Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
24
1
x
y
x



có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm trên
 
C
hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
MN
, biết
   
3; 0 , 1; 1MN  
.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:

 
: 2 5 0P x y z   
và điểm
 
2;3; 4A 
,
đường thẳng
3 1 3
:
2 1 1
x y z
d
  

. Gọi

là đường thẳng nằm trên
 
P
đi qua giao điểm của
d
và
 
P
, đồng thời vuông góc với
d
. Tìm trên

điểm
M

: 2 2 0d x y  
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
 
C
, biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng
d
một góc
45
o
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
22
22
3
3
3
0
xy
x
xy
xy
y
xy






\ { 1}D 
.
Ta có:
2
0,
( 1)
6
y x D
x

   


Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1) 
và
( 1; ) 

Ta có:
lim lim 2
xx
y
     

nên hàm số có tiệm cận ngang
2y 
.

11
lim ; lim


2
Đồ thị:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3 2.
Phương trình đường thẳng
MN
là:
2 3 0xy  
.
Phương trình đường thẳng
d
vuông góc với
MN
có dạng:
2y x m

Phương trình hoành độ giao điểm của
 
C
và
d
là:


12
2
m
xx



Tọa độ
,AB
là
   
1 1 2 2
; 2 , ; 2A x x m B x x m

Tọa độ trung điểm
I
của
AB
là:
12
12
;
2
xx
I x x m






x
y
x


có đồ thị
()C
. Tìm trên đồ thị
 
C
hai điểm
,BC
thuộc hai nhánh sao cho
tam giác
ABC
vuông cân tại đỉnh
A
với
 
2; 0A
.
Đáp số:
   
1;1 , 3; 3BCTuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4

2. Cho hàm số
1

   
1
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x x x   

 
11
1 sin 4 sin 2 cos 2 1 sin 4 0
22
x x x x
   
     
   
   

 
1
1 sin 4 sin 2 co s 2 1 0
2
x x x

    



1
1 sin 4 0
2
sin 2 co s 2 1 0


   



  


    







.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
2
1 sin 2
1 tan 2
cos 2
x
x
x


.
Đáp số:

0
cos sin
sin cos
x
xx
Id
e x x






Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5

2
0
cos sin sin cos
.
2
sin cos sin cos
0
xx
x x x x
d
e x x x x e


0
xx
x
dx
ee






22
00
22
1 co s 1 1
co s
xx
xd x
xd
ee
ee


  

   








   

Nhận xét: Kỹ thuật áp dụng liên tiếp phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện lại biểu
thức cần tính tích phân là một kỹ thuật tương đối quen thuộc. Nó thường được áp dụng khi biểu
thức cần tính tích phân có chứa hàm
sin x
(hoặc
co s x
) và hàm số mũ.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tính tích phân:
66
4
4
sin cos
201 5 1
x
xx
I d x










3. Tính tích phân:
 
4
0
ln 1 tanI x d x




Đáp số:
ln 2
8
I

Câu 4:
*) Trường hợp 1: Trận đấu có 3 ván.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6

Xác suất để Việt thắng cả 3 ván là:
3
1
0, 4 0, 0 64P 

*) Trường hợp 2: Trận đấu có 4 ván.
Suy ra: trong 3 ván đầu tiên sẽ có 1 ván Việt thua.

           
     
           
           
.
2. Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung
cuộc. Biết Việt chơi kém hơn mình nên Nam quyết định ván đầu tiên chắc chắn sẽ để cho Việt
thắng. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt
thắng chung cuộc là bao nhiêu?
Đáp số:
0, 5248P 
.

Câu 5:
Gọi
I
là giao điểm của
d
và
 
P
, tọa độ
I
có dạng
 
2 3; 1; 3I t t t  

Vì
 
IP

 
1
, 1;1;1
3
d
u u n

  


Suy ra phương trình đường thẳng

là:
14
1 1 1
x y z



Vì
M
thuộc

nên tọa độ
M
có dạng
   
1 ; ; 4 1 ; 3;M s s s AM s s s      

Nhận thấy

1. Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho hai
điểm
   
1;5; 0 , 3; 3; 6AB
và đường thẳng
11
:
2 1 2
x y z
  

. Tìm tọa độ điểm
M
trên


sao cho
tam giác
MAB
có diện tích lớn nhất.
Đáp số:
 
1;0; 2M
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho
đường

.
Do
6SA S B SC SD a   
nên suy ra
 
SO ABCD
.
Từ đó suy ra:
OA O B O C O D ABC D   
là hình chữ nhật.
Giả sử
AB b
, khi đó:
22
22
16
16
2
ab
B D a b O A

   

Suy ra:
2 2 2 2
2 2 2
88
42
a b a b
S O SA O A SO

,
 
2 ; ;0C a a
,
 
2 ; ;0D a a
.
Khi đó ta có:
     
2 ; ; , 2 ; ; , 2 ; ;SB a a a SC a a a SD a a a        

Suy ra:
   
2 2 2 2
, 0; 4 ; 4 , , 2 ; 0; 4SB SC a a S C SD a a
   
  
   

Suy ra vectơ pháp tuyến của
 
SBC
là
 
1
0;1; 1n 
, vectơ pháp tuyến của
 
SC D
là

ABEF
không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa mãn các điều
kiện
,2A B a A D A F a  
, đường thẳng
AC
vuông góc với đường thẳng
BF
. Gọi
,HK
là đường
vuông góc chung của
,AC BF
. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện
ABHK
.
Đáp số:
 
63
6
a
r


.
2. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
vuông cân tại

H
là hình chiếu vuông
góc của
S
trên
MC
. Tính thể tích khối tứ diện
EH IJ
theo
,a

và tìm

để thể tích đó lớn nhất.
Đáp án:
3
5 sin 2
; 4 5
8
o
a
V



.

Câu 7:
Đường tròn
22


 
 
   
2
22
3
2 2 5 3 3 0
3
ab
a b a b a b a b
ba


        




Với
3ab
, phương trình

có dạng:
: 3 0x y c   
.
Mặt khác ta có:
 
6
4

c
d I R
c



    




Vậy ta có 4 tiếp tuyến thỏa mãn:
1 2 3
: 3 6 0, : 3 14 0, : 3 8 0x y x y x y           
và
4
: 3 1 2 0xy   
.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 6 2 5 0C x y x y    
và đường thẳng
: 3 3 0d x y  
. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
 
C
, biết tiếp tuyến không đi qua gốc

;
3
: 3 2 3 0xy    
và
4
: 3 2 3 0xy    Câu 8:
Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng số phức.
Nhân phương trình thứ hai với
i
và cộng với phương trình thứ nhất ta được:
 
2 2 2 2
33
3 3 3
x y xi yi x yi
x yi x yi i
x y x y
   
       


Đặt
22
1 x yi
z x yi
z x y


2; 1xy
, thỏa mãn.
Với
1zi
, ta có:
1; 1xy  
, thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm
     
 
; 2;1 , 1; 1xy

Nhận xét: Hệ phương trình trên là một hệ tương đối lạ và khó.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải hệ phương trình:
22
22
3 10
1
10 3
2
xy
x
xy
xy
y
xy













Đáp số:
     
 
; 0;1 , 2; 1xyCâu 9:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
   
2 2 4 0y z x y z yz      

Xét
     
2 2 4f x y z x y z yz      
với
 
0; 2x 

Ta có:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10

Hướng dẫn: Xét hàm
   
7
12
27
f yz x x yz xyz    
với
 
2
1
0
4
x
yz



2. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thuộc đoạn
 
0;1
. Chứng minh bất đẳng thức:
       
1 1 1 1 1a b c d a b c d        

Hướng dẫn: Xét hàm
         
1 1 1 1 1f a a b c d a b c d         