TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY
HỌC
•
• MỘT
• SỐ KHÁI NIỆM
•
TRONG MÔN TOÁN THPT
BẰNG CON ĐƯỜNG QUY NẠP

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY
HỌC
•
• MỘT
• SÓ KHÁI NIỆM
•


Tên tôi là: Nguyễn Thị Lý
Sinh viên: Lóp K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2
Tôi xin cam đoan đề tài “Dạy học một số khái niệm trong môn Toán
THPT bằng con đường quy nạp”là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi học hỏi
của bản thân tôi dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Những kết quả nghiên
cứu trong khóa luận chưa từng được công bố tại bất cứ công trình nghiên cứu nào.

Hà Nội, ngày tháng
Sinh viên

Nguyễn Thị Lý

năm


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

GV: Giáo viên
HS: Học sinh
SGKNC: Sách giáo khoa nâng cao


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài:................................................................................................ 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:.......................................................................2
2.1.Mục đích nghiên cứu:.......................................................................................2
2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu:...................................................................................... 3
3. Đối tượng - phạm vi nghiên cứu:......................................................................3


Yêu cầu của dạy học khái niệm:............................................................13


1.6. Các con đường dạy học khái niệm .............................................................. 14
1.7.1. Các giai đoạn chủ yếu của con đường quy n ạp .......................................14
1.7.2. Ưu nhược điểmvà điều kiện hoạt động của con đường quy nạp trong
dạy học khái niệm ................................................................................................ 18
1.11. Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở
THPT......................................................................................................................19
l.ll.lH ệ thống hóa các khái niệm Toán trong SGK ỞTHPT........................... 19
Chương 2.Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học khái niệm ........ 26
toán học ở trường TH PT..................................................................................... 26
2.1. Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến......................26
2.2. Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ................................................ 29
2.Dạy học khái niệm tam thức bậc h a i...............................................................31
2.4. Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng.......................... 34
2.5. Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng........................... 35
2.6. Dạy học khái niệm cấp số cộng....................................................................37
2.7. Dạy học khái niệm cấp số nhân................................................................... 40
2.8. Dạy học khái niệm hàm số liên tục:............................................................44
2.9. Dạy học khái niệm phép biến hình............................................................. 47
2.10. Dạy học khái niệm phép dời h ìn h .............................................................49
2.11. Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song.......................................... 52
2.12. Dạy học khái niệm nguyên hàm ................................................................ 53
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.............................................................................57
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................58


PHẢN MỞ ĐẦU



việc học tập Toán học, tôi cũng tin rằng: "Toán học học được nhờ quá trình
đó sẽ được hiểu tốt hơn và dễ dàng hơn so với việc học được bằng cách thụ
động". Khi xây dựng đề tài này tôi đặc biệt quan tâm tới ý kiến sau đây của
GS. Nguyễn Cảnh Toàn:"Việc dạy Toán chỉ với mục đích truyền thụ kiến thức
sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và xem nhẹ quy nạp.Nhưng nếu đặt vấn đê
rèn luyện óc thông minh sang tạo cho học sinh thì vai trò của quy nạp sẽ lên
ngang với suy diễn”. Hi vọng rằng con đường quy nạp là cầu nối đưa học sinh
tới các khái niệm Toán học một cách dễ dàng hơn.Là một sinh viên sắp ra
trường, với mong muốn nắm vững kiến thức phương pháp, nắm chắc kiến
thức ở bậc THPT tạo tiền đề cho việc sau này dạy học, giúp học sinh không
chỉ giảm bớt những khó khăn mà còn phát huy năng lực hoạt động tích cực
của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung (trừu tượng hóa,
khái quát hóa) và tạo điêu kiện nâng cao tính độc lập khi đưa ra khái niệm
nên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:
“Dạy học một số khái niệm trong môn Toán THPT bằng con đường quy
nạp”.
2. Mục đích,nhiệm vụ nghiên cún:
2.1.Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học khái niệm Toán học theo con đường
quy nạp
+ Trình bày chi tiết, sâu hơn về dạy học khái niệm bằng con đường quy nạp
trong chương trình Toán ở THPT với các ví dụ minh họa rút ra từ thực tế
dạy học.
+ Đe xuất một số tình huống dạy học khái niệm Toán học theo con đường
quy nạp để thấy rõ ưu nhược điểm của con đường này, từ đó áp dụng vào
việc dạy học khái niệm trong nhà trường phố thông, nhằm nâng cao chất
lượng dạy học.


3. Đối tượng - phạm vi nghiên cứu

GVHD: ThS. Dưong Thị Hà

3


3.1 Đối tượng nghiên cứu
3.2 Phạm vi nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Dự kiến cấu trúc khóa luận
Phần nội dung
Chương 1: Cơ sở lý luận
1.1 Khái niệm là gì?
1.2 Vai trò của khái niệm
1.3 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm
1.4 Định nghĩa khái niệm
1.5 Yêu cầu dạy học của khái niệm
1.6 Các con đường dạy học của khái niệm
1.7 Con đường quy nạp
1.8 Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở THPT
Chương 2: Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học một số khái niệm
Toán ở THPT
2.1

Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

2.2

Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

2.11 Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song


2.12 Dạy học khái niệm nguyên hàm
Phần kết luận, khuyến nghị
Tài liệu tham khảo

GVHD: ThS. Dưong Thị Hà

5


PHẦN NỘI DUNG
Chương l:Cơ sở lý luận
1.1. Khái niệm là gì ?
Theo Alain Rieunier (2001):
• Khái niệm là một tư tưởng tổng quát và trừu tượng được gán cho một lóp
các đối tượng và dùng để tổ chức các kiến thức.
Theo Nguyễn Bá Kim:
• Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.
Ngoài ra còn có một số hình thức định nghĩa về khái niệm khác như:
• Khái niệm là một đối tượng, một hình thức cơ bản của tư duy (bao gồm một
ý tưởng, một ý nghĩa của một tên gọi chung trong phạm trù logic, hoặc một
sự suy diễn) phản ánh những thuộc tính chung, bản chất của các đối tượng
sự vật, quá trình, hiện tượng trong tâm lý học và mối liên hệ cơ bản nhất các
đối tượng trong hiện thực khách quan.
• Khái niệm là một hình thức tư duy, có chức năng phản ánh những mối quan
hệ tương đối bền vững và ổn định ở trong mỗi sự vật thể hiện những thuộc
tính, bản chất sự vật ấy.
Khái niệm tuy được diễn đạt không giống nhau nhưng về bản chất là như

suy luận logic. Các khái niệm học trước là cơ sở xây dựng các khái niệm sau,
các khái niệm sau được định nghĩa, minh họa, mô tả nhờ vào các khái niệm học
trước, chúng tạo nên một hệ thốngtrong khoa học toán học mà ta có thể sơ đồ
hóa như sau:

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

1


Hê tiên đê
Logic
—►
Các khái niệm cơ bản
—► (Đoi tượng cơ bản, quan hệ
cơ bản)

Các nhóm tiên đê

—> Các khái niêm khác
(được định nghĩa nhờ
vào các khái niệm cơ bản)

Các đinh lý
(được chứng minh dựa
vàocác tiên đề)

t—

tượng. Neu mất thuộc tính này, thì đối tượng không còn là nó, mà là một đối
tượng khác. Thuộc tính bản chất là điều kiện cần đế xác định đối tượng.
• Thuộc tính bản chất của một khái niệm là thuộc tính chung của mọi đối
tượng được phản ánh trong khái niệm.
• Thuộc tính đặc trung của một khái niệm là thuộc tính mà chỉ có những
đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới có. Thuộc tính này là điều kiện
cần và đủ để xác định đối tượngbản chất của nó.
1.3.2. Nội hàm và ngoạỉ diên của khái niệm
• Nội hàm của một khái niệm là tập hợp tất cả các thuộc tính bản chất của
khái niệm, nghĩa tập hợp tất cả các thuộc tính chung, bản chất của tất cả các đối
tượng được phản ánh trong khái niệm.
• Ngoại diên (phạm vi) của một khái niệm là tập hợp tất cả các đối tượng
có những thuộc tính chung, bản chất được phản ánh trong khái niệm.
Ví dụ: Các thuộc tính sau nằm trong nội hàm của khái niệm hình chóp đều:
+ Hình chóp có đáy là đa giác đều
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
Ngoại diên của khái niệm này là tập hợp tất cả các hình chóp.
• Quan hệ giữa nội hàm và ngoại diên : Nội hàm càng rộng thì ngoại diên
càng hẹp, nội hàm càng hẹp thì ngoại diên càng rộng

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

9


Chẳng hạn,nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình chóp bằng
cách bổ sung đặc điểm “đáy là đa giác đều” ta sẽ được lớp các hình chóp đều là
bộ phận thật sự của hình chóp.
1.4. Định nghĩa khái niệm
1.4.1. Một số hình thức định nghĩa khái niệm


(Def là viết tắt của từ definition - định nghĩa, dùng để phân biệt định nghĩa
với mệnh đề, định lí).
Ví dụ:Định nghĩa khái niệm Lăng trụ đứng
“Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó
vuông góc với đáy”.


Định nghĩa này có thê phát biêu dưới dạng:
Lăng trụ đứng (khái niệm mới)
là hình lăng trụ (khái niệm loại)
có các cạnh bên vuông góc với (khái niệm đặc trưng của
đáy

chủng)

Định nghĩa theo hình thức trên là đi từ khái niệm có ngoại diên rộng hơn
đến khái niệm có ngoại diên hẹp hơn và thường được dùng để định nghĩa các
khái niệm đối tượng.
Ví dụ: Hình hộp — hình lăng trụ^hình lăng trụ đứng—»hình lăng trụ đều
—» hình hộp đứng —» hình hộp chữ nhật—» hình lập phương.
•

Định nghĩa bằng cách nêu rõ thuộc tính đặc trưng của chủng, còn

khái niệm loại chỉ xuất hiện ngầm ẩn
Ví dụ 1: Định nghĩa khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian
“Hai đường thẳng gọi là song song nếu chứng đồng phang và không có
điểm chung”
Các khái niệm về quan hệ như hai đường thắng chéo nhau, hai phương

Tổng quát hơn:
,
lí1=
—Cl
w
trong đó f là môt hàm sô.
u„+1 = /(m 1,m2,....,k„), Vn > 1
ị

•

Định nghĩa bằng quy ước

Vấn đề là nêu lên ý nghĩa của kí hiệu, danh từ mà ta mới đưa vào
Ví dụ: “Cho a là số thực khác 0. Ta định nghĩa a° = 1, a~l = —
a
Với n nguyên dương lớn hơn lta định nghĩa
í IV
a n = ( a xY =
v
d. Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và áp dụng vào thực tiễn.
e. Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

13


Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư
phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ở mức độ như nhau
với mọi khái niệm. Chang hạn, khái niệm về “hướng của vecto” không được nêu
thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan
dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh.
1.6Các con đườngdạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm Toán học có thể được thực hiện theo những con
đường khác nhau. Nhưng nói chung,đa số các khái niệm toán học ở trường phổ
thông, thường được dạy học theo ba con đường cơ bản sau:
+

Con đường suy diễn

+

Con đường quy nạp

+

Con đường kiến thiết

Chú ý: Tên của khái niệm có thể được giáo viên thông báo vào một thời
điểm thích hợp (không cố định): ngay từ đầu, hoặc sau khi học sinh nghiên cứu
các trường hợp cụ thể đã cho,...
Như vậy, mục đích chính của bước này là:
- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm
- Phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm
- Phác thảo định nghĩa khái niệm
• Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức
Trên cơ sở phác thảo định nghĩa của học sinh, giáo viên tổ chức cho họ tìm
cách bổ sung, hoàn chỉnh,sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm
và các kí hiệu liên quan.
• Bước 3: Củng cố và vận dụng khái niệm
Cho các ví dụ, phản ví dụ và các bài tập củng cốkhái niệm. Ngườita cũng
có thể nghiên cứu các thuộc tính (tính chất) khác của khái niệm (thường được
cho dưới dạng định lí, hệ quả,...), hay có thể đưavào các vấn đề trong đó các
khái niệm được coi như là công cụ để giải quyết.
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát hiện được định nghĩa
khái niệm đó. Một khâu quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường được
thực hiện bằng các hoạt động sau đây:
GVHD: ThS. Dương Thị Hà

15


- Nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Hoạt động ngôn ngữ
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa
- Hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm đã học
• Nhận dạng và thế hiện
Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quátrình học

Đe giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý
hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt một định nghĩa dưới nhiều hình
thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân.
• Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho học
sinh.
Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp
tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển
động, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số...
Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa.
• Hệ thong hóa khái niệm và vận dụng khái niệm
Hệ thống hóa khái niệm, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống
khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong
hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý đến quan hệ chủng - loại giữa hai khái niệm.
Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó
vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán
chứng minh. Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp
phần phát triển năng lực giải toán.
Trong hoạt động trên thì hoạt động “nhận dạng và thể hiện” khái niệm có
vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ
trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn trong giai đoạn hình thành khái niệm
và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc
phục chủ nghĩa hình thức trong học tập.
■

Sơ đồ hóa tiến trình:
Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiệnchủ yếu như là đốitượng nghiên

cún. Nó có cơ chế công cụ chỉ ở những thờiđiếm mà ngườita sử dụng nó như là
phương tiện để giải quyết vấn đề.


chế công cụ

1.7.2. Ưu nhược điểm và điều kiện hoạt động của con đường quy nạp trong
dạy học khái niệm
Ưu điểm:
+ Thuận lợi cho việc phát huy hoạt động tích cực của học sinh.
+ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao
tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
Nhược điêm:
+ Tốn kém thời gian vì vậy không phải lúc nào cũng đủ điều kiện thực hiện
được.
Điểu kiện thực hiện: