Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện hoàn thành khóa luận “Phương pháp hình học tổng hợp và
phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình Toán ở trung học
phổ thông ” em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy, cô và bạn bè
trong lớp.
Truớc hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn:
Thạc sĩ Phan Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này!
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các thầy, cô đã giảng dạy em trong
suốt bốn năm hoc. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã đóng
góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em!
Cuối cùng, em xin gửi đến gia đình, bạn bè, những người thân đã dành
cho em những tình cảm tốt đẹp, đã giúp đỡ, động viên em trong suốt khóa học
lòng biết ơn chân thành nhất!
Mặc dù đã cố gắng hoàn thành luận văn với tất cả những nỗ lực của bản
thân, nhưng luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế, những
thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô giáo,
các bạn sinh viên và những ai quan tâm đến nội dung đề cập trong luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20/05/2007
Người thực hiện

Phạm Văn Gia
Phạm Văn Gia

Trang 6


1.2. Các bài toán thiết lập các đường conic ..........................................20
1.3. Một số bài toán giải tích khác ............................................................23
2.Phương pháp hình học tổng hợp ................................................................25
2.1. Tiếp tuyến của 3 đường conic ............................................................26
2.2. Đường thẳng tiếp xúc với 1 conic cố định ......................................33
PHụ LụC : tổ chức ngoại khóa cho học sinh

Phạm Văn Gia

Trang 7


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
về xây dựng định nghĩa các đường cônic

1 .Mục đích............................................................................................................40
2 .Nội dung ............................................................................................................40
3 .Chuẩn bị ............................................................................................................40
4 .Các bước tiến hành ........................................................................................41
5 .Tổng kết ............................................................................................................43

Phần kết luận
1.Kết luận...............................................................................................................44
2.Tài liệu tham khảo ..........................................................................................46

Phạm Văn Gia

Trang 8

Phạm Văn Gia

Trang 9


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình
Toán ở trung học phổ thông”.

Khóa luận này trình bày về việc sử dụng 2 phương pháp :đại số và
hình học tổng hợp để nghiên cứu về định nghĩa và các tính chất của ba
đường conic. Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương và 1 phụ lục:
Chương 1 :Phần một số kiến thức chuẩn bị về conic được
trình bày bằng phương pháp đại số và được bổ sung cho các định
nghĩa, tính chất bằng phương pháp hình học tổng hợp.
Chương 2: Trình bày 1 số bài toán bằng 2 phương pháp đại
số và hình học tổng hợp đối với các đường conic.
Phụ lục :Trình bày dự kiến tổ chức buổi học ngoại khóa về các
đường cônic cho học sinh lớp 10.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Phan
Hồng Trường, người đã giúp em xác định đề tài nghiên cứu, tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ , động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận
này! Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ
Hình học đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em!

Hà Nội, tháng 5 năm 2007

O

M(x;y)

F2

A

x

B’

AA’=2a là trục lớn, BB’=2b là trục nhỏ.Khi đó a 2 =b 2 +c 2
1.1.2.Phương trình chính tắc của elip
Cho elip(E) như trong định nghĩa trên.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là
trung điểm của F 1 F 2 .Trục Oy là đường trung trực của F 1 F 2 và F 1 ,F 2 nằm
trên trục Ox.
Xét điểm M(x;y) trên elip(E) . Khi đó phương trình chính tắc của (E) là:
x2 y2

1
a 2 b2

trong đó a 2 =b 2 +c 2
Phạm Văn Gia

Trang 11


Khoa Toán

e

elip tương ứng với các tiêu điểm F 1 và F 2
1.2.Đường HYPEBOL
1.2.1.Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 ,với F 1 F 2 =2c(c>0). Đường hypebol là
tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2

=2a ,trong đó a là 1số dương cho

trước nhỏ hơn c.
Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.
Hypebol bao gồm 2 nhánh và 2 nhánh này không có điểm chung.

Phạm Văn Gia

Trang 12


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
y
b

A

B



1
a 2 b2

là:

ở đây AB=2a, BC=2b và a 2  b2  c 2
1.2.3.Trục đối xứng và tâm đối xứng của Hypebol
Các đường thẳng chứa trục thực và trục ảo là các trục đối xứng của (H).
O là tâm đối xứng của (H).
1.2.4.Tiếp tuyến của Hypebol
+ Xét điểm M( x 0 ;y 0 ) thuộc (H). Khi đó phương trinh tiếp tuyến của (H)
tại điểm M là :
xo .x yo . y
 2 1
a2
b

+Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với ( E) là:
Phạm Văn Gia

Trang 13


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
A2 a 2  B 2 b2  C 2

1.2.5. Tâm sai và đường chuẩn của Hypebol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F .
Tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và  được gọi là đường Parabol (hay
Parabol)
Điểm F gọi là tiêu điểm của Parabol.
Đường thẳng  gọi là đường chuẩn của parabol
Khoảng cách từ F đến  được gọi là tham số tiêu của parabol.

Phạm Văn Gia

Trang 14


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
y

M

P

O

F

x



1.3.2.Phương trình chính tắc của parabol

Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

2.1.Đường Elip
2.1.1.Định nghĩa:

I
M

F2

F1

F2

-Elip là tập hợp những tâm M của những đường tròn (M) tiếp xúc với 1
đường tròn cố định tâm F1 bán kính 2a, đồng thời (M) đi qua 1 điểm cố định
F2 nằm ở trong đường tròn ( F1 ).

-Giả sử I là tiếp điểm của 2 đường tròn nói trên.Khi đó:
M F1 +M F2 = M F1 +MI (Vì F2  (M))
= F2 I=2a
Theo định nghĩa nói trên thì M nằm trên elip có tiêu điểm là F1 và F2
2.1.2.Định lí
Cho elip (E) có 2 tiêu điểm F1 và F2 , M là 1 điểm nằm trên (E). Khi đó
MF .
tiếp tuyến (d) tại M là đường phân giác ngoài của góc F
1
2


O

F2

A

E

x

+Nếu x 0  0 :
Giả sử tiếp tuyến (d)  Ox=E.Từ (1), ta có: xE  OE 
Ta có: EF2  xF  xE  c 
2

Như vậy

a2
x0

a2
a2
, EF1  xF1  xE  c 
x0
x0

EF2 a 2  c.x0 a(a  ex0 ) MF2



F

2

Ta thấy rằng : MF2  MF1  MF2  (MI  IF1 )  IF1 =2a
Theo định nghĩa của phương pháp giải tích: M nằm trên hypebol có 2 tiêu
điểm là F 1 và F 2
Như vậy định nghĩa theo 2 phương pháp là tương đương nhau.
2.2.2.Định lí
Cho Hypebol (H) có 2 tiêu điểm F 1 và F 2 . Khi đó tiếp tuyến (d) của (H) tại
MF
1 điểm M nằm trên nó là đường phân giác trong của góc F
1
2

(Chứng minh tương tự như đối với elip)

2.3.Đường PARABOL
2.3.1.Định nghĩa
Cho đường tròn (F) tiếp xúc với đường thẳng (d). Khi đó Parabol là tập hợp
tất cả các tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn (F) và đường thẳng (d) tại hai
điểm phân biệt.

Phạm Văn Gia

Trang 18


Khoa Toán


(E), dựng H là hình chiếu của M trên  , khi đó tiếp tuyến (d) tại M là đường

phân giác trong của góc HMF
.

Chứng minh

Phạm Văn Gia

Trang 19


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

y
M

H

E
O

F

x

d


Đpcm.

Phạm Văn Gia

Trang 20


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Chương 2
phương pháp đại số và phương pháp hình học tổng hợp với một số bài toán
về các đường conic
1. Phương pháp đại số với một số bài toán về các đường conic
Những lời giải bằng phương pháp đại số thuần túy thể hiện sức mạnh nội
tại của môn Hình học giải tích và phương pháp tư duy kiểu hình học giải tích.
Trong phần này, ta sẽ xét các dạng bài toán mà sử dụng nhiều đến các tính
chất giải tích của 3 đường conic. Cụ thể là sử dụng đến các phương trình chính
tắc, cũng như các dạng giải tích của các tiếp tuyến của chúng, nó mang nặng
“màu sắc” hình học giải tích theo đúng nghĩa của nó. Sau đây là 1 số dạng toán:
1.1.Tiếp tuyến của các đường conic
Nhận xét: Những bài toán được giải bằng phương pháp đại số thể
hiện lối tư duy theo phương pháp hình học giải tích. Nếu chúng được
giải theo phương pháp hình học tổng hợp thì sẽ rất rắc rối trong việc
quan sát hình vẽ và bài toán đưa ra cũng không có nhiều dữ kiện để
phục vụ cho phương pháp hình hình học tổng hợp. Cho nên trong phần
này các bài toán được đưa ra giải bằng phương pháp đại số là một điều
hợp lí.
x2 y2


F

F’

A

x

1/ Giả sử tiếp tuyến  có phương trình Ax+By+C=0.
Do   At và   A’t’ nên B  0.Ta có

A2a 2  B 2b 2  C 2

(1)
Dễ thấy tung độ của M và M’ đươc xác định theo công thức:
yM 

Do vậy

C  Aa
B

và yM ' 

C  Aa
B

(2)



,

(4)

Thay (1) vào (4) ta có
d(F,  ).d(F’,  ) =
Phạm Văn Gia

A2 a 2  B 2b 2  A 2 c 2
A2  B 2

=

A 2 a 2  B 2b 2  A 2 ( a 2  b 2 )
A2  B 2

=b 2 =const
Trang 22


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
 đpcm.

Nhận xét 1:Trong bài này ta đã sử dụng kiến thức về hình học giải
tích: điều kiện tiếp xúc của 1 đường thẳng với elip và khoảng cách từ 1
điểm tới 1 đường thẳng…Lời giải bằng phương pháp này rất gọn và dễ
hiểu và ta nên sử dụng phương pháp này để giải bài toán trên.

 ' . Gọi  ’ là
Gọi  là tiếp tuyến với(E) ,thì  là phân giác ngoài của FMF
 ' . Do vậy    ' . Theo
tiếp tuyến với(H) ,thì  ’ là phân giác trong của FMF

định nghĩa,(E) và (H) trực giao với nhau.
Điều kiện đủ được chứng minh.
2/Điều kiện cần
Phạm Văn Gia

Trang 23


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Giả sử (E) và (H) trực giao với nhau, Gọi A ( x0 ; y0 ) =(E)  (H).
Khi đó x0 và y 0 là nghiệm của hệ sau:

 x2 y 2
 2  2  1
a
b
 2
2
 x  y 1
 m2 n 2

2 2



vectơ pháp tuyến là: n2  (
Vì (E) và (H) trực giao với nhau nên


(I)

x0
y
;  02 ) .
2
m
n
 
 
n1  n2 hay n1.n2 =0

x02
y02

0
a 2 m2 b 2 n 2

(II)

Từ (I) và (II) ta có:

a 2  b 2  m2  n 2



 1 , N có tọa độ là N( x0 ; y0 ).
a 2 b2

Giả sử (H) có phương trình :
Khi đó phương trình (  ):

 y x 
xo .x yo . y
 2  1 ,  có vecto chỉ phương u =  20 ; 02  .
2
a
b
b a 
y
F
O

x
N

M


N
y0
x
.(x-c)+ 02 .y=0
2
b

a

a 2c
a
(do a 2  b2  c 2 )  x  .
2
c
e

Vậy quỹ tích của M là đường chuẩn của hypebol ứng với tiêu điểm F.

Một số bài tập đề nghị:
Bài 1
Cho parabol y 2 =2px (p>0),M,N,P là 3 điểm nằm trên parabol có tung độ
tương ứng là m, n, p . Các tiếp tuyến với parabol tại M,N,P đôi một cắt nhau
tại A,B,C.
Phạm Văn Gia

Trang 25


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC khi M,N,P di động trên parabol
ĐA:Quỹ tích của trực tâm H là đường chuẩn của của parabol đã cho.
Bài 2: Cho parabol x 2 =2py với tiêu điểm F, d là đường thẳng bất kì qua F và
cắt parabol tại M và N. CMR: tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Bài 3:

Phạm Văn Gia

O

H

F

x

Trang 26


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học
Bài giải

Giả sử M ( x0; y0 ) nằm trên (E). Gọi I( x1 ; y1 ) là tâm đường tròn nội tiếp  MFF ' .
Ta có x1 = OH , ở đây H là hình chiếu của I lên Ox.
Mà OH = OF - HF = OF -HF (1) (vì HF >0 do F luôn nằm ở bên phải H)
1
2

-Đặt p là nửa chu vi  MFF '  p= (MF+MF’+FF”)=a+c ;MF’=a+e x0 ;
Mà HF =p - MF’=c-e x0
Thay HF vào (1) ta được OH = e x0  x1 =

ax
c

c 2  bc 2


 ac

(a  c) y1
c

x0 2 y0 2

1
a 2 b2

(3)
(4)
(5)

bc
nên từ (5) suy ra quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp  MFF '
ac

chính là elip nhận tiêu cự FF’ làm trục lớn ,và có phương trình chính tắc
(5).
Bài 2: Cho elip (E) có phương trình

x2 y2

 1 , (a>b) nhận F và F’
a 2 b2


H

M

A’

A

O

Vì HM  AA’ nên

x

xH = x0

Thay (3) và (2) ta có ( a0 +a) x0 + y 0 y H -a( a0 +a)=0  y0 y H = a 2 - x02
Vì M ( x0; y0 )  (E) nên ta có

x0 2 y0 2

1
a 2 b2
y02
a 2  x02
 2 =
b
a2

Thay (5) vào (4) ta được


Trang 28


Khoa Toán

Luận văn tốt nghiệp đại học

Do a>b nên

a2
> a ,vậy từ (7)  H( xH ; y H ) nằm trên elip nhận AA’ làm
b

trục nhỏ và độ dài trục lớn là

a2
(Trừ ra 2 đỉnh).
b

-Nếu y0 =0 thì xảy ra 2 trường hợp:
+ MA  HA
+ M  A’  H  A’
Nói tóm lại, quỹ tích H là toàn bộ elip cho bởi phương trình (7) trên.
Nhận xét: Những bài toán trên không nên sử dụng phương pháp hình
học tổng hợp để giải bởi vì việc xác định hình dạng của quỹ tích trên là
việc không dễ dàng, ta khó có thể phán đoán ra quỹ tích của chúng.

Một số bài tập đề nghị:
Bài 1:Cho O là 1 điểm cố định trên 1 đường thẳng d cố định ,P,Q theo thứ tự là


1.3.Một số bài toán giải tích khác

x2 y2

 1 , (a>b) nhận F(c;0) và
a 2 b2

Bài 1: Cho elip (E) có phương trình

F’ (-c;0) làm 2 tiêu điểm,AA’ là trục lớn.M là 1 điểm di động trên (E),gọi 
là góc của FM tạo với chiều dương của trục Ox.FM cắt elip tại M’.
1/ Tính độ dài MF theo  ,a,b,c.
2/ CMR:

1
1
=const.

FM F ' M

3/Tìm  để MM’ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
y
M

F’

O


a  c.cos 
a  c.cos(   )

Phạm Văn Gia

Trang 30