PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phát triển trí tuệ cho HS Tiểu học là một trong những vấn đề được quan
tâm hàng đầu của hầu hết các quốc gia, của nhà trường, của các bậc cha mẹ và
các thầy cô giáo. Cùng với tất cả các môn học trong chiến lược “Giáo dục
toàn diện”, có thể nói toán học đóng vai trò hết sức quan trọng. Chính vì vậy
nội dung toán học ở Tiểu học được xây dựng nhằm góp phần hình thành và
phát triển những cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người. Các
kiến thức, kĩ năng của toán có rất nhiều ứng dụng trong đời sống. Toán học
giúp HS nhận biết mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế
giới hiện thực. Nhờ đó HS nhận biết một số mặt của thế giới xung quanh và
biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Đồng thời, môn toán góp
phần vào việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề,
góp phần phát triển trí thông minh, cách suy ngĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo.
Nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất quan trọng của người lao
động như: cần cù, cẩn thận, chính xác, có ý thức vượt khó, làm việc có kế
hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học.
Như vậy, môn toán ở Tiểu học không chỉ rèn luyện cho các em đơn
thuần là khả năng tính toán, mà chủ yếu rèn cho các em năng lực tư duy.
Chính bởi sự tư duy sâu sắc mà các em mới có thể nhạy bén hơn trong quá
trình học tập nhiều môn học khác và khi tham gia các hoạt động thực tế. Rèn
luyện toán học không có nghĩa đơn giản là rèn luyện cho các em trở thành
những nhà Toán học, những bậc thầy trong giải toán mà đơn giản chính là rèn
luyện tư duy để các em trở nên linh hoạt hơn khi tiếp cận những vấn đề trong
đời sống hằng ngày.
Mặt khác, nội dung hình học ở Tiểu học là bộ phận cấu thành có khả
năng phát triển năng lực trí tuệ và năng lực tư duy mạnh mẽ nhất cho HS tiểu

1



luận hay hệ quả logic.
- Ta kí hiệu:
X X 2 ……X n ⇒Y là một suy luận rút ra từ mệnh đề lớn; Y là kết luận.

 Nếu X X 2 ……X n ⇒Y là hằng đúng thì ta bảo đó là hợp logic, Y được
1

1

gọi là kết luận logic hay hệ quả logic.
Từ định nghĩa ta thấy: Nếu X X 2 ……X n =1 và suy luận là hợp logic
1

thì Y=1
Nếu X X 2 ……X n = 0 và suy luận là hợp logic thì ta chưa thể có kết
1

luận gì về Y. Kết luận được rút ra có thể đúng và cũng có thể là sai.
Nếu tồn tại bộ giá trị của (X X 2 ……X n , Y) mà X X 2 ……X n ⇒Y
1

1

nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận không phù hợp logic hay suy luận sai.
 Một suy luận hợp logic là một quy luật logic thường kí hiệu là
X 1 X 2 ....... X n
Y

hay :


A
A

b.2 Căn cứ vào tính chất đúng sai của mệnh đề mới
- Suy luận theo quy tắc chung, tổng quát xuất phát từ các tiền đề đúng
được gọi là suy luận chứng minh. Kết luận của suy luận chứng minh chắc
chắn đúng.
- Suy luận mà kết luận rút ra chỉ có tính ước đoán gọi là suy luận có lí.
Bao gồm: suy luận quy nạp không hoàn toàn, phép tương tự hoá, khái quát
hoá.
b.3 Căn cứ vào kết luận hay tính chất suy luận
Dựa vào kết luận (hay tính chất suy luận) của các mệnh đề, ta phân ra
loại suy luận suy diễn và suy luận suy đoán (phép quy nạp).

4


- Suy diễn: là suy luận theo quy tắc, đi từ cái chung tổng quát đến cái
riêng, cái cần chứng minh.
- Suy luận quy nạp: đi từ cái riêng, cụ thể đến cái chung. Kết luận của
suy luận quy nạp chỉ mang tính chất ước đoán. Người ta thường gọi các suy
luận này là phép suy đoán.
Ta xét hai phép suy luận được áp dụng phổ biến trong dạy học toán ở
bậc Tiểu học là suy luận suy diễn và suy luận quy nạp.
1.2 Hai loại suy luận, suy đoán và suy diễn
a. Suy luận suy đoán (phép quy nạp)
a.1 Khái niệm
Người ta gọi phép suy đoán là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết
luận chung, từ cái ít tổng quát tới cái tổng quát hơn; phép suy luận không tuân
theo quy tắc chung cho quá trình suy luận mà chỉ dựa trên cơ sở quan sát và

5, 35  5…nếu ta rút ra kết luận : “Mọi số tự nhiên có tận cùng là 5 đều chia
hết cho 5” thì có nghĩa là ta đã dùng phép suy luận không hoàn toàn.(2)
Trong dạy học toán 5, khi học về số thập phân; dựa vào một số trường
hợp cụ thể như:
3 : 0,5 = 6
7 : 0,5 = 14
9 : 0,5 = 18
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nhận xét “Thương gấp đôi số bị
chia”. Từ đó rút ra quy tắc chung : “Muốn chia một số cho 5 ta chỉ cẩn gấp
đôi số đó”. Như thế là ta đã dạy học sinh “Quy tắc chia nhẩm một số cho
0,5”(3)

6


Ở ví dụ (1), các tiền đề là hằng đúng, tuy nhiên kết luận không hợp
logic vì kết luận được rút ra khi chưa khảo sát tất cả các trường hợp. Vì vậy
suy luận là chưa đúng (giá trị của Y bằng 0).
Trong ví dụ (2) (3) các tiền đề là hằng đúng và có kết luận hợp logic đi
từ các hằng đúng cụ thể đến kết luận tổng quát (có giá trị bằng 1) nên suy luận
là một suy đoán hợp logic.
(2) Quy nạp hoàn toàn
Định nghĩa:
Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được
rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Vì kết luận được rút
ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp nên kết luận của phép quy nạp
hoàn toàn có độ chính xác cao hơn so với phép quy nạp không hoàn toàn.
Các ví dụ:
Từ ví dụ (1) nếu ta rút ra kết luận : “Trong phạm vi 50 số tự nhiên đầu
tiên, các số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5” thì ta đã dùng phép quy nạp

- Sau đó hướng dẫn học sinh nhận xét như sau:
+ Mỗi hàng có 4 ô vuông
+ Có 3 hàng, vậy có tất cả: 4 × 3 = 12 (ô vuông)
Vậy diện tích hình chữ nhật là: 12 cm 2
12 là tích của: chiều dài nhân chiều rộng và bằng:
3 × 4 = 12 (cm 2 )
- Vì 4 cm là chiều dài, 3 cm là chiều rộng của hình chữ nhật nên từ ví
dụ trên ta hướng dẫn cho học sinh tự rút ra quy tắc (chung) : “Muốn tính diện
tích hình chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng.”(cùng đơn vị đo)
⇒Như vậy ta đã sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn để dạy học
sinh “Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật.”
Ngoài phép quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn) trong toán học còn
hay sử dụng các phép suy đoán như: phép tương tự, phép khái quát hóa.

8


b. Suy diễn
b.1 Định nghĩa: Suy diễn là suy luận hợp logic, đi từ cái đúng chung đến kết
luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát.
b.2 Đặc trưng
- Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề
đúng đã có được thực hiện theo các quy tắc logic.
- Kết luận có tính ước đoán, có thể đúng, có thể sai.
- Suy luận tuân theo các quy tắc, khẳng định rằng nếu tiền đề mà đúng
thì kết luận cũng đúng. Trong trường hợp đó phép suy luận gọi là suy luận
chứng minh.
- Là phép suy luận có ý nghĩa to lớn trong sáng tạo toán học, trong dạy
và học ở trường phổ thông.
Ta đi xét 2 trường hợp đặc biệt của suy diễn, đó là 2 phép chứng minh

Các ví dụ
Ví dụ 1: Ta xét một bài toán lớp 5: “Một tổ kĩ thuật cấy lúa trên một
thửa ruộng hình thang có đáy nhỏ dài 50 m, đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m và
chiều cao bằng

1
của tổng độ dài hai đáy. Cứ 1 dam 2 thì thu được 36 kg thóc
4

khô. Tính xem thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu thóc?”
Với bài toán trên, ta có thể hướng dẫn học sinh suy luận theo lối tổng
hợp sau:
- Bài toán cho đáy nhỏ dài 50 m, đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m, vậy
ta có thể suy ra độ dài đáy lớn là : 50 m + 28 m.
- Bài toán cho chiều cao bằng

1
tổng độ dài hai đáy. Biết đáy nhỏ,
4

tính đáy lớn rồi ta sẽ tìm được tổng hai đáy rồi suy ra suy ra chiều cao.
- Đã có độ dài hai đáy và chiều cao, vậy ta có thể tìm được diện tích
- Bài toán đã cho 1 dam 2 thì thu được 36 kg thóc, vậy ta tính được sản
lượng thóc (theo diện tích vừa tính được).

10


* Nói cách khác ta có thể giải bài toán đã cho và trình bày theo đường lối
tổng hợp như sau:


11


- Tuy nhiên phương pháp này khá dài dòng, mất nhiều thời gian vì
thường từ mệnh đề đã chọn làm mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh
đề khác nhau làm tiền đề logic của nó.
- Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi
trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học
toán ở trường tiểu học cũng như các trường phổ thông.
Các ví dụ
- Ta lại xét ví dụ bài toán về tìm sản lượng thóc. Cũng bài toán này,
thay bằng chứng minh tổng hợp – nếu hướng dẫn học sinh làm theo hướng
phân tích đi lên thì giáo viên sẽ làm như sau:
+ Bài toán hỏi số thóc thu được ở thửa ruộng hình thang. Muốn tìm sản
lượng thóc ta phải biết năng suất và diện tích. Đề bài toán đã cho năng suất là
36 kg mỗi dam 2 nhưng chưa cho diện tích.
+ Muốn tìm diện tích hình thang ta phải biết đáy nhỏ, đáy lớn và chiều
cao. Đề bài toán cho độ dài đáy nhỏ (50 m) nhưng chưa cho độ dài đáy lớn và
chiều cao.
+ Muốn tìm đáy lớn, biết đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m, ta làm phép
cộng.
+ Muốn tìm chiều cao, biết chiều cao bằng

1
tổng độ dài hai đáy. Ta
4

tính tổng độ dài 2 đáy rồi chia cho 4.
- Từ phân tích trên có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ sau:

So sánh hai phương pháp, ta thấy:
- Phương pháp tổng hợp rõ ràng, sáng sủa, gọn gàng và có hệ thống tốt
hơn. Các chứng minh trong sách thường được trình bày theo hướng này.
Tuy nhiên, phương pháp tổng hợp có nhược điểm là không nêu rõ lí do
của mỗi việc làm. Khi theo dõi bài giảng (trình bày theo đường lối tổng hợp)
thì các em sẽ không rõ mục đích của mỗi việc làm.
- Còn phương pháp phân tích thì ngược lại, học sinh luôn hiểu rõ lí do
của mỗi việc mình làm (vì sao phải chọn phép tính này mà không chọn phép
tính kia?). Như vậy, suy nghĩ luôn có phương hướng xác định, tính tích cực,
chủ động được phát huy. Tuy nhiên, bài giảng thường dài hơn, tốn nhiều thời
gian hơn.
- Vì các ưu nhược điểm trên nên giáo viên phải khéo léo kết hợp để bảo
đảm sự cân đối giữa hai phương pháp trong lúc giảng dạy.

13


+ Khi muốn suy nghĩ để tìm ra cách giải thì ta thường dùng lối phân
tích.
+ Khi đã tìm ra cách giải rồi, muốn trình bày hoặc viết bài giải của bài
toán ra thì thường dùng lối tổng hợp.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1 Đặc điểm tư duy của HS Tiểu học
Nhìn chung, ở HS Tiểu học nhất là học sinh lớp dưới hệ thống tín hiệu
thứ nhất còn chiếm ưu thế so với hệ thống tín hiệu thứ hai, do đó các em rất
nhạy cảm với các tác động bên ngoài, điều này phản ánh trong nhiều hoạt
động nhận thức của học sinh Tiểu học.
Khả năng phân tích kém nên các em thường tri giác tổng thể. Tri giác
không gian chịu nhiều tác động của trường tri giác, gây ra các “biến dạng”,
các “ảo giác”. Tri giác thời gian của học sinh lớp dưới thường mang tính trực

toán nói chung và hình học nói riêng rất có ích trong việc phát triển tư duy
của học sinh.
Cũng giống như các hình thức tư duy khác, tư duy toán học cũng được
thực hiện thông qua các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
hóa, khái quát hóa. Các thao tác này vừa tách bạch, vừa bổ sung cho nhau,
thống nhất với nhau trong một quá trình tư duy.
2.3 Việc dạy và học hình học ở Tiểu học
Các kiến thức hình học ở Tiểu học được phát triển dần qua từng thời kì;
từ việc quan sát trực quan đến việc nghiên cứu không gian vật lí của các hình
hình học đó. Do vậy, ở Tiểu học, khi học hình học vẫn dựa trên cơ sở trực
giác, chưa đòi hỏi phải có lập luận chặt chẽ. Các em vẫn cần phải được thao
tác trên đồ vật, thu thập thông tin thông qua các giác quan, sau đó mô tả lại.
Tất nhiên, vẫn phải yêu cầu học sinh nhận ra được các tính chất để nhận dạng
nhưng không nhất thiết phải thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố với

15


nhau. Liền với đó cũng yêu cầu HS phải nắm được hệ thống đo lường và
những cách tính chu vi, diện tích, thể tích của các hình. Như vậy, việc dạy các
yếu tố hình học ở Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho HS những
hiểu biết cần thiết về hình dạng, vị trí, kích thước của các vật trong không
gian, đồng thời chuẩn bị cho việc học hình học ở các lớp trên.
Các bài tập hình học ở Tiểu học rất đa dạng và phong phú. Có nhiểu bài
nhằm rèn luyện khả năng tính toán chu vi, diện tích, thể tích…dựa vào những
công thức có sẵn; và cũng có những bài toán khó giúp HS có điều kiện phát
triển trí thông minh, óc sáng tạo, phát triển tư duy logic. Đối với học sinh khá
giỏi, để tạo điều kiện cho các em phát huy hết khả năng của mình thông qua
các bài toán hình học nâng cao là một việc làm hết sức cần thiết.
Dạy học các yếu tố hình học nói chung bao gồm các mảng kiến thức

- HS biết: vẽ hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song,
vẽ hình chữ nhật, hình vuông; biết tính diện tích hình bình hành, diện tích
hình thoi. (Toán 4)
- HS biết: Tính diện tích hình tam giác, diện tích hình thang, tính chu vi
và diện tích hình tròn; tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích
hình hộp chữ nhật, hình lập phương. (Toán 5)
 Ý nghĩa của việc dạy học các YTHH trong Toán 4, Toán 5
- Toán 4 cung cấp cho học sinh một số kiến thức và kĩ năng cơ bản về
các YTHH phẳng tạo tiền đề cho học sinh bước vào giai đoạn học tập ở mức
cao hơn. Kiến thức về các YTHH giúp HS nhận thức thế giới xung quanh,
giải quyết các vấn đề liên quan thường gặp trong cuộc sống tốt hơn.
- Mạch kiến thức về các YTHH trong môn Toán 5 cung cấp cho học
sinh những kiến thức, kĩ năng về hình học phẳng và một số các kiến thức mở
đầu về hình khối. Từ đó HS nhìn khái quát, toàn diện về các YTHH trong
toàn cấp để chuẩn bị bước vào cấp học cao hơn.

17


- Nội dung của cả hai mạch kiến thức về các YTHH trong Toán 4, Toán
5 đều có sự hỗ trợ tích cực cho nội dung của các mảng kiến thức khác trong
toán học. Mảng các YTHH cùng với các mảng kiến thức số học, đại lượng và
đo đại lượng, giải toán có lời văn tạo sự thống nhất chặt chẽ trong môn toán.
+ Ví dụ như khi vận dụng các công thức để tính chu vi, diện tích các
hình, HS được củng cố các kiến thức về biểu thức có chứa chữ và kĩ năng
thực hiện phép tính.
+ Hoặc khi giải các bài toán có nội dung hình học các em được củng cố
kĩ năng về các số đo đại lượng (đổi các số đo, thực hiện phép tính trên các số
đo). Mặt khác, các em còn được rèn luyện kĩ năng giải toán và trình bày bài
toán có lời văn.

tích các hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và hình thoi.
- Trong Toán lớp 5 nội dung các bài toán về tính chu vi, diện tích các
hình tròn (hay các hình vuông, hình chữ nhật được học ở các lớp dưới), hình
tam giác, hình thang; bài toán về diện tích xung quanh và diện tích toàn phần,
thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
Lưu ý
- Khi giải các bài toán có “nội dung hình học” ta cũng phải qua các
bước giải như giải một bài toán có lời văn. Tuy nhiên do đặc thù là những
bài toán “có nội dung hình học” mà khi hướng dẫn học sinh giải toán giáo
viên cần lưu ý một số đặc điểm sau:
+ Đối với các bài toán hình học khi giải chỉ chỉ cần áp dụng công thức
để tính (chu vi, diện tích, thể tích của hình) thì không cần phải vẽ hình đó vào
bài làm.
+ Đối với các bài toán có minh họa kèm theo (để làm rõ đề bài giúp HS
tưởng tượng thuận lợi hơn khi làm bài) thì học sinh không phải vẽ vào bài làm
mà chỉ cần quan sát để làm bài, vì đó thường là những hình vẽ khó.

19


+ Đối với một số bài toán yêu cầu vẽ hình thì HS bắt buộc phải vẽ hình
vào bài làm.
+ HS không phải viết các bước tính trung gian (sau câu giải của bài
toán) trong khi giải hay áp dụng công thức tính các đại lượng hình hình học
cũng như tính giá trị biểu thức.
+ Giáo viên cũng cần lưu ý cho HS thói quen chuyển đổi về cùng một
đơn vị đo trước khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể tích và xem
kĩ yêu cầu đề bài ứng với kết quả tính phù hợp.
Các bài toán có nội dung hình học không giống bất cứ dạng toán cơ bản
nào, các bài toán này được giải và trình bày theo cách riêng. Khi GV hướng

Trong giới hạn nghiên cứu của đề tài, tôi xin đi sâu vào phương pháp
có thể áp dụng một cách triệt để hướng phân tích đi lên trong giải toán, đó là
phương pháp diện tích.
Phương pháp diện tích là phương pháp giải các bài tập liên quan tới
diện tích các hình. Khi giải các bài tập dạng này ta thường:
- Vận dụng công thức tính diện tích các hình bằng cách: áp dụng trực
tiếp công thức tính diện tích diện tích khi đã biết độ dài các đoạn thẳng là các
thành phần của công thức tính diện tích hoặc nhờ công thức tính diện tích mà
tính độ dài của một đoạn thẳng là yếu tố của hình.
- Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, người ta có thể dung tỉ
số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích như một phương tiện để giải
toán, giải tích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài
đoạn thẳng, về diện tích. Điều này thường được thể hiện dưới các hình thức
sau (đối với hình tam giác):
+ Khi diện tích không đổi thì chiều cao và hai đáy là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau.
+ Khi độ dài đáy không đổi thì chiều cao và dện tích là hai đại lượng tỉ lệ
nhịch với nhau.

21


+ Khi chiều cao không đổi thì diện tích và độ dài đáy tỉ lệ thuận với
nhau.
Đối với một số hình đa giác khác tam giác ta cũng có thể dung tỉ số dưới
những biểu hiện tương tự.
- Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích tổng
hợp trên hình.
Có những bài toán diện tích đa giác đòi hỏi phải biết vận dụng các thao
tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện

h
S = (a + b) × h : 2
Chú ý: Trong mỗi công thức tính diện tích như trên, các đại lượng được tính
trên cùng một hệ thống đơn vị đo.
2. Hệ thống bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích 24

2

và cạnh AB dài 16m, cạnh AC

dài 10m. Kéo dài hai cạnh AB và AC về phía B và C, trên đó lấy BM = CN =
2m. Tính diện tích tam giác AMN?

N

K

2m
C
10 m

A

16 m

H

B 2m


, AB = 16m)

Bài giải:
Chiều cao CH của hình tam giác ABC là:
(24 ×2) : 16 = 3 (m)
Cạnh AM bằng: 16 + 2 = 18 (m)
Diện tích tam giác ACM bằng:
(18 × 3) ∶ 2 = 27 (m)
Chiều cao MK của hình tam giác ACM bằng:
(27× 2) ∶ 10 = 5,4 (m)
Cạnh AN bằng: 10 + 2 = 12 (m)
Diện tích tam giác AMN bằng:
(12 × 5,4) ∶ 2 = 32,4(

2

)

Đáp số: 32,4 (m 2 )
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 25cm 2 . Kéo dài AB một đoạn
, BC một đoạn

=

và AC một đoạn

24

=


(Vì S PMB = S APB + S PMM , S PCN = S PNA + S ANC ; S BMN = S BMC + S MNC )

Đến đây ta dễ dàng tính được diện tích các tam giác: S APB ; S PMM ;
S PNA ; S ANC ;
(S ABC = 25cm

S BMC ; S MNC dựa trên sự tương quan về tỉ số với ta giác ABC

2

Bài giải:
Ta có:
S APB = S ABC (Vì chung đường cao hạ từ B, và đáy AP = AC)
S APB = S PBM (Vì chung đường cao hạ từ P, và đáy AP = AM)
⇒ S APB = S ABC = S PBM = 25cm 2

25