
+
 ÷
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 ÷
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 ÷
 
-2sin
2
x.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos
2

x x 1+ +
; (1+
2
x
)y"+xy'-4y = 0
Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x
2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(
π
). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2
−
cos
2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x
3
64
x
−
+5; b) f(x) =
sin 3x

== 3
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 ÷
 
f’(x) = 0
⇔
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 ÷
 
= 0
⇔
x
4
-20x
2
+64 = 0 (x
≠
0)
⇔
…