TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------

PHẠM THỊ TƢƠI

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp lý luận dạy học
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô
giáo trong tổ phương pháp giảng dạy, cùng sự đóng góp ý kiến của các
bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo
Dƣơng Thị Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình giúp e
hoàn thành đề tài luận văn này. Trong quá trình thực hiện đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các thầy, cô cùng toàn thể các bạn
sinh viên đóng góp ý kiến, sửa chữa đề tài để đề tài ngày càng hoàn thiện
và mang giá trị thực tiễn cao hơn.



3.1. Khái niệm bài tập ....................................................................... 8
3.2. Tác dụng của bài tập ................................................................... 8
3.3. Bài tập có nhiều cách giải ........................................................... 9


4. Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải
trong trường THPT .................................................................................. 9
4.1. Mục đích điều tra ........................................................................ 9
4.2. Phương pháp đối tượng điều tra .................................................. 9
4.3. Tiến hành điều tra ....................................................................... 9
4.4. Kết quả điều tra ........................................................................ 10
Kết luận chương I .................................................................................. 10
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI
TÍCH CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU ............................... 11
1. Chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ................... 11
2. Chủ đề chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình ......................... 24
3. Chủ đề nguyên hàm, tích phân........................................................... 35
4. Chủ đề lượng giác ............................................................................. 42
Kết luận chương 2 ................................................................................. 48
KẾT LUẬN .......................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................


A. phẦn mỞ ĐẦu
1. Lí do chọn đề tài
Xu hướng dạy học hiện nay là chuyển trọng tâm của người dạy sang
người học. Người học có thể tự làm chủ kiến thức của mình,bằng việc tự
tìm tòi,khám phá những tri thức của nhân loại. Vì vậy dạy học hiện nay
ngoài việc cung cấp kiến thức thì việc nâng cao khả năng tư duy cho học

5. Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình Đại số - Giải tích ở trường THPT.
6. Giả thiết khoa học
- Giải được một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách và sử
dụng hợp lí sẽ phát triển được tư duy sáng tạo của học sinh.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứ lí luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

2


B. PHẦn NỘI DUNG
Chƣơng 1:CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Tƣ duy
1.1. Khái niệm tƣ duy
Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh
thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông
qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự
vật và ứng xử tích cực với nó.
Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4 (NXB Từ điển
bách khoa. Hà Nội. 2005): “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất
được tổ chức một cách đặc biệt : Bộ não người, tư duy phản ánh tích
cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý
luận.v.v...”
Theo triết học duy tâm khách quan, tư duy là sản phẩm của “ý niệm
tuyệt đối” với tư cách là bản năng siêu tự nhiên, độc lập, không phụ
thuộc vào vật chất. Theo George Wilhemer Fridrick Heghen: “Ý niệm
tuyệt đối là bản nguyên của hoạt động và nó chỉ có thể biểu hiện trong tư

+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá.
2. Tƣ duy sáng tạo
2.1. Khái niệm về sáng tạo
Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để
bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết
đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm
như là người tạo nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu
thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng
sáng tạo. Theo bách khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người

4


trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới
tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng
tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy
nhất”. Theo từ điển tiếng việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”[10, tr.1130]. Tác giả
Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ
những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” [17, tr.7]. Các công trình
nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ
việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông
minh. Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan
sát được vừa không thể quan sát được. Bởi vì các quá trình vô thức và
không thể quan sát được khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có sự
hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo. Qua các khái niệm
trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị
gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”.
2.2. Quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:

của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá
Kim – Phương pháp dạy học môn Toán).
2.3.2. Cấu trúc của tƣ duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học…đã đưa ra
năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
+ Tính mềm dẻo (Flexibility):Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực
dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ

6


quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại
sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới
trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản
chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm
thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ
của con người.
+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể
hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố
riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà
tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm
tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
+ Tính độc đáo (Originality): Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết
định phương thức mới.
+ Tính hoàn thiện (Elabolation): Tính hoàn thiện là khả năng lập kế
hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và
chứng minh ý tưởng.

các bài tập toán học đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức của nhiều
nội dung trong bài, trong chương. Dạng bài tổng hợp đòi hỏi học sinh
phải vận động vốn hiểu biết trong nhiều chương, nhiều bộ môn.
+ Cung cấp thêm kiến thức mới, mở rộng hiểu biết của học sinh về
các vấn đề thực tiễn cuộc sống .
+ Rèn luyện một số kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh như: Phát triển tư
duy: học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, so sánh,
quy nạp, diễn dịch, tổng hợp, suy luận tương tự…
+ Bài tập cũng giúp giáo viên đánh giá được kiến thức và kỹ năng
của học sinh. Học sinh cũng tự kiểm tra biết được những lỗ hổng kiến
thức để kịp thời bổ sung.

8


+ Giải bài tập rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, tính cẩn thận,
chính xác khoa học…Làm cho các em yêu thích bộ môn, say mê với
khoa học (những bài tập gây hứng thú nhận thức).
3.3. Bài tập có nhiều cách giải
Bài toán mà có thể giải được bằng nhiều cách với những phương
pháp giải khác nhau thì bài toán đó được gọi là bài toán có nhiều cách
giải. Bài toán được giải với các cách giải khác nhau nhưng vẫn có cùng
kết quả thì bài toán nhiều cách giải mang đến tính hứng thú cho học sinh
lẫn giáo viên hướng dẫn học sinh giải. Khi được giáo viên yêu cầu làm
bài tập với nhiều cách giải khác nhau thì học sinh có cơ hội vận dụng tất
cả các phương pháp giải toán đã được giáo viên giảng dạy, tư duy của
học sinh cũng phát triển. Với những bài toán mà việc chọn cách giải phù
hợp sẽ làm tiết kiệm thời gian giải bài điều này rất tốt với cách giải bài
toán trắc nghiệm như hiện nay.
4.Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải


Rất

thường

thường

xuyên

xuyên

Bài toán (1 cách giải) rèn
luyện nhiều kĩ năng tính

0

2

8

4

0

2

7

5


THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CÓ
NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU
1. Chủ đề phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình
Một trong những yêu cầu đối với học sinh khi giải bài tập toán là
tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho một bài tập. Điều đó cũng đồng thời
kích thích sự hứng thú trong việc học toán của học sinh. Nhiều bài tập cơ
bản thuộc chương trình toán THPT có nhiều lời giải khác nhau như thế.
Nếu giáo viên và học sinh cùng tìm hiểu, khai thác thì sẽ giúp cho việc
dạy học toán được tốt hơn.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm
x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2

Cách 1: Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1  x1  x2
 parabol y  x 2  2mx  m  2 cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lớn hơn 1

b

 y (  2a )  0
m2  m  2  0

 b

 
1
  m  1
 3  m   2
2
a

m2  m  2  0

 m  1

2
m  m  m  2  1 
2
m  1  m  m  2
  m  2

m  1

 m  1  0  3  m  2
m  3


Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 

2
x  x2  x  1  x
3

(1)

Điều kiện: 0  x  1
2

 2

Cách 1: (1)  1 

t2 1
 xx 
2
2

t  1
t2 1
t  
Phương trình trở thành: 1 
3
t  2

12


x 1
 x  1 x 1 
x  0
Cách 3: Đặt a  x ; b  1  x ; a  0, b  0

 2
3  2ab  3(a  b)
1  ab  a  b
Ta có:  3

2
(a  b)  2ab  1
a 2  b 2  1



  0
sin   cos  1
x  0




x 1
 
sin   cos  2


2
Qua ví dụ trên ta có nhiều cách để giải phương trình vô tỉ
Ví dụ 3 :( Câu II.2-A2010) Giải bất phương trình

x x
1  2( x 2  x  1)

1

13

(1)


Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Nhận xét: 2  x 2  x  1 




 x2  2 x x  x  2 x  1  0





2

 x  x 1  0

 x  x 1  0
x



x

Nhận xét

1  5
3 5
x
2
2

3 5
thỏa mãn điều kiện (2) nên đây là nghiệm duy
2


x
x

Ta có bất phương trình

2( y 2  1)  y  1

y 1 0
 2
2
2( y  1)  y  2 y  1
 y  1

 y 1
2
(
y

1)

0

Với y  1 từ đó giải ra được x 

3 5
2

Cách 3: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ta có điều kiện x  (0;1) và (1)  2( x 2  x  1)   x  x  1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky có

Cáh 4: Sử dụng đại lượng liên hợp
Lập luận được x   0;1

(1)  1  2( x 2  x  1)  x  x






2  x 2  x  1  2 x  x  x  1  0

 x  x 1

2( x 2  3x  1)
2  x 2  x  1  2 x

15

0








Nhận xét: x 2  3x  1  ( x  1)2  x  x  x  1 x  3  1 do đó







2 x  x  1

2

 2  x 2  x  1  2 x   2  x 2  x  1  2  2 x 








0

Nhận thấy các nhân tử dưới mẫu và 2  x  x  1 luôn dương với mọi

x   0;1 nên ta có (1) ( x  x  1)2  0 x  x  1  0
x 

3 5
2

Bài tập:
1.


(1)
(2)

 9  x  7
Giải:Điều kiện: 
9  y  7
Cách 1:
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra:

x9  7 y  y9  7 x
x 9  7  y  y 9  7  x
Xét hàm số:
f (t )  t  9  7  t ( 9  t  7 )
1
1
f ' (t ) 

 0 , t  (9;7)
2 t 9 2 7t
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  9; 7 

Từ (*) ta có f  x   f  y   x  y
Thế vào (1) ta thu được phương trình:

x9  7 x 4
 x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
 x7 y 7
  x 2  2 x  63  0  
 x  9  y  9

7  y ) 2  16
7  x ) 2  16
y  2 x  9 7  y  16
y  2 y  9 7  x  16

 x  y  2 x  9 7  y  0

 x  y  2 y  9 7  x  0

2 x9 7 y 2 y9 7 x
 7 x  xy  63  9 y  7 y  xy  63  9 x
đã cho tương đương với phương trình sau:
16 x  16 y  x  y

Thế vào (1) ta thu được phương trình:

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
  x 2  2 x  63  0

x  7
y  7
  x 2  2 x  63  0  

 x  9  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:
 x  9  x  7
;

 y  9  y  7

nên 4  4 (vô lý)

y

9

7

x

4



TH3: Nếu x  y thế vào (1) ta thu được phương trình:

x9  7 x 4

 x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
  x 2  2 x  63  0

x  7
y  7
  x 2  2 x  63  0  

 x  9  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:
 x  9  x  7
;

 (u  v)(u  v)  (z t)(z t)

19

(6)


Từ (5) và (6) ta được:

uv  zt


(u  v)(u  v)  ( z  t )( z  t )
 (u  v)(u  v)  ( z  t )(u  v)
 (u  v)  (u  v)  ( z  t )   0
 (u  v)  ( z  t )  0 (vì u  v  4  0 )
u  z  v t

(7)

Mặt khác từ (5)  u  v  z  t  u  z  t  v

(8)

Từ (7) và (8) suy ra u  z  v  t  t  v  v  t và u  z

 x9  y9

x y
7

Cáh 5:

 x9  7 y  4

Xét hệ phương trình: 


 y 9  7 x  4

Đặt x  m  y
điều kiện tồn tại căn thức là 7  x  m  0, x  m  9  0
Ta thu được hệ phương trình với ẩn m và x :

20

.