BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Duyên

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Duyên

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN


1.1.4. Hệ thống biểu đạt bằng lời ........................................................................8
1.2. Sự cần thiết phải thực hiện việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt một hàm số ....9
1.2.1. Trong tự nhiên và trong kỹ thuật ...............................................................9
1.2. 2. Trong kinh tế...........................................................................................12
1.2.3. Trong toán học: ........................................................................................14
1.3. Kết luận ..........................................................................................................16
Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI SỰ CHUYỂN ĐỔI HỆ THỐNG
BIỂU ĐẠT MỘT HÀM SỐ ....................................................................................18
2.1. Phân tích chương trình ĐS-GT bậc THPT hiện hành ...................................19
2.1.1. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 10 ..............19
2.1.2. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 11 .............21
2.1.3. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 12 .............22
2.2. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 ..................24
2.2.1. Phân tích chương I ...................................................................................24
2.2.2. Phân tích chương II..................................................................................36
2.3. Phân tích các đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học từ năm 2006 đến nay ......48
2.4. Kết luận .........................................................................................................53


Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..............................................................55
3.1. Mục tiêu của thực nghiệm ..............................................................................55
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm..............................................................55
3.3. Các bài toán thực nghiệm ...............................................................................55
Bài toán 1: ..........................................................................................................55
Bài toán 2: ..........................................................................................................55
Bài toán 3: ..........................................................................................................55
3.4. Phân tích các bài toán .....................................................................................56
3.5. Phân tích a priori ............................................................................................56
3.5.1. Biến và các giá trị của biến ......................................................................56
3.5.2. Các chiến lược và lời giải có thể quan sát được ......................................57

Hệ thống biểu đại

HĐ

Hoạt động

NXB

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập Giải tích 12

SGV ĐS10

Sách giáo viên Đại số 10

SGV ĐS>11

Sách giáo viên Đại số & Giải tích 11

SGV GT12

Sách giáo viên Giải tích 12


Trong khi đó, một hàm số có thể được biểu diễn dưới ít nhất bốn hình thức: phát
biểu bằng lời, bảng số, đồ thị, biểu thức giải tích (công thức) và việc chuyển đổi từ
cách biểu diễn này sang cách biểu diễn khác sẽ cho phép học sinh hiểu rõ hơn hàm
số đang xem xét. Hơn thế, biết chuyển đổi linh hoạt giữa cách biểu diễn còn là một
kỹ năng cần thiết trong việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề của thực tế
hay của các khoa học khác.
Từ những ghi nhận trên, vấn đề đặt ra cho chúng tôi là: Sự chuyển đổi hệ thống biểu
đạt được thực hiện ra sao trong dạy học hàm số ở trường phổ thông? Cách tổ chức
thực hiện đó có hình thành cho học sinh kỹ năng chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong
việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề thực tế hay không? Đi tìm câu trả lời
cho câu hỏi này, theo chúng tôi là thực sự cần thiết. Mặt khác, chúng tôi chọn khách
thể nghiên cứu là học sinh lớp 12 vì đây là đối tượng đã tiếp thu đầy đủ các nội


dung được giảng dạy ở THPT để khảo sát một hàm số. Do đó, chúng tôi xác định
nghiên cứu đề tài: Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp
12.
2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
2.1. Hệ thống biểu đạt
Liên quan trực tiếp đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi là khái niệm hệ thống biểu
đạt. Douady (1986) giải thích khái niệm này như sau:
“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ này:
những vạch, những ký hiệu, những hình vẽ, … Chúng là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị
[…] Các đối tượng có thể là một, nhưng mối liên hệ giữa chúng và cách trình bày chúng sẽ
không giống nhau […]. Ta nói rằng, chúng được biểu đạt bằng những hệ thống khác nhau
hay những ngôn ngữ khác nhau.” (Trích theo [4], tr. 43).

Về tầm quan trọng của việc thay đổi hệ thống biểu đạt, trong [4], tác giả Lê Thị Hoài
Châu nói rõ :
“Nhìn lại lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta sẽ nhận thấy rằng trong nhiều

Trong phạm vi didactic Toán, những công cụ để thực hiện được hai điều trên là các
khái niệm tổ chức toán học và hợp đồng didactic.
Như vậy, việc chúng tôi sử dụng các khái niệm trên của Thuyết nhân học trong
didactic và Lý thuyết tình huống là hoàn toàn thỏa đáng.
3. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu các câu hỏi
nghiên cứu như sau:

Q1 : Về mặt tri thức, tại sao lại cần chuyển hệ thống biểu đạt một hàm số?
Q 2 : Chương trình Toán THPT và SGK đã đưa vào những hệ thống biểu đạt nào,
sử dụng chúng ra sao, đặc biệt là đã tính đến như thế nào việc thiết lập sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số?

Q3 : Sự lựa chọn của SGK có giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của
mỗi hệ thống biểu đạt hàm số cũng như có hình thành được cho học sinh kỹ năng
chuyển đổi hệ thống biểu đạt một cách linh hoạt trong việc sử dụng hàm số để giải
quyết các kiểu nhiệm vụ của thể chế hay không?


4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Để trả lời cho câu hỏi Q1 , chúng tôi tìm hiểu những vấn đề thực tế, những hiện
tượng trong tự nhiên và trong các khoa học có quá trình biến thiên là một hàm số để
tìm những bài toán làm nảy sinh nhu cầu chuyển đổi từ hệ thống biểu đạt này sang
hệ thống biểu đạt kia. Kết quả nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1.
Tham chiếu vào những kết quả thu được ở chương 1, chúng tôi sẽ tiến hành làm rõ
những gì mà các noosphere mong muốn hay quy định người học biết về sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt thông qua chương trình và SGK. Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên
cứu tổng quan chương trình Toán THPT và nghiên cứu chi tiết SGK hiện hành và
một số đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học từ năm 2006 đến nay. Kết quả của ba
phân tích này được trình bày ở chương 2.

1.1.1. Hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị hàm số bằng biểu thức giải tích hay
công thức)
+ Biểu đạt cô đọng và chính xác mối tương quan hàm.
+ Chỉ rõ phải thực hiện các phép tính nào với x (biến số) để tìm y(x) (giá trị tương
ứng của hàm số).


+ Tính toán, biến đổi trên biểu thức giải tích để chỉ ra các tính chất của hàm số (như
tính liên tục, tính đơn điệu, khả vi,…) một cách chặt chẽ, logic. Đặc biệt, có thể
dùng công cụ của giải tích để nghiên cứu các tính chất này.
Ví dụ như: đối với hàm diện tích S của hình tròn có bán kính R thì cách biểu diễn
thuận tiện nhất chính là công thức đại số S = π R 2 , mặc dù ta cũng có thể lập một
bảng các giá trị hay vẽ đồ thị tương ứng (một nửa parabol vì R chỉ nhận giá trị
dương).
1.1.2. Hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ)
+ Phản ánh trực quan dáng điệu định tính của hàm số. Tức là, nhìn vào đồ thị
chúng ta nhanh chóng xác định được một số tính chất của hàm số : liên tục hay gián
đoạn, có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hay không, và bằng khoảng bao nhiêu?
có bao nhiêu giao điểm với đồ thị khác?
Ví dụ: Gia tốc a của mặt đất được đo bởi máy ghi địa chấn trong suốt một trận động
đất là một hàm số của thời gian t. Cách biểu diễn thuận tiện nhất của hàm số này
chính là đồ thị. Chẳng hạn như hình ảnh dưới đây mô tả gia tốc của mặt đất trong
trận động đất Northridge tại Los Angeles vào năm 1994.

[Nguồn: Calculus, James Stewart]
Rõ ràng, nhìn vào hình ảnh này chúng ta nhận biết được ngay tính chất của trận
động đất.


Tuy nhiên, cơ sở cho việc chúng ta đọc được tính chất của đồ thị chính là những

2

= 2.

2 như sau: Xét hàm số

=
y x 2 (0 ≤ x < +∞) . Hàm số này liên tục trong khoảng

[ 0; ∞ ) và đồng biến ngặt trong khoảng ấy. Vì vậy
đồ thị G của hàm số (đường parabol) có dạng như hình 2.
Trên trục Oy lấy điểm A với tung độ y = 2 và vạch qua A
đường thẳng vuông góc với Oy, cắt G ở một điểm
(duy nhất) B nào đó. Điều này được suy ra từ tính liên tục của G và sự kiện tung độ
của điểm biến thiên trên G tăng ngặt, tiến tới

+∞ cùng với hoành độ của điểm đó. Từ


điểm B, ta hạ đường vuông góc với Ox, cắt Ox ở điểm C. Đoạn thẳng OC có độ dài
bằng

2 . (trích theo [10], tr.360-361).

1.1.3. Hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số)
+ Được sử dụng khi miền xác định gồm hữu hạn các trị số. Từ bảng, ta tra ngay
được giá trị hàm nên nó tiện lợi khi sử dụng như bảng giá cả các mặt hàng, bảng kết
quả xổ số. Các bảng logarit, bảng lượng giác,…giúp ích rất nhiều trong lĩnh vực
thiên văn.
Ví dụ: giá cước thư chuyển phát nhanh EMS nội tỉnh theo trọng lượng w là hàm số

sau đây chúng tôi sẽ trình bày những bài toán, vấn đề thực tế làm nảy sinh nhu cầu
sử dụng hàm số và thực hiện chuyển đổi hệ thống biểu đạt.
1.2. Sự cần thiết phải thực hiện việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt một hàm số
1.2.1. Trong tự nhiên và trong kỹ thuật
Trong tự nhiên và trong kỹ thuật, để nghiên cứu các hiện tượng, các chuyển động,
các quá trình, … mà trong đó có sự biến thiên của một đại lượng này theo một đại
lượng khác, nhà nghiên cứu thường tiến hành thực nghiệm, quan sát, đo đạc bằng
dụng cụ riêng. Kết quả thực nghiệm, quan sát đó thường được ghi lại thành bảng số
hoặc bằng hình ảnh biểu diễn sự biến thiên đó. Để đưa ra những dự đoán về xu
hướng phát triển hoặc những kết luận về quy luật biến thiên của chúng, người ta
tiến hành mô hình hóa toán học. Một trong các mô hình toán học này là công thức
liên hệ giữa các đại lượng biến thiên – hàm số.
• Bài toán khảo sát chuyển động của vật ném xiên [Nguồn: Sách giáo khoa Vật
lí 10 nâng cao, tr80-81]: Khảo sát chuyển động của vật được ném xiên (ném lên từ


mặt đất với vận tốc ban đầu v0 hợp với phương ngang một góc α ). Trong chuyển


động này, tầm bay cao 1 và tầm bay xa 2 của vật được quan tâm để ứng dụng vào
trong thi đấu các môn thể thao như đẩy tạ, phóng lao,....
Thế bằng cách nào người ta tính được các tầm bay này? Những yếu tố nào có thể
ảnh hưởng đến chúng? Ảnh hưởng như thế nào?
Cách khảo sát: Chọn hệ toạ độ Oxy cho vật bị ném xiên (gốc O trùng với điểm xuất
phát của vật, trục Oy hướng lên, gốc thời gian là thời điểm ném vật). Khi đó,
chuyển động của vật đã được mô hình toán học. Và bằng kiến thức vật lí, toán,
người ta tìm được:
- Phương trình chuyển động của vật theo thời gian t:
x = (v0 cos α )t
=

2g

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (3) và trục Ox,
chọn nghiệm khác 0 (gốc toạ độ), ta được:
ON= L=

1
2

v02sin2α
.
g

Độ cao cực đại mà vật đạt tới.
Khoảng cách giữa điểm ném và điểm rơi (cùng trên mặt đất).


Dựa vào kết quả này, ta thấy: vì H và L tỉ lệ thuận với vo , α nên nếu muốn đạt thành
tích càng cao (H và L càng lớn) thì ta cần điều chỉnh vận tốc ban đầu và góc ném
phù hợp.
Vận dụng điều này, một giáo viên ở Anh, Danny Brooks, đã được ghi vào sách
Guinness vì ném bóng xa nhất thế giới (50 mét). Anh đã sử dụng kỹ thuật đặc biệt 3
để tạo đà cho quả bóng vút bay.
• Mô hình toán học của sự tăng trưởng dân số tự nhiên:
Bằng thống kê, các nhà dân số có bảng dân số thế giới trong thế kỷ 20 như sau:
Năm
Dân số
(triệu)

1900

• Khảo sát tốc độ dòng chảy của máu trong một mạch máu [Nguồn: Calculus,
James Stewart]
Khi xem xét dòng chảy của máu trong một mạch máu, chẳng hạn như tĩnh mạch
hay động mạch, chúng ta có thể mô hình hình dạng của mạch bởi một ống hình trụ
với bán kính R và chiều dài l được minh hoạ bởi hình sau:

Bởi vì có sự ma sát với thành ống, vận tốc của máu đạt giá trị lớn nhất dọc theo trục
đối xứng của ống và giảm dần khi khoảng cách r tăng lên và bằng 0 tại thành ống.
Mối liên hệ giữa vận tốc v và r được tìm ra bởi nhà vật lý học người Pháp JeanLouis-Maire vào năm 1840.
Mối liên hệ được phát biểu như sau:
=
v

P
( R 2 − r 2 ) , trong đó η là độ kết dính của
4η l

máu và P là áp suất của ống. Nếu P và l là những hằng số thì v là một hàm số của r
với miền xác định là đoạn [ 0; R ] .
1.2. 2. Trong kinh tế
Những yêu cầu phát triển của kinh tế đã làm nảy sinh vấn đề tìm quyết định tối ưu 4.
Vấn đề này được mô hình hoá toán học thành bài toán quy hoạch toán học hay bài
toán tối ưu. Mô hình này thể hiện mối liên quan giữa các đối tượng được khảo sát
dưới dạng hàm mục tiêu cùng một hệ các điều kiện ràng buộc (hệ các phương trình
hoặc bất phương trình). Tuỳ theo mục tiêu mong muốn đạt được mà chúng ta khảo
sát hàm mục tiêu tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của nó với các ràng buộc.
Chẳng hạn ta có bài toán quy hoạch tuyến tính 5 sau đây
4
5


30

5

4

III

25

1

6

Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức là tính xem cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm
mỗi loại để tiền lãi thu được là lớn nhất, biết rằng bán một đơn vị sản phẩm A thu lãi
ba trăm nghìn đồng, bán một đơn vị sản phẩm B thu lãi hai trăm nghìn đồng.

Giải quyết bài toán:
Gọi x, y lần lượt là số lượng đơn vị sản phẩm A và B cần sản xuất, gọi f là số tiền lãi
thu được. Khi đó, bài toán trên được mô hình thành hàm mục tiêu f = 3x +2 y với
những ràng buộc là: x, y ≥ 0; 2 x + 3 y ≤ 18; 5 x + 4 y ≤ 30; x + 6 y ≤ 25 .
Bằng ngôn ngữ toán học, bài toán lập kế hoạch sản xuất trên được phát biểu thành:
2 x + 3 y ≤ 18;
 5 x + 4 y ≤ 30

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = 3x + 2y với các ràng buộc: 
 x + 6 y ≤ 25
 x, y ≥ 0


để dự đoán xem có nghiệm hay không (không cần tính chính xác nghiệm) ở phạm
vi đại số gặp khó khăn, người ta chuyển sang bài toán tương giao giữa hai đường
cong để giải quyết. Ở đây, hai đường cong tức là hai đồ thị của hai hàm số ở hai vế
của phương trình. Chẳng hạn ta có bài toán: Tìm m để phương trình
2 x 3 − 9 x 2 + 12 x =
m có 6 nghiệm phân biệt. [Câu 1, Đề thi tuyển sinh đại học khối

A năm 2006]
Rõ ràng việc giải bài toán này ở phạm vi đại số sẽ khó khăn hơn nhiều so với cách
chuyển đổi sau đây:
- Đặt (C): y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x , (d ) : y = m bài toán trở thành: Tìm m để đồ thị (C)
cắt đường thẳng (d ) tại 6 điểm phân biệt.
- Chuyển hai hàm số trên sang cách biểu diễn
trực quan hình học: vẽ đồ thị (C) và đường
thẳng (d ) trên cùng một hệ trục toạ độ.
- Dựa vào đồ thị, thấy ngay khoảng giá trị của
tham số m thoả yêu cầu bài toán là: ( 4;5 ) .
• Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x) và các
x 0;=
x a;=
x b (a < b) .
đường thẳng=
b

Khi đó: S = ∫ f ( x)dx
a

Ta có công thức Newton – Lebniz:=
S



xn
yn

b−a
n

trong đó x0 =
a, xk =+
x0 kh (h = , k =
0,1,.., n)
Xuất phát từ việc có thể xấp xỉ hàm f ( x) trên đoạn [a; b] từ bảng giá trị cho trước
bởi đa thức nội suy Lagrange Ln ( x) , ta có:=
S

b

∫

b

f ( x)dx ≈
=
S*

a

∫ L ( x)dx
n


Khái quát hoá
Xấp xỉ
Công thức hàm số

Khảo sát

Những tính chất
của hàm số

Sau khi đã tìm được câu trả lời cho bài toán thực tế, tuỳ theo mục đích sử dụng tiếp
theo đó mà kết quả nghiên cứu có thể được biểu đạt bằng công thức, hoặc bảng các
giá trị rời rạc hoặc đồ thị, biểu đồ,…
Tóm lại: Xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu bản chất chung, quy luật phát triển chung
của các hiện tượng, sự vật, người ta phải trừu tượng hoá, khái quát hoá từ nhiều cái
riêng. Tư duy trừu tượng hoá, khái quát hoá ở đây mà chúng tôi muốn đề cập đến là
tư duy hàm trong quá trình mô hình các vấn đề thực tế thành hàm số để khảo sát tìm
cách giải quyết. Có thể nói quá trình mô hình hàm là quá trình thực hiện sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số.
Như vậy, để học sinh thấy được sự cần thiết phải chuyển đổi hệ thống biểu đạt một
hàm số, chúng ta cần thực hiện hai điều:
 Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của mỗi hệ thống biểu đạt.
 Đưa ra những bài toán, những vấn đề thực tế có chứa đựng mối quan hệ hàm
và nhu cầu cần chuyển đổi từ hệ thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt kia.
Trên cơ sở này, chúng tôi tiến hành phân tích xem cách trình bày của sách giáo
khoa có thực hiện được hai điều trên hay không. Phân tích này được chúng tôi trình
bày ở chương tiếp theo của luận văn.


Chương 2:


2.1. Phân tích chương trình Đại số - Giải tích bậc THPT hiện hành
Hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Đại số - Giải tích
THPT hiện hành, được học chính thức ở cả 03 lớp: 10, 11 và 12.
Trong phần phân tích này, chúng tôi cố gắng trả lời một phần của câu hỏi Q 2 , tức là
trả lời câu hỏi: “Chương trình Toán THPT đã đưa vào những hệ thống biểu đạt nào,
sử dụng chúng ra sao, đặc biệt là đã tính đến như thế nào việc thiết lập sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số?”.
2.1.1. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 10
Chương trình Đại số 10 dành một chương để ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ
bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ,
xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số đã học.
Yêu cầu đặt ra đối với học sinh sau khi học xong chương này là:
+ Nắm vững khái niệm tập xác định và biết tìm tập xác định của một hàm số cho
bằng công thức.
+ Nắm vững các khái niệm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, biết lập
bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: hàm bậc nhất, hàm hằng y = b , hàm

y = x , hàm bậc hai.
Tuy khái niệm hàm số đồng biến hoặc nghịch biến cũng như hàm số chẵn, hàm số
lẻ không phải là những khái niệm khó và đều được trình bày ở lớp 9. Nhưng
chương trình lớp 10 vẫn trình bày lại định nghĩa các khái niệm này theo con đường
quy nạp - cho học sinh quan sát các đồ thị của vài hàm số cụ thể để rút ra tính chất.
Điều này được chỉ rõ ở SGV ĐS10 như sau:
Khái niệm đồng biến, nghịch biến được đưa ra bắt đầu từ nhận xét trực
giác về đồ thị của hàm số y = x 2 trong các khoảng (−∞; 0) và (0; + ∞) .