TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG
MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ
KHÂU SUY ĐOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

••••

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2015

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã
định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi nhũng hạn chế và còn
có nhiều thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.


Em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5 thảng 5 năm 2015 Sinh viên
LỜI CẢM
Nguyễn Thị Thảo

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với


Học sinh

3

THPT

Trung học phô thông

4

pp

Phương pháp

5

Đpcm

Điêu phải chứng minh

6

(c.g.c)

Cạnh - góc - cạnh

7

SGK


Mặt phăng


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc tổ chức học sinh hoạt động học tập để từ đó học sinh lĩnh hội và vận
dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm ở nhà trường phổ thông.
Cùng với khái niệm, định lí là một đối tượng mấu chốt của dạy học toán
học, tạo thành nội dung cơ bản của môn toán cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn,
đặc biệt là khả năng suy luận chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức.
Con đường hình thành định lí cho học sinh để từ đó học sinh phát hiện nội
dung định lí và chúng minh là một vấn đề quan trọng, những định lí là những công
cụ không thể thiếu được trong hoạt động chứng minh, cũng như giải toán. Đối với
học sinh nói chung, việc lĩnh hội kiến thức định lí còn gặp nhiều khó khăn và hạn
chế.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp dạy
học được giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dụng nhung tùy vào phương pháp sử
dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát triển của trí
tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ hành
vi mà học sinh lĩnh hội.
Trong quá trình nghiên cún em thấy một trong nhũng cách dạy học giúp học
sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề,
khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát
triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy học
định lí bằng con đường có khâu suy đoán.
Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một số

định lí trong môn toán THPT bằng con đuxmg có khâu suy đoán.”

Thế nào là định lí?
Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:

-

“Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó được khẳng định hay phủ định qua
chứng minh.” (Từ điển toán học, NXB khoa học và kĩ thuật 1993)

-

“Mệnh đề toán học đã được chúng minh.” (Le Petit larousse, NXB Larouss Bordas 1999)
Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định lí
được hiểu là một mệnh đề đã được chúng minh là đúng.
Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí thường
được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới một cái nhãn
“định lí”.
VD1: Định lí sin


“Trong tam giác ABC bất kì với BC = A,AC = B,AB = C và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
A _ B _ C „ sinA sin B
sinC
Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng minh là
đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí.
VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến đổi

tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,...
Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là nhũng cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công

Tóm lại: Mỗi một mệnh đề toán học biểu thị tính chất của đối tượng toán
học mà tính chân thực của nó đã được chứng minh là đúng gọi là định lí.
1.1.2
-

Yêu cầu dạy học định lí

Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề
trong thực tiễn.

-

Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh
định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán
học.

-

Học sinh hình thành và phát triến năng lực chúng minh toán học, tù’ chỗ hiểu
chúng minh, trình bày lại được chúng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy
nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.

-

Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn
toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện khả năng này.

1.1.3


suy diễn dẫn logic dẫn tới định lí.
+ Phát biểu định lí +
Vận dụng định lí +
Củng cố định lí
-

Sự khác biệt giữa hai con đường này là: Theo con đường có khâu

suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con
đường có khâu suy diễn hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy từng nội dung


cụ thể của tùng định lí mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.
Sau đây ta tìm hiểu rõ hơn về con đường có khâu suy đoán.
1.2.

Con đường có khâu suy đoán

1.2.1.

Các định nghĩa, các cách hiếu về con đường

này Theo phương pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một nhu
cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên dẫn dắt
học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp không hoàn
toàn, lật ngược vấn đề,... từ đó đi đến một định lí tường minh hay một sự hiểu biết
về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên quan


Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán

1.3.1.

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

- Học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ toán học.
VD1: Định lí cosin
Vẽ lên bảng một tam giác A ABC vuông tại A , có các cạnh tương ứng là AB
= C, AC = B, BC = A.
GV: Ta đã biết công thức nào tính độ dài cạnh BC theo hai cạnh kia ?
HS: Định lí Pytago A 2 =B 2 +C 2
GV: Như vậy khi biết A là góc vuông, và biết độ dài hai cạnh kề thì ta có
thể tính được cạnh còn lại. Neu, vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề
của nó, nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba hay
không?
- Đưa ra một số tình huống có vấn đề bằng tương tự hóa, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề,... mà cách giải quyết của nó chính là nội dung định lí.
VD2: Trong mặt phang, đường thẳng có ba dạng phương trình khác nhau
như sau:

, \x = x ữ +at
+ Phương trình tham sô:

thuộc,...
VD1: Quan sát thực nghiệm định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
GV: Quan sát chiếc tay lái vô lăng trên tay người lái xe thì ta thấy khi tay lái
xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A,B trên tay người lái cũng quay theo.
Khi đó vị trí của hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm A,B có
thay đổi không?
HS: Vị trí hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm không
thay đổi.
GV: Đây cũng chính là nội dung định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
VD2: Dự đoán bằng tương tự hóa “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song

với mặt phang thứ ba thì song song với nhau.”
Định lí “Neu hai đường thắng cùng song song với một đường thắng thứ ba
thì chúng song song.”
Tương tự, nếu hai mặt phang cùng song song với một mặt phang thứ ba thì
chúng song song với nhau hay không?
Khi trình bày xong một dự đoán học sinh đúng trước hai câu hỏi cần trả lời
(hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách khác học


sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không chắc chắn về
mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc chắn này là động
cơ đê học sinh hình thành những phép thử những mò mẫm,... Đó chính là cơ hội
để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng nghiên cún khoa học.
1.3.3.
-

Chửng minh định lí

Gợi động cơ chứng minh

đoạn
Các quy tắc phản chứng: A^>C
X í ,, ,
ẤA
= >=>
£ AB\B
^ > ~Ã
B A CA Vjc,A(x) 3jc,A(x)
Một sô quy tăc khác: =-----= ;------------—; _ ’llU;—’
£=>A
A=>z?
3x,A(x) Vx,A(x)

Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên
hướng dẫn học sinh phân tích các bước qua phép chứng minh, trình bày các


bước đó qua căn cứ suy luận để học sinh nhận biết và hiểu rõ đã dùng các kết luận
quy tắc logic như thế nào? Mỗi lần sử dụng định nghĩa định lí là một lần sử dụng
quy tắc kết luận logic.
VD3: Đinh lí “Neu một đường thẳng D và mặt phang (P ) cùng vuông góc
với một đường thẳng À thì đường thẳng D song song với mặt phang (P ) hoặc nằm
trong mặt phẳng (P )
Phép chứng minh thường được trình bày tóm tắt như sau: Nếu D và (P) có
một điểm chung D thì ta vẽ thêm một đường thẳng D' nằm trong (P) và đi qua
D . Theo định lí đã biết (Q) trùng (P) . Từ đó suy ra D nằm trong (P ).

Ta phân tích phép chứng minh thành các bước:
Bước 1: Neu D và (P) không có điểm chung thì theo định nghĩa đường
thẳng song song với mặp phang, D LL(P ).


Nói đúnghơn ta thường

(suy ngược tiến)

B N = A (suy ngược lùi)

dùng phép suy ngược lùi (kết họp

ngược tiến) để tìmra phương pháp chúng minh và dùng phương

với suy

pháp

suy

xuôi để trình bày chứng minh.
Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào
đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là một phép
chúng minh như suy xuôi, suy ngược lùi.
VD5: Chứng minh rằng: “Neu trong tứ diện ABCD có AB _L CD và AC _L
BD thì AD±BCR

* Chủng minh bang phương pháp suy

c



B3: Ket luận P(N ) đúng với \/N>A.
VD6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N > 3 ta luôn có:
2" >2/1 + 1 (1)
-

Với N = 3 ta có: 23 >2.3 + 1 đúng. Vậy (1) đúng với n = 3.

-

Giả sử (1) đúng với N = K >3,K

-

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với N = K + \

tức là 2 K > 2K + 1 là đúng.

Nghĩa là cần chúng minh 2/c+1 > 2(K +1) +1 hay 2 K + ] >2K + 3
-

Thật vậy ta có: 2*> 2k + \^> 2 k+ ' > 4k + 2 = 2k + 2k + 2 > 2k + 3 (đpcm)
Kết luận 2" >2N + L với N> 3.

* Chứng minh bang phản chứng


Đe chứng minh mệnh đề Л đúng (nghĩa là chứng minh A là sai) thì ta
giả sử ngược lại Л sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn tới
mâu thuẫn. Như vậy A phải sai, nghĩa là A đúng, ta làm theo các bước:
В1 : Giả sử A sai (nghĩa là A đúng)

-4ac
=

Ta giả sử ngược lại, phương trình
không có hai nghiệm phân biệt. Từ đó suy ra
A< 0
A < 0 =>«./(«:)> 0 với Vjc . Điều này

mâu thuẫn với giả thiết a.f(a)< 0 Vậy
phương trình có hai nghiệm XỊ,X 2 (x,
a.f(a) > 0 trái
với giả thiết.
Vậy jCj < A < X 2 .
* Chứng minh loại dần
VD9: Chứng minh loại dần định lí đảo

về dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc
hai F(X) = AX 2 +BX + C,(A ^0) có ba
trường họp xảy ra À > 0, A = 0, A < 0.
TH1: À = 0 => A.F(A ) > 0 với Vx.
Nhưng theo giả thiết có A mà A.F(A)
< 0 trái với giả thiết. Vậy trường hợp này

không xảy ra.
TH2: A < 0 => A.F(A ) > 0 với Vx.


Nhưng theo giả thiết có A mà A.F(A)

Luận cứ
Hăng đăng thức:

(A-BÝ >0, VA,B >

A 2 - 2AB + B 2 > 0,

0

\/A,B> 0

A 2 -2AB + B 2 >0,

A 2 + 2AB + B 2 > 4AB , Tính chất bất đẳng thức: A >

\/A,B > 0

\/A,B> 0
A + B>2\[ÃB, \/A,B> 0

2

A +2AB + B 2
>4AB , \/A,B>0

VA,B > 0

B nên A + C > B + c
Tính chât: Nêu A,B không
âm và A > B thì

GV có thể hỏi một cách có dụng ý
những chỉ dẫn bằng các câu hỏi:
Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài
toán. Những khả năng nào có thể xảy ra.
Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể
biến đổi như thế nào?
Từ giả thiết suy ra được điều gì?
Những định lí nào có thể giống hoặc gần
giống với giả thiết?
Ket luận nói gì? Điều đó còn có thể
phát biểu như thế nào?
Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?


Có cần kẻ thêm đường phụ hay
không?
- Phân bậc hoạt động chúng minh
theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập của hoạt
động của học sinh.
+ Hiểu chứng minh.
+ Trình bày lại được chứng minh.
+ Độc lập tiến hành chứng minh.
Sự phân bậc hoạt động có thể được
dùng để dạy học phân hóa nội tại (tức là dạy
học phân hóa trong nội bộ một lóp học
thống nhất) theo cách cho những học sinh
thuộc những loại trình độ khác nhau đồng
thời thực hiện những hoạt động đó cùng một
nội dung nhưng trải qua hoặc ở mức độ yêu
cầu khác khác nhau.

những định lí.
Nhận dạng và thể hiện định lí: Đây là
hai hoạt động theo chiều trái ngược nhau có
tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho
việc vận dụng định lí.
+ Nhận dạng: Xem xét xem một tình
huống cho trước có ăn khớp với định lí đó
hay không?
VD1: Nhận dạng định lí “Nếu một

mặt phang chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.
B


Cho hình chóp S.ABCD với đường cao SH ,
kí hiệu SK là một đường cao của tam giác
ASAB.

a)

Phải chăng mặt phẳng (SAH )

vuông góc với mặt phang (ABCD ).
b) Phải chăng mặt phang (SAK )
vuông góc với mặt phẳng (ABCD ).
+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống
phù họp với nội dung định lí đã cho.


tam
giác

B