Lời nói đầu
Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình
đại số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó
đối với học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng
lời văn và thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng,
ngôn ngữ toán học, vật lý).
Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng
lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa
các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất
các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến
lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến
đổi tơng đơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong
chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng
học sinh.
Ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô
trống:

- 2 = 5
Ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 – 2 = 10
Ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x : 3 = 4 : 2
x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21
Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới
dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết
lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).
Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc
gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là
những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng
mắc sai lầm là thoát ly thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại

TÁC GIẢ
CHƠNG I
PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban
hành về chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về
phơng trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Ở
lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình
sách giáo khoa ở cả hai lớp trên có 74 bài tập.
Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa
vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy
tắc gồm các bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.
- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số
liệu khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình
(hệ phơng trình).
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)
Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp
và ngắn gọn.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không?
sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng
dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải
một bài toán nói chung.
II. YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho

dựng đợc cách giải.
Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 – 1996 – Nguyễn Ngọc Đạm – Tr-
ơng Công Thành – NXB Giáo dục).
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu
vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
Hớng dẫn: Ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh th-
ờng có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình
chữ nhật là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần h-
ớng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề.
Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó
gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.
x(x + 4) = 1200 <=> x
2
+ 4x + 1200 = 0
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30
x
2
= -34
Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x
2
chỉ lấy x
1
= 30
=> chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m
(ở bài toán này nghiệm x
2

3
x
=> S∆ sau là:
2
1
(x-2) . (
4
3
x + 3)
Theo bài ra ta có phơng trình:






+−
3
4
3
).2(
2
1
xx
Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao
của tam giác là
4
3
x 20 = 15dm
4. Yêu cầu 4:

Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công
Thành – NXB Giáo dục 1996).
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền
thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
Theo hình vẽ ta có:
h
c’
b
'
’
H
CB
A
Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức
h
2
=b’.c’ <=> AH
2
= BH . HC.
Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo công thức (đã biết ở phần hình học) ta có phơng trình:
x (x + 5, 6) = (9,6)
2
Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:
Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).

không nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng
việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.
CHƠNG II: PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƠNG TRÌNH VÀ CÁC GIAI
ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PH-
ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.
Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng).
6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.
8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.
II. CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PH-
ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.
1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dung
phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.
ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Với bài toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây
dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng:
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng

2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập
phơng trình.
Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng
khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.
Hớng dẫn giải:
* Giai đoạn 1:
Giả thiết Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua
* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số
lợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).
Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 – x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình
Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:
x = 3(480 – x) (*)
hoặc x = 3y
x + y = 489 (**)
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:
Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*)
hay hệ phơng trình (**).
Giải (*) ta đợc x = 360kg
Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào
x + y = 480.
* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức
độ thoả mãn hay không thoả mãn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn.
Từ đó => số cà chua: 480 – 360 = 120kg.
Thử lại: Số khoai : 360kg

ời gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m. Mà vận tốc
của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả
2 ngời trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề
bài và tự đặt đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và
một đại lợng khác.
A M B
* Lời giải:
Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quãng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc quãng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:
7
4
1
.
4
3
4
1
=+
xx
(1)
<=>
7
16
3
4
1
=+
xx

=
hkm/12
4
1
:3 =
Bài toán 2: (Đại số 9 – Ngô Hữu Dũng)
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất
8h20’. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng. Biết rằng vận tốc của
dòng nớc là 4km/h.
* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận
tốc thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.
- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng
nớc.
- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực – vận tốc dòng
nớc.
* Lời giải:
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy
khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x –
4. Thời gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4
Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x – 4.
Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20’
hh
3
25
3
1
.8 ==
. Vậy ta
có phơng trình:
3

đại cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt.
Do đó khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn
luôn dơng. Sau đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để
xây dựng phơng trình (hệ phơng trình).
+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều
dạng nhỏ và cần lu ý.
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian
có tỷ lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 – sách đại
8 – Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:
Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = Thời
gian của chuyển động sau khi giảm vận tốc + thời gian chuyển động đi với
vận tốc ban đầu.
- Nếu thời gian của chuyển động đến nhanh hơn dự định (bài 2 sách
đã dẫn) thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A => B rồi từ B =>
A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động (ví dụ chơng 3) thì cách lập
phơng trình nh bài toán đã trình bày. Nghĩa là tổng thời gian của chuyển
động về.
+ Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau (Ví dụ 1 chơng 3) sau một
thời gian hai chuyển động nhau thì có thể lập phơng trình S = S
1
+ S
2
+
II. Dạng toán có liên quan số học:
Bài 1: (Bài 1 – trang 80 – sách đại 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB
Giáo dục 1995).
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và
mẫu thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đã cho?

Vậy phân số đã cho là:
4
1
31
1
=
+
Bài 2: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1995)
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và số nhỏ cho
7 thì đợc thơng thứ nhất hơn thơng thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.
+ Hớng dẫn học sinh:
Với loại toán này học sinh lúng túng cách biểu diễn thơng. Nhiều em
coi thơng thứ nhất là thơng của số nhỏ và 7, thơng thứ 2 là thơng của số lớn
và 5, dẫn đến kết quả sai.
+ Lời giải: Theo 4 cách ở bảng sau:
Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phơng trình xây dựng
1
Cha tính thơng
Tính thơng
x
5
x
x – 12
7
12
−
x
4
7
12

=−
yx
(2)
4
Cha tính thơng
Tính thơng
y
5
y
x
5
x
y – x = 12 (1)
4
75
=−
xy
(2)
Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phơng trình (hay
hệ phơng trình) khác nhau và có 4 cách giải khác nhau nhng vẫn cùng một
kết quả. Giải phơng trình.
Ta đợc: => 7x – 5x + 60 = 140
=> 2x + 60 = 140
=> x = 40 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy số lớn là 40 số nhỏ là 40 – 12 = 28
Bài 3: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1989)
Tìm 2 số biết tổng là 17 và tổng các bình phơng của chúng là 157.
* Hớng dẫn học sinh:
Đây là bài toán đa về phơng trình bậc 2. Cũng có thể có 2 cách giải
theo đặt ẩn khác nhau:

x
2
+ y
2
= 157
Giải phơng trình (*) ta có <=> 2x
2
– 34 + 132 = 0
<=> x
2
– 17x + 66 = 0
∆ = 25,
∆
= 5 => x
1
= 11; x
2
= 6
Cả 2 nghiệm x
1
, x
2
đều thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy số thứ nhất
phải tìm là 11, số thứ hai là 6.
Chú ý: Với dạng toán có liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu
mối quan hệ giữa các đại lợng đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng
trăm biểu diễn dới dạng chính tắc của nó.
cbaabc
baab
++=

chi tiết máy
Do đó cả 2 tổ đã vợt 48 chi tiết máy.
Theo bài ra ta có phơng trình:
48
100
15
).400(
100
10
.
=−+
xx
<=> 10x + 6000 – 15x = 4800
<=> 5x = 1200 <=> x = 240
Thoả mãn điều kiện đề ra. Vậy tháng dần tổ 1 sản xuất đợc 240 chi
tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là
x(x∈Z, 0 < x < 400)
Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng đầu là y(y ∈ Z, 0 < y < 400).
Do đó ta có x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm đợc
100
10
x
chi tiết máy.
Tổ 2 làm đợc
100
15
y
chi tiết máy.

Dân số năm đầu của Hà Nội tăng là: 2.000.000.
x
x
000.20
100
=
Sau năm đầu dân số Hà Nội là:
2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100)
Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là:
20.000 (x + 100).
)100(200
100
+= x
x
Theo bài ra ta có phơng trình:
20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288
<=> x
2
+ 200x – 241,44 = 0
Giải phơng trình bậc 2 ta đợc x
1
= 1,2; x
2
= -201,2 (loại)
Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội 1,2%.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến tỷ số phần trăm học sinh thờng
ngại và khó giải, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất
của logic và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng
trình và giải nh các dạng toán khác.
IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.

1ngày
x( x > 5)
x
1
x – 5
5
1
−
x
6
1
5
11
=
−
+
xx
(*)
2
Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong
1ngày
x( x > 5)
x
1
y( y > 5)
y
1
x – y = 5


x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
Trong 4h vòi 1 chảy
x
1
, vòi 2 chảy
5
2646
=+=>
yxy
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
x
1
+
y
1
=
12
1
5
264
=+

Đã chuyển
x(x > 0)
x - 60
y (y > 0)
y + 60
x – y = 100
x – 60 =
13
12
(y + 60)
Giải phơng trình (*) ta có x = 200 thoả mãn.
Vởy kho 2 lúc đầu có 200 tấn thóc.
Kho 1 lúc đầu có 300 tấn thóc.
Bài 2: (Bài 5 – Sách đại số 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục – 1996)
Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng khi làm việc cho 2 xe
phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có
bao nhiêu xe.
* Lời giải:
Gọi x là số xe của đội lúc đầu ( x ∈ z
+
). Theo dự định mỗi xe phải chở
x
120
tấn hàng. Nhng khi làm việc chỉ có (x – 2) xe chở. Thực tế mỗi xe phải
chở
2
120
−
x