Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1) Tính các tích phân sau
a.
3
2 3 sinx-cosx
dx
I
π
π
=
+
∫
 
+
 ÷
 
= = −
 
+
 ÷
 
∫
2
3
2 6
1 3
8 4
cos
2 6
x

=

= + +

⇒
+ +
 
=


=


1
1
2 3 2
2
2
0
0
1 2
ln( 1)
2 2 1
x x x
I x x dx
x x
+
= + + −
+ +
∫

I
4
3
)1xxln(
4
1
xx
2
1
3ln
2
1
−=−+++−−=
* Tính I
1
:
∫








+





3
2
1
x
Suy ra
9
3
t
3
32
ttan1
dt)ttan1(
3
32
I
3/
6/
3/
6/
2
2
1
π
==
+
+
=
∫
π
π

2
du; u(0) = 1, u(7) = 2
⇒ I =
2
3
2
1
2( 1) 1
.3
u
u du
u
− −
∫
=
2
4
1
(6 9 )u u du−
∫
=
2
5 2
1
6 9 237
5 2 10
u u
 
− =
 ÷


Đặt
2
4 2 tant x= −
, ta có t
2
=
2
4 2 tan x−
, suy ra
2
2 4 tan
cos
dx
tdt x
x
= −

Suy ra
2
2
.dtt
I
t
=
∫
=
2
2
1 2 2

1
1 1
2 1 1 1
4
2 2 2 3 2
5
t t
t
I tdt t t dt t
t
− + − −
 
= = − = −
 ÷
 
∫ ∫

128 4 124 54
16 2 14
5 5 5 5
= − − + = − =
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 1
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
f.
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x

2 cos( ) 1
4
x x x x
I dx
x x
x x
dx
dx dx
x x
x x
dx
x x
x
π
π π π
π
π
+ + − − −
=
+ +
−
= − −
+ +
+ +
π
= − + + −
π
 
− +
 ÷

0
tan 2 tan
2 2 8 2 8
x
 
= − − = −
 ÷
 
π
π π π π
g.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫

∫∫
+
+


( )
( )
( )
2
2
2 2
3
2
1
1 1
1
2 2 2
1
.2 2 1 2
3 3
t
t
I tdt t dt t
t
−
−
 
= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
+) TÝnh
2
2

+
= − = − = − + =
∫
3 3 3 3 3 3
2
2 1 1
1
1 1 1 2 1
.ln .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
e
e e
x e x e e e
I x x dx

=+=
21
I3II
3
5 2 2 2
3
e− +
h.
2
1
1
2
1
1
x

∫ ∫ ∫
Tính I
1
theo phương pháp từng phần I
1
=
2
2
1 1
5
2
2
1
1
2
2
1 3
2
x x
x x
xe x e dx e I
x
+ +
 
− − = −
 ÷
 
∫
Thế vào (*) ta được
5

-x
)
2
- 4
Suy ra
1 81
ln
4ln 2 25
I =
bằng phương pháp đổi biến số
j.
( )
2
3
0
sin 2
2 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
Đặt
2 cos cos 2 sin .t x x t x dx dt
= + ⇒ = − ⇒ = −
Khi
0 3; 2
2

 
 
= − + = − =
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
k.
4
3
2
1 2 1
dx
I
x x
=
+ − +
∫
+I=
4
3
2
1 2 1
dx
x x+ − +
∫
Đặt
2 1t x= +
⇒
12

2
)1(
2
t
tdt
=
dt
t
t
∫
−
+−
3
2
2
)1(
11
=
∫∫
−
+
−
3
2
2
3
2
)1(
2
)1(

1 x
+
thì u - x=
2
1 x
+

⇒
2 2 2
2 1x ux u x
− + = +
2
2
1 1 1
1
2 2
u
x dx du
u u
−
 
⇒ = ⇒ = +
 ÷
 
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
KkplkI = .
Trang 3
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Đổi cận x = - 1 thì u =
2

2
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1
du
du
u u u u
+ +
− −
 
+ − +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
= 1
m.
3
3 5
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
Trước hết tìm nguyên hàm của
∫ ∫

+
⇒ = = ⇒ = =
+
 
 ÷
+
 
∫ ∫
6 4 2
3
3 3 4 2
2
3 3 1
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
t t t
dt
t
t t t dt x x x C
t x
−
+ + +
=
 
= + + + = + + − +
 ÷
 
∫
∫

1
dx
I
x x
−
−
=
−
∫
.
Đặt
2
2
2
1 1
1
dx tdt
t x t x
x t
= −

= − ⇒ = − ⇒

= −

Đổi cận :
15 4
8 3
x t
x t

3
2
1
dt
t
=
−
∫
4
3
1 1
1 1
dt
t t
 
−
 ÷
+ −
 
∫
4
3
1 5
ln ln
1 6
t
t
 
+
= =


Vậy
2
1
2
3
t
I te dt=
∫
Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
= → =
= → =
.
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 4
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Khi đó ta có
2
2
1
2 2
3 3
t t
I te e dt e
 
= − =
 ÷

=
2
2
1
1
1
x
1
x
d
x
x
−
+
∫
=
2
1
1
1
d x
x
x
x
 
+
 ÷
 
−
+

1 2x
x
1
d
x x
 
−
 ÷
+
 
∫
=……)
q.
2
2
0
cos cos2I x xdx=
∫
π

( ) ( )
2 2
0 0
1 1
1 cos2 cos 2 1 2cos2 cos 4
2 4
I x xdx x x dx= + = + +
∫ ∫
π π


= = − = =
 ÷
 
∫ ∫
s.
2
0
.sinI x xdx=
∫
π
2 2
0 0 0
0
1 cos2 1 1 1
. .cos2
2 2 2 4 2 4 2
x x x
I x dx dx x xdx K K
−
= = − = − = −
∫ ∫ ∫
π
π π π
π
Tính
0
os2xdxK xc
π
=
∫

= − = =
∫
.
Vậy
2
4
I
π
=
t.
1
2
3
0
2 1- 2I x xdx=
∫
Đặt
3 2
3
3
1 2 2 1
2
u x x u dx u du= − ⇒ = − ⇒ = −
.
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 5
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
Đổi cận: Khi
1
x=0 u=1; x= 0

1 cos
x
I dx
x
=
+
∫
π

( )
( )
2
2
2 2
0 0
0
1 os sinxdx
1 3
1 osx sinxdx= -cosx- os2x
1+cosx 4 2
c x
I c c
π
π π
−
 
= = + =
 ÷
 
∫ ∫

=



=


( )
3 3
3
3
3 2
0
0 0
1 1 1 1 56 5
ln 1 9ln 4 ( 1 ) ln2
3 3 1 3 1 3 2
x
I x x dx x x dx
x x
= + − = − − + − = −
+ +
∫ ∫

w.
2) Một số bài tập tính tích phân (Các bạn tự giải)
1.
4
2
0


4.
( )
2
0
sin cosI x x xdx= +
∫
π
5.
( )
4
2
0
2cos 1I x x dx
π
= −
∫
6.
2
3
0
sinI x dx
π
=
∫
7.
2
2
2
2

0
sin cosJ x xdx
π
=
∫
11.
3
0
sin .ln(cos )I x x dx
π
=
∫
12.
1
3
0
x
I xe dx
=
∫
13.
3
0
sin .J x tgxdx
π
=
∫
14 .
1
0

Trang 6
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
18.
2
3
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
19.
4
2
0
2 tan
cos
x
I x dx
x
π
 
= +
 ÷
 
∫
20.
2
0
sin cos2
2

0
3 2
6
x
I dx
x x
−
=
− −
∫
24.
( )
2
1
1
1 3ln
e
I dx
x x
=
+
∫
25.
4
4
0
tanI xdx
π
=
∫

29.
1
2 3
2
0
ln( 1)
1
x x x
dx
x
+ +
+
∫
30.
2
3
0
(1 2sin 2 ) cos 2x xdxI
π
+=
∫
31.
( )
2
0
1 sin cosI x x xdx
π
= −
∫
32.

∫
34.
( )
2
0
3 2 cosI x xdx= −
∫
π
35.
2
1
ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
36.
1
ln 5 4ln
e
e
x x
I dx
x
−
−
=

2
1
2 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
41.
3
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
42.
2
1
ln
e
e
I dx
x x
=

x
I dx
x
=
+
∫
46.
2
2
0
(2 1) 1I x x x dx= − − +
∫
47.
2
2
0
sin 2
3 os
x
I dx
c x
π
=
+
∫
Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 7
Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân
48.
4

∫
52.
1
(2 1)ln
e
I x xdx= −
∫
53.
1
0
ln( 1)I x dx= +
∫
54.
( )
2
sin
0
cos
x
I e x x dx
π
= +
∫
55.
( )
2
3
0
sin cos cosI x x x dx
π