TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TH.S LÊ KHẮC QUYNH

HÀ NỘI, 2012


Lời cảm ơn

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ……………………………………………… ................... ………..1
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………….........1
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………… …....2
3. Giả thuyết khoa học……………………………………….... ……………..2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… ……….2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… …………2
6. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… ………..2
7. Cấu trúc khóa luận……………………………………………… ………….2
NỘI DUNG………………………………………………………… ………...3
Chương 1: Tổng quan về phương trình truyền nhiệt……………… ………….3
1.1. Thành lập phương trình…………………………………………… ……..3
1.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu…………………………………….. .6
Chương 2: Phân loại và giải một số bài toán về pt truyền nhiệt………………7
2.1. Bài toán truyền nhiệt tự do không có nguồn…………………………… ..7
2.2. Bài toán truyền nhiệt có nguồn………………… .............. ……………..15
2.2.1. Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x
(bài toán dừng)…………………………… ......... ………………………… ..15


2.2.2. Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc cả vào tọa độ x
và thời gian t ................................................................................. …………...24
2.3. Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát……………………............. ….34
KẾT LUẬN………………………………………… ............. ……………..40
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… .................... ……41


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.

3.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
Các phương trình truyền nhiệt một chiều đã học trong chương trình đại học.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Xây dựng lí thuyết về phương trình truyền nhiệt.
- Phân loại các bài toán phương trình truyền nhiệt.
- Vận dụng được các hàm, chuỗi toán học; các cách giải phương trình
vi phân để giả bài toán truyền nhiệt.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận gồm 3 phần:
- Phần mở đầu.
- Phần nội dung.
- Phần kết luận.

2


NỘI DUNG
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

1.1.

Thành lập phƣơng trình.
Như ta đã biết, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ


(1)

3


Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng của


n
pháp tuyến vì môi trường là đẳng hướng và ta thường coi là hằng số,
là
vecto pháp tuyến của ΔS hướng theo chiều giảm của nhiệt độ.

Bây giờ ta xét một vật thể tùy ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn, và xét sự
biến thiên nhiệt lượng trong thể tích đó từ thời gian t1 đến thời gian t2. Từ (1)
ta suy ra nhiệt lượng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
là:
t2

Q1    dt 
 k ( x, y , z )
Trong đó


n

t1

S

Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là nhiệt
lượng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian),
thì từ thời điểm t1 đến thời điểm t2, trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lượng
là :
t2

Q2   dt  g dV .
t1

V

4


Mặt khác nhiệt lượng cần cho thể tích V thay đổi từ u(x,y,z,t1) đến u(x,y,z,t2) là
:

Q3   u ( x, y, z , t2 )  u  x, y, z , t1   c( x, y, z )   x, y, z  dV .
V

Trong đó c là nhiệt dung, ρ là mật độ môi trường.
Tính chính xác đến đại lượng nhỏ so với ΔV, ta có :

u
dt.

t
t1

t2


Vì khoảng thời gian là bất kì nên :

 u

c


k

u

g

 dxdydz  0.
V  t

Đồng thời vùng V cũng là tùy ý nên ở một thời điểm bất kì của môi trường,
ta phải có đẳng thức :

c

u
 k u  g  0.
t

Hay

ut'  a 2  u"xx  u"yy  u"zz  



q  k

u
y
| S   2   , t .
và
n
n

Trong đó  2   , t   

(4)

q  ,t 
là một hàm cho trước.
k

3. Trên biên của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh
mà nhiệt độ của nó là U0. Theo định luật Niuton dòng nhiệt trao đổi
với môi trường xung quanh và tỉ lệ với hiệu của nhiệt độ của biên S
và của môi trường xung quanh.
Vậy : q    u  u0  |S trong đó  là một hệ số trao đổi nhiệt. Ta giả thiết rằng

 là hằng số mặt khác dòng nhiệt : q  k



Khi n là pháp tuyến ngoài của mặt S, vậy:


Tìm nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện ban đầu:

U |t 0    x, y, z  .
Và một trong các điều kiện biên (3); (4) hoặc (5).
Chƣơng 2
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT

2.1. Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn.
Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn là bài toán đi tìm nghiệm u(x,t) của
phương trình :
2
u
 0  x 1
2  u
D

a

0.

trên miền
t
x 2
0  t  .

Với điều kiện ban đầu

u |t 0  f  x  .
Và các điều kiện biên khác nhau.


Trong đó a là hằng số, f(x) là hàm giải tích trên D.
Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ trong thanh đồng chất
hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0. Trong thanh
không có nguồn nhiệt.

u |t 0  f  x 

Nhiệt độ phân bố lúc đầu trong thanh có dạng

.
Giải

Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng:
u(x,t)=X(x).T(t) .

(1.1)

2
u
2  u
a
 0. ta được:
Thay (1.1) vào phương trình
t
x 2

X '' T ''
XT  a X T  0   2 .
X aT


k x
.
l

Sử dụng điều kiện ban đầu:


u |t 0  f  x    M k sin
k 1

k x
 f  x
l

(1.16)
Chú ý:
1

 sin
0

m x
n x 1/ 2
sin

l
l
 0


dx
l

2
k x
 M k   f  x  sin
dx.
l 0
l
1

(1.17)

Thay (1.17) vào (1.15) thì nghiệm của phương trình cần tìm códạng:
a k  .t
2 1
k x   l 2
k x
u( x, t )     f  x  sin
dx  e
sin
.
l
l
l
k 1  0

2 2 2




(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t >0 trong
thanh đồng chất có đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l luôn giữ
ở nhiệt độ B. Ở thời điểm ban đầu t=0 phân bố nhiệt trong thanh là một hàm
tùy ý f(x) )
Giải
Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng :
u(x,t)=v(x,t)+w1(x,t)+w2(x,t).

(2.1)

2
u
2  u

a
 0 ta được:
Thay (1.1) vào phương trình
t
x 2

11


2
v 2  2v w1 2  2 w1 w 2
2  w2
a 2 
a


 v | x 0  0

 v | x l  0 .

(2.4)

Hàm w1(x,t) là nghiệm của phương trình:
w1
 2 w1
 a2
0
t
x 2
.

(2.5)

Thỏa mãn điều kiện biên:

 v | x 0  A

 v | x l  0 .

(2.6)

Hàm w2(x,t) là nghiệm của phương trình:
2
w 2
2  w2
a


(trong đó a1,a2 là các hằng số tích phân)
Thay (2.10) vào (2.9) thì nghiệm w1(x,t) có dạng:
w1(x,t)=A(a1x+a2) .

(2.11)

Sử sụng điều kiện biên (2.6) ta được :

v |x0  A  Aa 2  A
 a 1

 2

a1  1/ l
 v |xl  0
 A  a1l  a2   0

(2.12)

Thay (2.12) vào(2.11) thì nghiệm w2(x,t) là tường minh dưới dạng:
w1(x,t) =A(-x/l+1) .

(2.13)

Nghiệm w2(x,t) của (2.7) được tìm dưới dạng :
w2(x,t)=BX(x)

(2.14)


(2.18)

Nghiệm của (2.2) được tìm dưới dạng chồng chập của các sóng đứng :
13




v( x, t )   Tk  t  sin
k 1

k x
l .

(2.19)

Thay (2.19) vào (2.2) ta được:
k x  a 2k 2 2
k x
T k  t  sin

Tk  t  sin
 0.

2
l
l
l
k 1
k 1

e




k
k
k
l2

a 2k 2 2
t
l2

.

(2.20)

Thay (2.20) vào (2.19) thì w(x,t) có dạng:


v( x, t )   M k e



a 2k 2 2
t
l2

sin

 l 
1

.

2
k x
2 A B
k x
2A
k x
 M k   f  x  sin
dx  
x sin
dx 
sin
dx.

l 0
l
l 0 l
l
l 0
l
1

1

1


k x
2(A-B)  1
k x 1
1
k x 
M k   f  x  sin
dx 

xc
os
|

c
os
dx 

0
0 k
l 0
l
l 2  k
n
l




2A 1
k x 1
. cos

 M k   f  x  sin
dx 
cos k 
l 0
l
k
k
1

.

(2.22)

Thay (2.22) vào (2.21) vì v(x,t) là tường minh dưới dạng:

 x  Bx
u ( x, t )  A    1  
 l
 l
a k 
2 1
k x
2B
2A   l 2 t
k x
    f  x  sin
dx 
cos k 
sin
.

 g ( x)

.

và các điều kiện biên cụ thể khác nhau. Ta cũng đi xét một số bài toán cụ thể :

15


Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

 0  x 1
u
 2u
 a 2 2  f ( x) trên miền D = 
t
x
0  t   .
với điều kiện ban đầu u

t 0

 g ( x)

.

 u x 0  A

m
i2


u  x, t   v( x, t )  v0 ( x)  w 0 ( x)   w i ( x, t )
i 1

.

(1.1)

2
u
2  u
a
 f ( x) ta được:
Thay (2.1) vào phương trình
t
x 2

2
2
2
2
m
 w i
v
2  v
2 d v0
2 d w0
2  wi 
a
a


với điều kiện biên :


u


u

0
xl  0

x 0

.

(1.4)

Và điều kiện ban đầu :
m

v |t 0  g ( x)  w 0 ( x)   w i |t 0  v0 ( x)
i 0

.

(1.5)

Đặt :
m

với điều kiện biên :

u x0  A



 u x l  0

.

(1.9)

Các hàm wi(x,t) là nghiệm của phương trình dạng :

17


2
w i
2  wi
a
0
t
x 2
.

(1.10)

với điều kiện biên :


d 2v0
a
 f  x
dx 2
.
2

(1.12)

với điều kiện biên :

v0

 v0

0
x l  0

x 0

.

(1.13)

Xét phương trình vi phân (1.8):
d 2w 0
d 2w 0
dw 0
a
0

a

0
a1  

2
 xl
 1

l



.

(1.15)

Thay (1.15) vào (1.14) thì:
w0  x  

Ax

 A  w 0  A 1 
l


x

l


dx
a
 f  x 
 v0  x       2 dx dx  b1x  b2 .
 a



(1.17)

Đặt : Q( x)    f  x dx dx  b rồi thay vào (1.17) thì v0(x) có dạng:
1
   a 2 
v0(x)=Q(x)+b1x+b2
.
(1.18)
Trong đó b1; b2 là các hằng số tích phân
Sử dụng điều kiện biên (1.13):

v0 |x0  0  Q  0   b2  0


v
|

0
Q  l   b1l  b2  0
 0 xl
 b2  Q  0 


Thay (1.20) vào (1.10) ta được :

19