1

Bất phương trình mũ
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
   
1
1
2
5 2 5 2
x
x
x



  
.


1

Giải
Ta có


1




x
x
x

  




2
4 1
0
2
x x
x
 


.
Ta có bảng xét dấu của
2
4 1
2
x x
x
 

:
x




||



0

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình


1
là


2 3; 2 2 3;
 
      
 
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34 15
x x x x x x
    
  

9 3
x x x x
 
   
   
   
   



2 2
2 2
25 5
25 34 9 0
9 3
x x x x 
   
    
   
   
.
Đặt
2
2
5
3
x x
t

 

25
1
t
t






.
Do đó bất phương trình


1
tương đường với
2
2
2
2
5 9
3 25
5
1
3
x x
x x




2
2
2 2 0
2 0
x x
x x

  

 
2





 
;1 3 1 3;
0;2
x
x

 
     
 



2
1 3
1 0
2 4
x x x
 
     
 
 

x

. Do đó


1



2
2
1 1
0
1 1
0
x x
x
x x
x


x
 
.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
1
2 2 1
0
2 1
x x
x

 


.


1

Giải
Nhân hai vế của bất phương trình


1
với
2 0
x

, ta được bất phương trình tương đương:


2 1 2 2
0
2 1
x x
x
 





2 2
0
2 1
x
x






2 2
2 1
x
x





1

Giải
Đặt
2
x
t

, suy ra
0
t

và bất phương trình


1
trở thành


2
4 1 1 0
a t a t a
     





2
4 1 4 1

(
0
t

). Ta có
 
 
2
2
2
4 2
' 0
4 1
t t
f t
t t
 
 
 

0
t
 
.
0
1
_
0
_
f t( )



y f t

(
0
t

)


1
a

.
Ví dụ 6. Tìm
m
để bất phương trình sau có nghiệm
4 2 3 0
x x
m m
   
.


1

Giải
Đặt
2



2
3
f t t mt m
   
phải có
0
 
, tức là


2
4 3 0
m m
  



2
4 12 0
m m
  



2
6
m
m



2
có nghiệm dương


2
4 12 0
m m m
   



2
4 12
m m m
   



2 2
0
0
4 12
m
m
m m m
 





; 3 6;
   
.
B. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1)
2
1
2
1
2
2
x
x x


 . ĐS:


2;

.
2)
   
-1
-1
1
5 2 5 2

.
4)
3 1
2 1
1 1
2
2
x
x


 . ĐS:


0;

.
5)
1 2 1 2
9 9 9 4 4 4
x x x x x x
   
     . ĐS:


9
4
21
91
;log

0;log 3


.

4

Bài 2. Giải các bất phương trình sau
1)
9 2.3 3
x x
 
. ĐS:


;1

.
2)
   
2 1
1
1 1
3 3
3 12
x x

 
. ĐS:


  . ĐS:




;1 3 0;2 1 3;
 
     
 
.
5)






9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1
x x x
     
. ĐS:


;0
 .
6)





   
  
. ĐS:


1;2
.
2)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x  
  
. ĐS:


5;

.
3)
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
 
  . ĐS:


0;4
.
4)

0;

.
3)
 
2 2
sin cos
2 2 2 sin cos
x x
x x
   . ĐS:
2
4
k


 ,
k


.