PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)
+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ) ( ). ( / ) ( / )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A
1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
1.5. Công thức Bayes:

∫
2.3. Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên
tục)
2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x
=
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
=
∫
2.4. Kỳ vọng
2.4.1.
1 1 2 2
( )
n n
E x x p x p x p= + + +
(từ bảng phân phối xác suất)
1
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx

µ
σ
σ π
−
−
=
3.1.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=
∫
3.1.3.
ModX MedX
µ
= =
;
2
( ) , ( )E x V x
µ σ
= =
3.1.4.
( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ ≤ = −

~ ( )X P
λ
,
λ
>0
3.2.1.
( )
!
k
p k e
k
λ
λ
λ
−
= =
3.2.2.
( ) ( )E x V x
λ
= =
3.3. Phân phối nhò thức:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q
−
= = = + =
2

,
np
λ
=
.
( )
!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =
3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq
≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−

N
C C
p X k
C
−
−
= =
3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−
3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhò thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p
≤ ⇒
;
( ) ,
k k n k
A

3
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
n i
i
X x
n
=
=
∑
1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
=
(
A
m
:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước
mẫu)

σ
biết
30n
≥
,
2
σ
chưa biết
X
,
σ
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
2
.u
n
α
σ
ε
=
(
1
α
−
0.5-
2
α


n
<30,
2
σ
biết
n
<30,
2
σ
chưa biết
Như TH1
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
( 1, )
2
.
n
s
t
n
α
ε
−
=
1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1

chưa biết. Dựa
vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1-
α
cho trước.
4
TH1:
µ
chưa biết, biết
2
S
. Khi đó ta có
2 2
2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −
∈
trong đó
2 2
1
( 1, )
2
n
α
χ χ

2
n
α
χ χ
=
,
2 2
2
( ,1 )
2
n
α
χ χ
= −
1.2.3. Kiểm đònh giả thuyết thống kê:
1.2.3.1. Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho
µ
1.2.3.1.1. TH1:
2
σ
biết
Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H

:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ
σ
−
= =
,u<-
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{

:H
µ
≠
0
µ
0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ
−
= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0

= =
,u>
u
α
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
σ
không biết
5
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ
0

s
α
µ
−
= =
,
t
<-
( 1, )
2
n
t
α
−
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{ ,
X
W t n
s

{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α
−
= =
−
>
2
u
α
}
0: 0
H p p=
1:
H p
<
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n

u
>
u
α
}
1.2.3.3. Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho phương sai:
1.2.3.3.1. TH1:
µ
chưa biết
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
≠
2
0
σ
2

,
n n
α α
χ χ χ χ
− − −
= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
<
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ

{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
>
2
( 1, )n
α
χ
−
1.2.3.3.2. TH2:
µ
biết.
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
2 2
0 0
:H

2
1
χ
hoặc
2
χ
>
2
2
χ
2 2 2 2
1 2
( ,1 ) ( , )
2 2
,
n n
α α
χ χ χ χ
−
= =
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
<

:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
>
2
0
σ
2
2
2
0
( )
{
i i
n x
W
α
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ

W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n

 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
7
1.2.4.1.2. TH2:
m
<30,
n
<30,
2 2
1 2
,
σ σ
biết, X,Y có phân phối chuẩn
GTTK
W
α
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1 2
:H

µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
−
 
= = < −
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2

=
1 1 2
:H
µ µ
≠
2 2
2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H

2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
−
 
= = >
 
 
+
 
 
1.2.4.1.4. TH4:
m
<30,
n
<30, X,Y có phân phối chuẩn,
2 2
1 2
σ σ
=
không biết

−
 
= = >
 
 
 
+
 ÷
 
 
 
( ) ( )
2 2
1 2
2
1 1
2
m s n s
s
m n
− + −
=
+ −
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ

:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
( )
2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t
s
m n
α
α
+ −
 
 
−
 
= = >
 
 
 

1, 1,
1 2
2 2
1 2
; ; , ; , ;
m n
s s t v t v
X Y
W g g t t t t t v v t
m n v v
s s
m n
α
α α
   
− −
 ÷  ÷
   
 
 
+
−
 
= = > = = = = =
 
+
 
+
 
 

= = < − = =
 
 
+
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
>
2
µ
2 2
1 2
;
X Y
W g g t
s s
m n
α
 
 
−
 
= = >
 

 
 
−
 
= = > = =
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
0 1 2
:H
µ µ
=
1 1
:H
µ
<
2
µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u

1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
−
 
= = >
 
 
 
− +
 ÷
 
 
 
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:
GTTK
W
α
2 2
0 1 2
:H
σ σ
=
2 2
1 1 2

=
2 2
1 1 2
:H
σ σ
>
2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s
α α
 
= = > − −
 
 
Xác suất
Chương 1: Biến cố và xác suất
Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A)
Công thức xác suất đầy đủ:
1
( ) ( ). ( / )
n
i i
i
P A P H P A H

Kì vọng: Cho bảng:
1
( )
n
i i
i
E X x p
=
=
∑
Cho hàm:
( ) ( )E X xf x
+∞
−∞
=
∫
Phương sai:
2 2
( ) ( ) [ ( )]V X E X E X= −
Độ lệch chuẩn:
( )V X
σ
=
Chương 3: Quy luật phân phối xác suất
1.Quy luật không – một – A(P):
E = p; V = pq;
pq
σ
=
2.Quy luật nhị thức – B(n,p): E = np; V = npq = np(1-p)

, V=
2
1
λ
11
7. Quy luật phân phối chuẩn
2
( , )N
µ σ
: E=
µ
, V=
2
σ
0 0
( ) ( ) ( )
b a
P a x b
µ µ
φ φ
σ σ
− −
< < = −
0 0
( ) ( )a a
φ φ
= − −
( phụ lục 5 )
8. Quy luật khi bình phương
2

= < <
f(x,y)=F”(x,y)
12
13
Thống kê
Trung bình mẫu:
1 1 2 2
1
( )
k k
X n X n X n X
n
= + + +

Phương sai mẫu
2
S
:
2
2 2 2 2
1 1 2 2
1
( )
1
k k
S n X n X n X nX
n
= + + + −
−


µ
− < < +
(phụ lục 5)
Ước lượng với chặn trên (tối đa):
X u
n
α
σ
µ
< +

Ước lượng với chặn dưới (tối thiểu):
X u
n
α
σ
µ
− <

Độ chính xác:
/2
u
n
α
σ
ε
=

Khoảng tin cậy:
/2

n n
S S
P X t X t
n n
α α
µ α
− −
− < < + = −
(phụ lục 8)
14
1.3: Hiệu 2 kỳ vọng:
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 /2 1 2 1 2 /2
1 2 1 2
. .X X u X X u
n n n n
α α
σ σ σ σ
µ µ
− − + < − < − + +

2. Ước lượng phương sai
2
σ

2.1: Đã biết
µ
:
*2 *2

2 1 2 1
2 2 2
( 1, 1) ( 1, 1)
1 1 1
1 /2 /2
2 2 2
2 2 2
n n n n
S S
f f
S S
α α
σ
σ
− − − −
−
< <
(phụ lục 9)
3. Ước lượng tần suất
p
:
/2 /2
(1 ) (1 )f f f f
f u p f u
n n
α α
− −
− < < +

II. Kiểm định giả thuyết

b) Chưa biết phương sai
2
σ
:
15
Nếu
30n >
: Giống trên,
0
( )X n
z
s
µ
−
=
Nếu
30n ≤
:
0
( )X n
z
s
µ
−
=

Đối thuyết hai phía:
1
/2
{ }

Z
n m
µ µ
σ σ
− − −
=
+

Đối thuyết 2 phía:
0 /2
{ }W Z t
α α
= >

Đối thuyết bên trái:
0
{ }W Z t
α α
= < −

Đối thuyết bên phải:
0
{ }W Z t
α α
= >
2. Kiểm định tỉ lệ:
0
0 0
(1 )
f p

=

Đối thuyết 2 phía:
2( 1) 2( 1)
1 /2 /2
{ ; }
n n
W g g
α α α
χ χ
− −
−
= < >

Đối thuyết bên trái
2 2
0
σ σ
<
:
2( 1)
1
{ }
n
W g
α α
χ
−
−
= <

Đối thuyết hai phía
2 2
1 2
σ σ
≠
:
( 1, 1) ( 1, 1)
1 /2 /2
{ ; }
m n m n
W g f g f
α α α
− − − −
−
= < >
(phụ lục 9)
Đối thuyết bên phải
2 2
1 2
:
σ σ
>

( 1, 1)
{ }
m n
W g f
α α
− −
= >

trong 2 cái sẽ xảy ra, còn xung khắc thì có thể cả 2 đều không xảy ra.
Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A)
Trường hợp đặc biệt: A và B độc lập, tức A xảy ra không liên quan gì đến B xảy ra, khi đó
P(B/A) = P(B), và ta có P(AB) = P(A).P(B)
17
Công thức xác suất đầy đủ: Xét
1 2
, , ,
n
H H H
là một hệ các biến cố đầy đủ ( đôi một xung
khắc và chắc chắn có đúng 1 biến cố sẽ xảy ra
1
( ) 1
n
i
i
P H
=
=
∑

A là biến cố bất kì. Khi đó
1
( ) ( ). ( / )
n
i i
i
P A P H P A H
=

C
cách, ở k vị trí ấy, mỗi vị trí xác suất để A xuất hiện là p,
còn ở n-k vị trí còn lại, xác suất là q. Nhân hết lại với nhau được
.
k
k n k
n
p q
C
−

-Công thức xác suất đầy đủ dùng khi nào? Khi yếu tố được xét trong bài toán có 2 tính chất
không liên quan tới nhau; hoặc biến cố cuối cùng là kết quả thực hiện qua 2 giai đoạn. Ví
dụ: Một quả bóng được bốc từ lô I hoặc II, có màu đen hoặc trắng; hay đầu tiên chọn 1 lô
bóng từ 2 lô cho trước, rồi tiếp theo mới chọn 1 quả bóng từ lô mới đó. Chính vì có nhiều
trường hợp có thể xảy ra, mỗi trường hợp lại xảy ra theo một xác suất khác nhau, đồng thời
với mỗi trường hợp, xác suất xảy ra biến cố cần tìm lại khác nhau, nên dùng xác suất đầy đủ.
- Công thức Bayes là trường hợp ngược lại của xác suất đầy đủ. Biến cố A trước được tính
theo hệ n biến cố H, giờ ngược lại, ta biết chắc chắn A đã xảy ra và cần tìm xác suất nó xảy
ra trong trường hợp H nào. Lắp công thức và lần lượt tính từng cái.
- Nói chung quan trọng nhất là đọc kĩ đề bài và đặt được hệ biến cố. Đặt được rồi thì phần
còn lại rất dễ dàng.
18
Chương 2: Biến ngẫu nhiên
Biến rời rạc và liên tục
Biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn khác của biến cố, nhưng bằng số.
Ví dụ như gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc, thì X có thể nhận các giá trị
từ 1 đến 6, với xác suất như nhau là 1/6. X=1 cũng tương đương với biến cố: “Gieo được
mặt 1 chấm”
Hiểu đơn giản thì biến rời rạc cho bởi bảng, biến liên tục cho bởi hàm, và hàm ấy liên tục

( ) 1f x
+∞
−∞
=
∫
. Còn khi áp dụng vào thực hành thì
( ) ( ) 1
b
a
f x f x
+∞
−∞
= =
∫ ∫
. Từ đó có
thể làm được nhiều bài kiểu cho hàm f(x) và yêu cầu tìm hằng số c,d,k gì đó.
19
Từ hàm f(x) tìm ra F(x) thì dùng phép tính tích phân, nhưng nếu f(x) có chia khoảng thì
cũng tách theo từng khoảng ấy. Công thức là
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
=
∫
(ở đây ta coi x là một cận,
giống như 1,2, )
( Xem câu b, thí dụ 7, trang 88 )
Các tham số của biến ngẫu nhiên
Kì vọng:

+
≤ <

Với biến liên tục thì trung vị là số
d
m
thỏa mãn
( ) 0,5
d
m
f x dx
−∞
=
∫
(coi như giải 1 phương trình)
Mốt: Cái nào xuất hiện nhiều nhất là mốt, nhìn là biết
Phương sai:
Nói luôn về cách tính.
2 2
( ) ( ) [ ( )]V X E X E X= −

Với biến rời rạc thì với cái bảng ấy, tính
2
( )E X
y hệt như tính E(X), khác cái là các số X
thay hết bằng
2
X

Với biến liên tục thì có thêm cái công thức

σ
=
, đoạn sau chỉ viết V thôi, tự suy ra được
σ
)
2.Quy luật nhị thức – B(n,p)
Mở rộng của quy luật không – một, và thực ra là định lý Bernuli ở chương 1.
Ta vẫn xét một phép thử chỉ có thể xảy ra trường hợp A hoặc
_
A
, xác suất để A xuất hiện là
p, để
_
A
xuất hiện là q ( với p+q=1). Khi đó, theo Bernuli, thử n lần thì xác suất để A xuất
hiện x lần là:
x
x n x
n
p q
C
−
. Thực ra cũng không cần quan tâm quá đến công thức, tự suy ra được thôi.
Quan trọng là nhớ các tham số này:
E = np; V = npq = np(1-p)
3.Quy luật Poisson –
( )P
λ

Nói về bản chất, quy luật Poisson chính là quy luật nhị thức, nhưng trong 1 trường hợp đặc

khả năng bốc được nhiều nhất”, hay “số chai có khả năng vỡ nhiều nhất” … đều là hỏi về
mốt.
Kí hiệu mốt là
0
m
thì
0 0 0
1 m
λ λ
− ≤ ≤
, với lưu ý
0
m
là số nguyên, từ đó dễ dàng tìm được
4. Quy luật siêu bội M(N,n)
Bản chất là thực hiện phép thử giống như nhị thức và Poisson, nhưng các phép thử không
độc lập nữa. Công thức và định nghĩa của cái này khá là kinh khủng và khó nhớ, vì thế
không cần nhớ đâu, chỉ cần nhớ mấy tham số là xong.
Gọi p là xác suất để A xảy ra thì ta có:
E = np; V=
(1 )
1 1
N n N n
npq np p
N N
− −
= −
− −
( cái V thì cố nhớ thôi )
5. Quy luật phân phối đều U(a,b)

a b−
( nhớ 2 cái này làm trắc nghiệm )
6. Quy luật phân phối lũy thừa
( )E
λ

Hàm mật độ xác suất rất kinh khủng nên không cần nhớ đâu. Cùng lắm là cho sẵn hàm mật
độ và yêu cầu tính toán gì đó, sử dụng mấy công thức ở chương 2 đã nêu.
Nhớ các tham số: E=
1
λ
, V=
2
1
λ

7. Quy luật phân phối chuẩn
2
( , )N
µ σ

22
Quan trọng nhất, chắc cũng ra nhiều nhất. Sách viết rất dài và rất kinh dị nhưng chỉ cần nhớ
những cái này:
Tham số: E=
µ
, V=
2
σ


E=0, V=
2
n
n −

Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều
Không phải trọng tâm ôn thi nên trình bày ngắn gọn và đơn giản nhất thôi.
Xét biến 2 chiều rời rạc
Tức là cho bởi bảng, xét bảng có n cột, m dòng. Cột là các giá trị của X, dòng là các giá trị
của Y, giao giữa cột
i
x
và dòng
j
y
là xác xuất để đồng thời có
,
i j
X x Y y
= =

Khái niệm xác suất biên:
1
( ) ( , )
m
i i j
j
P x P x y
=
=

Vì không phải phần trọng tâm nên tôi nghĩ chắc chỉ đến đây thôi, những cái cơ bản
nhất. Dành thời gian tập trung ôn chương 3 hơn.
BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ
1
ĐỀ SỐ 1
1. Đường kính của một loại trục máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
N
(
µ
=

250mm
;
σ

2
=

25mm
2
)

. Trục máy được gọi là hợp quy cách nếu đường kính từ
245mm đến 255mm. Cho máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để:
a. Có 50 trục hợp quy cách.
b. Có không quá 80 trục hợp quy cách.
2. Quan sát một mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg):
X
Y
150-155 155-160 160-165 165-170 170-175

N
(
µ
=

250mm
;
σ

2
=

25mm
2
)
.
24
Xác suất trục hợp quy cách là:
1
Đề thi:GS Đặng Hấn. Lời giải:Th.S Lê Lễ.
Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS.
Page 1
25

Trích đoạn XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ

---