TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP C ơ LÝ THUYÉT
GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN
TÓT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP C ơ LÝ THUYỂT
GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của
bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan.
Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với
kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào. Neu trong khóa luận có gì không
trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Bùi Thị Phương


M Ụ C LỤC
L Ờ I C Ả M ƠN
LỜI CAM ĐOAN
M Ở Đ Ầ U .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứ u ........................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên c ứ u .................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên c ú n ....................................................................................2
6. Bố cục của đề tà i.................................................................................................. 2
7. Đóng góp của đề t à i .............................................................................................2

CHƯƠNG 1: NHỬNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN............................................... 3
1.1. Khái niệm về liên k ế t....................................................................................... 3
1.1.1. Số bậc tự do - Liên k ế t............................................................................. 3

Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thế kỉ XIX một
chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khắng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật
lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết”. Nó đã diễn tả được
các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tồng quát và có ỷ nghĩa to lớn
trong khoa học và đời sống cũng như trong kĩ thuật. Bên cạnh đó, nhờ nhũng
suy luận lôgic nó còn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng
thực nghiệm.
Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý
thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng
của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt. Việc vận dụng các kiến
thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với
người học. Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần
phát triển khả năng tư duy. Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học,
ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý
thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho
người học. Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương
trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới đế tiếp cận bài

Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lỷ thuyết giải
bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng phương trình Haminton đế giải một số bài tập cơ lý thuyết đế
tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ.

1


Xét 1 cơ hệ gồm N chất điểm Mị, M 2v... Mn chuyển động đối với hệ
quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm M¡ trong không gian được xác định
bởi bán kính vecto r hay ba tọa độ Descartes

X i,

y¡,

Z j.

Để xác định vị trí của

cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto r¡, (i = 1,2,...,AO hay 3N tọa độ
D e s c a r t e s X j, y ị, Zị ( i = 1, 2 , . . . , A O -

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đon giá vị trí của cơ
hệ gọi là số bậc tự do của nó.

1.1.1.2. Khái niệm về liên kết
Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điếm của cơ hệ
trong không gian gọi là liên kết.
Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của
các tọa độ. Xét 3 chất điểm A(x1,y 1,z ]),ß (x 2,y 2,z 2),C (x3, y 3, z 3)v à khoảng
cách giữa 2 chất điểm A,

B là ĩn, 2 chất điểm B, c

là r23, 2 chất điểm A,

r31, biểu thức thể hiện sự ràng buộc:

= 0 ( a = ì,2,..k,i = 1,2,..N )

Hay rút gọn:

Khi / không phụ thuộc vào vận tốc thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên
kết hình học:

f ưỢn t) = 0 ( a = l,2,..kJ = l,2,..N)
Khi f phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết
đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học.
f a(r.,r.,t) = 0 với ( a = ì,2,..k,i = ì,2,..N)

TdiCÓ-. d f ( r . , t ) = Ỷ ^ - d ĩ + — ở t = ữ với ( a = 1,2,....,N)

/=1ôĩ.
ĩ

1 Õt

(1.1)

Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là
liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được..

1.1.1.3. Hệ hôlônôm
Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên
nó gọi là cơ hệ hôlônôm.

4



ổri = cựi —cữ.i

5


1.2. Tọa độ suy rộng
Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi (i = \,2,...,N) với liên kết
đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương
trình liên kết động học.
Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3 N - m - n tọa độ độc lập qi,
q2v... qs thì q,, q2,— qslà những tọa độ suy rộng.


Gia tôc

XV.

' dt Đr

ử

+

dt õt

= 0 ( a = l,2,..Jfc)

(1.4)

F

= — có thê không thỏa mãn phương trình (1.4). Điêu này có
ì
r a .

ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mj một lực nào đó gọi là phản
lực liên kết. Kí hiệu là R thì phương phương trình chuyển động của chất
điểm không tự do Mị có dạng:
m.w.=F.+R.

(/ = 1,2,...,AO

(1.5)

ÔL
— —------- — = 0 với k=l,2,..s
dt dqk dqk
Trong đó: L=T-U
a) Hàm Lagrange có tính chat cộng tính
Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Neu
bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA+ LB.
b) Hàm Lagrange có tính bất định
Xét 2 hàm L^qk,qk,t) và L'(qk,qk,t) liên hệ với nhau bằng biểu thức:
d f ( q k,t)
dt
S’=ịư d t; S = ịu t

h

*1

s ’ J \ L d t J ld Ả ự > dt = s + ) Id Ả Ỉ L A dt
ị
ị
dt
ị
dt

ỐS' = ỏ s + ô ịd f ( q k,t)

^ Ổ S ' = ỔS
Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange
có ỷ nghĩa bất định.



=> L(v-) = L ự 2) + — ( 2a 7 V + a V 2t)
>
d/ ì tt v'

1
Chọn a = — do đó L ———
2
2
1

T

_ ,
Đôi với hệ: L = ^

N

mv

y2
— - trong đó n là sô chât điêm của cơ hệ.

Ỵ Ị -ị

r

Trong hệ tọa độ Descartes:

9

dt

-------- 1
-----------1
-------dt

^

T

/

2

2

2\

L = — (x + y + z )
2
-

Trong tọa độ trụ:
X = rcosạ?
y = rsin ạ )

z =z
d í - = d r 2 + r 2d ( p + d z
T _



Dùng các hệ tọa độ suy rộng:

10


• _ V

OJ ị

.

*=1 a,
u +ỳ, + i ) - v { x „
i=i

y,z ,)

=^Zöa(?)-9Ä
- f/(fl')
z /,*
1.5. Hàm Haminton
Ta có:
s

H =

P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N
2.1. Phương trình tống quát của động lực học
Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng.
Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng:
mw=F+R

(2.1)

nên:
m.w.
ĩ ĩ —F.ĩ = R;ĩ
Từ điều kiện:

X«.

suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Khi đó, qkđược gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Thế năng u không phụ thuộc vào qk nên pk có dạng:

dĩ

dT

>

Pt = Ệ L = ^ - = Ỳ . aA
dqk õqt (.1

—

+bt { k = \ , s )

Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian
Từ đó ta có: