Mở ĐầU

1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Toán ở Phổ thông, lượng giác là một trong những kiến
thức cơ bản và quan trọng.
Cuối chương trình lớp 10, học sinh đã được học về phần lượng giác. Kiến
thức cơ bản và đầu tiên học sinh được học đó là: Các công thức biến đổi lượng
giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích,
công thức biến đổi tích thành tổng. Nó có mặt ở hầu hết các phân môn toán như:
Hình học; Đại số; Gải tích;... Và được coi là một trong những nội dung trọng tâm
trong bộ môn toán ở nhà trường phổ thông.
Sang đến lớp 11, học sinh được nghiên cứu thêm một phần quan trọng của
lượng giác nữa đó là phương trình lượng giác, bao gồm: Các phương trình lượng
giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp cùng với cách giải
chúng. Thực tế, những phương trình lượng giác mà chúng ta gặp trong bài tập
cũng như trong các kì thi đều không phải là các phương trình lượng giác đã biết
cách giải. Khi giải các phương trình đó, chúng ta cần phải vận dụng các phép
biến đổi phương trình lượng giác thích hợp để đưa chúng về các phương trình
lượng giác quen thuộc và đã biết cách giải. Để có được lời giải đúng và ngắn gọn,
ngoài việc vận dụng các phép biến đổi phương trình lượng giác thích hợp thì
chúng ta phải nắm vững và sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác.
Vì vậy, xuất phát từ sự say mê của bản thân và với mong muốn có được
kiến thức vững hơn về lượng giác cùng với sự động viên khích lệ của cô giáo Đào
Thị Hoa tôi đã chọn đề tài: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức lượng giác
giải phương trình lượng giác.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tìm hiểu nhiều vấn đề về bài tập toán học và kĩ năng giải bài tập

CHƯƠNG 1. CƠ Sở Lí LUậN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ
ràng, nhưng không thể đạt ngay được.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán
là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một
số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài tập,...
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể: Có một lời giải, không có lời giải hoặc nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài
toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.2. Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán
1.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán
học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ
kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức
đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ
như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân

3


tích, tổng hợp lại để ra các kiến thức mới nữa... Cuối chúng ta đi đến được lời giải
của bài toán.

Bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức
gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán
có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lí. Đặc biệt là việc tổ chức
hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh
tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay
một chương nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống
các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố các
kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
1.2.4. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục đích rất rõ rệt,
vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt
động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người
giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta
phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLYA là
Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải
mọi bài toán. Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu
của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
1.3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán

5


Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho

1.4.1. Bước 1: Tìm hiểu đề.
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi,
biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
1.4.2. Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng
chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất.
Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so
sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
i) Phương pháp đi xuôi
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy luận
hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp tục chọn lọc
trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới.
Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với
kết luận... Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết
luận của bài toán. Khi ấy, ta tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A B
X , trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận.
C D
ii) Phương pháp đi ngược

7

Theo G.POLYA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: Anh có biết
một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?; Đây là một bài toán gần
giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể dùng được nó làm gì
không?; Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài
toán gần giống với nó.
1.4.3. Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
8


Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng
các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của toán học, các mệnh đề toán
học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được - chính là
điều chứng minh được.
1.4.4. Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được
của bài toán.
Tìm các cách giải khác của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải của bài toán sau.
Chứng minh rằng nếu ABC thỏa mãn điều kiện

cos2 A cos2 B 1
(cot 2 A cot 2 B)
2
2
sin A sin B 2

(1)

1

2 1 2 1
2
2
2 sin A
sin A sin B
sin B
2
sin 2 A sin 2 B

1


1

sin 2 A sin 2 B
2 sin 2 A sin 2 B





2

sin2 A sin2 B 4(sin2 A sin2 B) , do sin A,sin B 0
2

sin A sin B 0 sin A sin B A B





2 cos 2 A cos2 B cot 2 A cot 2 B sin 2 A sin 2 B



2 cos2 A cos2 B cos2 A cot 2 B sin 2 A cos2 B cot 2 A sin 2 B

cos 2 A cos2 B cot 2 B sin 2 A cot 2 A sin 2 B





cot 2 A sin 2 A sin 2 B cot 2 B sin 2 B sin 2 A 0
cot 2 A cot 2 B sin 2 A sin 2 B 0

cos2 A cot 2 A sin 2 B cos2 B cot 2 B sin 2 A 0

10


cot 2 A cot 2 B



sin 2 A sin 2 B

cot A cot B

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống.
Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
1.5.2. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong

11


các bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ năng
học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết
các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
i) Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt
chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau: Các hệ
thống số; Hàm số và ánh xạ; Phương trình và bất phương trình; Định nghĩa và
chứng minh toán học; ứng dụng toán học.
ii) Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
iii) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với
việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.


2.2. Các kiến thức cơ bản
2.2.1. Các công thức lượng giác
Công thức cộng
tan tan
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
cot cot 1
cot( )
cot cot
cot cot 1
cot( )
cot cot
tan( )

sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin

Công thức nhân
Công thức góc nhân đôi
sin 2 2sin cos

2 tan
1 tan 2
cot 2 1
cot 2

3cos cos3
cos3
4
3sin sin 3
tan 3
3cos cos3

sin 2

sin 3

14


Công thức biến đổi tích thành tổng

1
cos a cos b cos a b cos(a b)
2
1
sin a sin b cos a b cos(a b)
2
1
sin a cos b sin a b sin(a b)
2
Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
cos
2


2

thì ta có

2t
1 t 2
1 t 2
cos
1 t 2

2t
1 t2
1 t 2
cot
2t

sin

tan

Các công thức khác
sin cos


2 sin
4


sin cos 2 sin



Nếu là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin m thì

x k 2
sin x m
x k 2

k (1),trongđó arc sin m .

Nếu m0; 1 , công thức (1) có thể viết gọn như sau:
sin x 1 x


2

k 2 k

sin x 1 x


2

.

k 2 k

sin x 0 x k k

.

2

5

x

5 6 k 2

k

x
5 6 k 2






sin

6

11
x 6 k10
k
29
x
k10

6


(2), trong đó arccos m.

Nếu m0; 1 , công thức (2) có thể viết gọn như sau:

cos x 1 x k 2 k

.

cos x 1 x k 2 k
cos x 0 x


2

k k

.
.

Từ (2) ta thấy: Nếu , là hai số thực thì
k 2
cos cos
k 2



k .



x 50o 120k

k
o
x 40 120k

x 50o 120k
Vậy nghiệm của phương trình là:
k
o
x 40 120k



.

2.2.2.3. Phương trình tan x m (3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) là: cos x 0 .
Với điều kiện trên thì phương trình (3) luôn có nghiệm với m .
Nếu là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan m thì

17


tan x m x k k

(3) (trong đó arc tan m ).

Từ (3) ta thấy: Nếu và là hai số thực mà tan , tan xác định thì



.

2.2.2.4. Phương trình cot x m (4)
Điều kiện xác định của phương trình (4) là: sin x 0 .
Với điều kiện trên thì phương trình (4) luôn có nghiệm với m .
Nếu là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot m thì

cot x m x k k

(4') (trong đó arc cot m ).

Từ (4) ta thấy: Nếu , là hai số thực mà cot ,cot xác định thì

cot cot k k

.

1
Ví dụ 4: Giải phương trình cot 2 x cot .
3
Hướng dẫn:

1
cot 2 x cot 2 x 1 k k
3
3

x 16 k2 k



sin x 1 2 cos2 x

sin x 1 0
2 0
2 cos2 x 2 0





sin x 1
x


k 2

2



k
cos2 x 2


x k 2

2

4

Ví dụ 6: Giải phương trình 2 cos2 x 3cos x 1 0
Hướng dẫn:
Đặt t cos x 1 t 1 . Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương

t 1
trình 2t 3t 1 0 1
t
2
2

So sánh điều kiện, ta thấy 2 nghiệm t đều thoả mãn.
Với t 1, ta có: cos x 1 x


2

k (k ).

1
1

Với t , ta có: cos x x k 2 (k ).
2
2
3



x 2 k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

sin x

b
a 2 b2

c

cos x

a2 b2

2




a
b

Vì

1 nên tồn tại góc sao cho
2
2
2
2
a b a b
a
b
cos ,

Bước 2: Với cos 0 x k 2 k
2

. Khi đó ta làm như sau:

2t
x
1 t 2
Đặt t tan suy ra sin x
, cos x
2
1 t 2
1 t 2
Khi đó, phương trình (3) có dạng

a

2t
1 t 2

b
c (c b)t 2 2at c b 0 (3)
2
2
1 t
1 t

Giải phương trình (3) theo t , sau đó giải tìm x .
21


Bước 1: Ta thấy a 2 b 2 c 2

3

2

2

1 4 12 1 (luôn đúng).

Bước 2: Chia cả 2 vế của phương trình () cho a 2 b 2 2 , ta được
()

3
1
1
sin x cos x
2
2
2

sin x cos


6

cos x sin


6

x

k 2
3
k
x k 2

22



b
a




x k 2

Vậy nghiệm của phương trình () là:
k
3

x k 2

.

Cách 2
x
Bước 1: Khi cos 0 x k k


2t 1 t 2
1
1 2 3t 2 t

2
2
1 t 1 t
3

1
3

thì tan

x 1


x k 2 k
2
3
3

.



x k 2

Vậy nghiệm của phương trình () là:


sin x cos cos x sin

23

1
3

cos



1

cos k 2
x arcsin
1
3

sin x
cos
k



1
3
x arcsin
cos k 2


.

b) Dạng đặc biệt



sin x cos x 0 x k (k ).
4
sin x cos x 0 x


4

k (k ).

c) Chú ý
Từ cách 1 ta có kết quả sau: a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2
Từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng:

y asin x b cos x, y

asin x b cos x
và phương pháp đánh giá cho một số
c sin x d cos x

phương trình lượng giác.
2.2.3.4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
a) Định nghĩa
Phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d (4) trong đó a, b, c, d
được gọi là phương trình bậc hai đối với sin x,cos x .






Ví dụ 8: Giải phương trình 2sin 2 x 3 3 sin x cos x





3 1 cos2 x 1 .

Hướng dẫn:
Cách 1
Bước 1: Ta thấy, khi cos x 0 thì sin x 1 nên dễ thấy các giá trị của x mà
cos x 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Bước 2: Vì cos x 0 nên ta chia cả hai vế của phương trình đã cho cho cos2 x .
Khi đó, ta được phương trình tương đương
2

sin2 x
cos2 x



sin x

cos