Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
Dùng các phơng pháp biến đổi căn thức(đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng;
rút gọn phân số) để rút gọn biểu thức.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605 +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+
;
3)
15 216 33 12 6 +
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
+

+
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3

3 5 3 5 + +
; 12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +
;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ +
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+
+
+ +
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+

+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức;
giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ
nhất ,lớn nhất Do vậy ta phải áp dụng các ph ơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.
ví dụ:
Cho biểu thức:
12
1
:
1
11
+
+









+

=
aa
a
aaa
P


101
;0

>
aa
a

- Quy đồng:
1
)1(
.
)1(
1
2
+


+
=
a
a
aa
a
P
- Rút gọn:
.
1
a
a
P

Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 2: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +


Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

2
Bài 6: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ










+
+








+


a
a
aa
a
a
aa
1
1



+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức :
P =




:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 12: Cho biểu thức :

3
P =
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

+
+
với m > 0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x >1
Bài 14: Cho biểu thức :
P =
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 15: Cho biểu thức
P =





ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
32
và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 16: Cho biểu thức :
P =








+

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 17: Cho biểu thức:
P =









+

+










1
1
1

c) Tính giá trị của P khi a =
32
và b =
3
Bài 19: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx

+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P
b) Tính
P
khi x =
325 +
Bài 21: Cho biểu thức:
P =
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3

yx
yx
+
+










+


2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Bài 23: Cho biểu thức :
P =





ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
Bài 24: Cho biểu thức:

5
P =
12
.
1
2
1
12
1














+
+
+

+












3
5
5
3
152
25
:1
25
5






+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức:
P =









+


+





yx
yxyx
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức :
P =
x
x
yxyxx






+

++
+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P

6
b) So sánh P với 3
Dạng ii:
đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+= axayabaxy
và tơng quan giữa chúng
I/. iểm thuc ng ng i qua im.
im A(x

1
x + b
1
. và (d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) ct (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2

x
2
- ax b = 0
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (#) l s giao im ca (d) v (P).
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:

7
Từ phơng trình (#) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit
0>
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (#) cú nghim kộp
0=
c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (#) vụ nghim
0<
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x
0
;y
0
)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x
0


+) Do ng thng i qua im A(x
0
;y
0
) nờn cú phng trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = a

x
2
nờn:
Pt: a

x
2
= ax + b cú nghim kộp
+) Giải hệ



=
+=
0
00
baxy

lần lợt là tung độ của A và B
Khi đó khoảng cách AB đợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:
2
12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB +=+=
IX. Mt s ng dng ca th hm s :
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.

8
bài tập về hàm số .
Bài 1 . cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m +1.
Bài 2 : Cho (P)
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3 : Cho (P)
2

d
) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 7 : Cho (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là
-2 và 4
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d)

1
)//(d).
Bài 8 : Cho (P):
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng:
baxy +=
mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy PT:
.2= mmxy
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
3. Gọi
BA
xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính
giá trị đó?
Bài 9 : Cho hàm số (P):
2
xy =
1. Vẽ (P)
2. Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết ph. trình đờng thẳng AB
3. Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 10 : Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)

2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
3. Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 13 : Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 14 : Cho (P):
2
xy =

1.Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết ph. trình đờng thẳng AB
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 14 : Cho (P):
2
2xy =
1.Vẽ (P)

10
2.Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2 . Xác định các giá trị của m
và n để đờng thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB

a
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
a
b
x =
ví dụ : Giải và bịên luận phơng trình sau:
14)1(4
2
+= mxxm
Giải:
144)14(144414)1(4
22222
+=+=+= mmxmmxmxmmxxm
2
)12().12)(12( =+ mxmm
Biện luận: + Nếu
2
1
m
thì phơng trình có một nghiệm:
12
12
+

=
m
m
x
+ Nếu
2

1
2
11
2
2
=

+
+
+

+

+
a
a
ax
a
ax
a
ax
HD: Quy đồng- thu gọn- đa về dạng ax + b = 0
Bài 3 .
)0;0;;;(
4
1 ++
++
=
+
+

cba
x
a
xcb
b
xca
c
xba
++
=+
+
++
+
++
+

4
4111

11
cba
xcba
abc
xcba
++
++
=




++
++
cbaabc
cba
xcba
0
)(
4)(
)(
2
=






++
++
++
cbaabc
abccba
xcba

Nếu
[ ]
0
cbaxxcba ++==++ 0)(
Nếu
[ ]

Thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm của mỗi phơng trình biểu diễn trênmặt phẳng toạđộ là đồ thị hàm số dạng:
baxy +=
Ví dụ: Giải các HPT sau:
Bài1 :
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


Giải:
+ Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x

x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Bài2:
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.


= −


Bµi 3:
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

*§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thĨ sư dơng hai c¸ch gi¶i sau ®©y:
+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng. §K:
1, 0x y≠ − ≠
.

2 3
1

1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =
 
 

+ = − = −
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
+ = = −
    
= =
+ =
+ +
 
 

+


Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3

a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   

1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 

− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −




x by
bx ay
+ =


− = −

có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bµi 5 : Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1
3
1
1 1








=
−
−
+
=
−
−
+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
7.2)





=+
−=−
22

; 7.5)
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

; 7.6)
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ − = + −


− + = − +

.
7.7)
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
− − + + − =


− + − − − =

2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =

+ −

; 7.11)
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

− +




* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b
2a
* Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn:* Nếu

' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b' - '
a

; x
2
=
-b' + '
a


1
x
2
=
a
c
o lại : Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x
2
= p thì hai số đó l nghiệm (nu có ) của phơng
trình bậc 2: x
2
S x + p = 0
3. Toán ứng dụng định lý Viét
I. Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x

= n , x
2
= m)
II. LP PHNG TRèNH BC HAI
1. Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim
1 2
;x x
Vớ d : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn

15
acb 4
2
=
b

=
b
2
1
và

' =
acb
2

3. x
1
= 36 vµ x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
vµ x
2
=
1 2−
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một
phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
2
3 2 0x x− + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải phương trình
trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và

2
0y Sy P− + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình
2
3 5 6 0x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải phương trình, Hãy
lập phương trình bậc hai có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +

3/ Cho phương trình bậc hai:
2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình
bậc hai có các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp số a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2

4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =
−
4
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 v à P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 v à P = 20
4. S = 2x v à P = x
2

−
y
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2

− + = ⇔

=

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =
−
b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−

2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

Vậy a =
4−
thì b =
9−
*) Với
13a b+ =
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x

11a b
+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

+ + =

=

Vy nu a =
5
thỡ b =
6
; nu a =
6
thỡ b =
5
*) Nu
11a b+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh :
1

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn x = x
1
vào phơng trình
đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình , mà phơng trình bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ
2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ2
V. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM


Dạng 3.
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

+ = + = + = +

Dạng 4.
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Dạng 5.
1 2
?x x =
Ta bit
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x = + = +
Dạng 6.
2 2
1 2
x x


4 4
1 2
x x−
=
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+ −
= ……
D¹ng 9.
6 6
1 2
x x+
=
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + − +
= ……
D¹ng 10.
6 6
1 2
x x−
[ ]
)(.)()()()(
2
2
2
2
2

1
3
2
3
1
xxxxxxxx +−++
D¹ng12: (x
1
– a)( x
2
– a) = x
1
x
2
– a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p – aS + a
2
D¹ng13
2
21
21
21
2
))((
2

8
15
 
 ÷
 
3.
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15
 
 ÷
 
4.
( )
2
1 2
x x+
(46)
b) Cho phương trình :
2
8 72 64 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x

d) Cho phương trình :
2
2 3 1 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
(3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x
− −
+
(1)
3.
2 2
1 2
x x+
(1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
5

HD:
( )
2 2 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + − −
= = = =
+
   
−
+ −
 
 

19
VI. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIM
NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S

;x x
. Lp h thc liờn h
gia
1 2
;x x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx
1
;x
2
nên ta không biện luận bớc 1)
Giải:
B ớc2 : Theo h th c VI- ẫT ta cú :
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m

+ = + = +



(4)
B ớc 3 : ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= = + + + =
+
Vớ d 2: Gi
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
. Chng minh rng
biu thc
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + +
khụng ph thuc giỏ tr ca m.
Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
1 2
1 2
2

1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −
Vậy A = 0 với mọi
1m
≠
. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m− + + − =
. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
1 2
;x x
sao cho
1 2
;x x

độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
B1: Dễ thấy
( ) ( ) ( )

⇔
 
+
= −
=




B3: Từ (1) và (2) ta có:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ − = ⇔ + − − =
Cho phương trình :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + − =
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2

Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2

(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m− − + − =
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x
1
và x
2
l à :

21
1

   
∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥
≥ −
∆ = − − − ≥ 





 


Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−

+ =



−

.
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1 2
&x x
là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥
2 2
4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥
7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m


⇔ − + = ⇔

=

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :
( )
2
2 4 7 0mx m x m+ − + + =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
2 0x x− =
2. Cho phương trình :

2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm
1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x
nên ta có
thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra
ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm
1 2
x x+
và
tích nghiệm
1 2
x x
rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0 &
15
m m≠ ≤
-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m

+ =

⇒ + =

+ =

(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m+ − = ⇒ = = −

BT2: - ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
- Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ = −


= −

- Từ :
1 2

m
=

− = ⇔

=

(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m∆ = − + + = + + = + ≥
với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x
−

+ =



⇔ = + − + −
(2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:
0
(45 96) 0
32
15
m
m m
m
=


+ = ⇔

= −

(thoả mãn )
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

23
Cho phương trình:
2
0ax bx c+ + =
(a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x
1
x

2 2
2
2
(3 1) 4.2.( 6) 0
0
( 7) 0
2 3
6
0
( 3)( 2) 0
0
2
m m m
m m
m
m m
P
P m m
P

∆ = + − − − ≥
∆ ≥

∆ = − ≥ ∀


⇔ ⇔ ⇔ − < <
  
− −
<

k B
+

=

−

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)
Thì ta thấy :
C m
≥
(v ì
0A
≥
)
min 0C m A
⇒ = ⇔ =
C k
≤
(v ì
0B
≥
)
max 0C k B
⇒ = ⇔ =
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( )
2
2 1 0x m x m+ − − =
Gọi

2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m
m
= − +
= − +
= − − ≥ −
Suy ra:
min 8 2 3 0A m= − ⇔ − =

hay
3
2
m =
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
1 0x mx m− + − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức sau:
( )

B
x x x x x x m m
+ + − + +
⇒ = = = =
+ + + + + + +
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2 1
1
1
2 2
m m m
m
B
m m
+ − − +
−
= = −
+ +
Vì
( )
( )
2
2
2

B
m m
m
+ + − + + − +
+
= = = −
+ +
+
Vì
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
2 0 0
2
2 2
m
m B
m
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
Vậy
1
min 2
2