LỜI CẢM ƠN

BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Vũ Ngọc
Sáu.

LÊ THỊ LÀI
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì
những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu
vừa qua.

Tác giả
xin bày CỬU
tỏ lòngĐIÈU
biết ơnKIỆN
chân thành
cácSOLITON
thầy giáo, PGS. TS.
NGHIÊN
TỒN tới
TẠI
Hồ
Quang Quý,
Nguyễn Văn
cùng các
thầy,
cô giáo ởBẬC
khoa CAO
Vật lý,
TRONG

Phương

trình

Schrodinger
21

phi

MỌT só CỤM Từ VIÉT TẮT
MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................ 3

FWHW

CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM JACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER PHI TƯYÉN ĐẺ TÌM NGHIỆM SOLITON
5
1.1 Soliton quang học...................................................................................... 5
1.1.1.................................................................................................................. Cơ
Full Width at Half Maximum
rộng
toàn
phần tại một
sở xuất hiệnĐộ
Soliton
quang
học...................................................................5
1.1.2.................................................................................................................. Lờ

LỜI MỞ ĐẦU

Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi truờng vật chất là
một trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học. Kể từ khi laser ra đời
vào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triên vuợt bậc và có
nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thông
tin quang. Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối tuợng
trục tiếp của các quá trình nghiên cứu. Sụ ra đời của nó đã cải tạo mạng luói
thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một số lirợng tín hiệu hình, tín hiệu âm
thanh có thê truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi do tốc độ
truyền thông tin là rất lớn, sụ tổn hao trong quá trình lan truyền thấp. Đặc
biệt, tính ổn định của tín hiệu đuợc truyền đi là rất cao và hầu nhu không bị
méo. Tính chất này đuợc tạo ra bằng cách sử dụng các Soliton quang học đê
truyền thông tin.

Soliton quang học là đối tirợng của nhiều nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng
nhu thục nghiệm trong suốt ba thập kỷ qua bởi những ứng dụng mạnh mẽ,
tiềm tàng trong truyền đạt thông tin đuờng dài và toàn bộ các thiết bị chuyển
mạch quang cục nhanh. Soliton quang học trong một sợi điện môi đuợc đề
xuất lần đầu tiên vào năm 1973 bởi Hasegawa và Tappert [4], đirợc làm thí
nghiệm kiếm tra bởi Moollenauer vào năm 1980 [5]. Sự tồn tại dạng xung
Soltion trong sợi quang là nội dung quan trọng trong nghiên cứu quá trình lan
truyền xung ánh sáng trong môi truờng phi tuyến nói chung và trong sợi
quang đơn mode nói riêng..

Vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên phuơng trình Schrodinger phi tuyến
chỉ mô tả gần đúng sụ biến đối hàm bao của các xung laser ngắn (có độ rộng
phố cỡ ps) hoặc lớn hơn, còn các xung cục ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) sẽ có sụ
sai lệch khi mô tả bằng phirưng trình Schrodinger phi tuyến. Do đó, đối với
các xung cục ngắn, ta cần phải kê đến các khai triển bậc cao hơn. Lúc này, lan

Chương 2: Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến bậc cao
lên quá trình lan truyền soliton

Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan


5
CHƯƠNG 1: SỬ DỤNG HÀM ƠACOBIEN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER PHI TƯYÉN ĐỂ TÌM NGHIỆM SOLITON

1.1

Soliton quang học.

1.1.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học.

Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì hình dạng
của nó hên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các
vận tốc nhóm khác nhau. Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình tự biến
điệu pha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đối. Quan hệ giữa hiệu
ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho xung giãn
rộng ra hoặc co ngắn lại tùy thuộc vào độ lớn và chiều dài hai hiệu ứng nói
trên.Trong một điều kiện nhất định thì hình dạng ban đầu của xung sẽ giữ
nguyên không đổi trong quá trình xung lan truyền. Điều này xảy ra khi hai
hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha tự bù trừ lẫn
nhau. Các xung ổn định như vậy được gọi là các sóng cô đơn hay còn gọi là
Soliton. Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lan truyền qua
nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ có sự dịch pha
do quá trình tương tác. Do vậy, nó vẫn tiếp tục lan truyền như những thực tại
độc lập.

N2 đầu
(1.3)
trị âm ở
Phương
phần
phápxung
này và
tương
có giá
tự trị
nhưdương
phép ởbiến
phầnđổi
cuối
Fourier
xung.được
Do đó,
sử tần
dụngsốđểở
giải
phầncác
đầu phương
xung sẽ bé
trình
hơnvitần
phân
số ởđạo
phầnhàm
đuôiriêng
xung.tuyến tính. Sự tương tự đó là tìm

dữ
liệu
tán
xạ.
hình H 1.1. Trong hình này xung vào ban đầu là xung dạng Gauss không
chirp, khi lan truyền trong môi trường tuyến tính, xung chỉ chịu ảnh hưởng
của hiệu ứng GVD và sẽ bị mở rộng. Ở chế độ tán sắc dị thường xung bị nén
lại ở Ta
phần
sẽ cạnh
phi thứ
trướcnguyên
(tần sốhóa
dịchbằng
về phía
cách sóng
đưa vào
xanh)các
và đại
giãnlượng
ra ở không
phần cạnh
thứ
nguyên:
sau (tần số dịch về phía sóng đỏ). Nhưng khi xung lan truyền trong môi
trường phi tuyến không tán sắc, do ảnh hưởng của hiệu ứng SPM, nó sẽ làm
mở rộng xung, lúc này xung bị nén lại ở phần sau và giãn ra ở phần trước của
xung.

Khi xung lan truyền trong sợi quang chịu ảnh hưởng đồng thời bởi hai


+ fjálilta|i21 =0

98

(1 .12 )

uv2 =Cìv1
u(5,T) = -22»2j*

(1.6)
(1.8)

j=i
trong đó, Vj,v2 là biên độ của hai sóng tán xạ bởi thế u(ẽ„ x). Giá trị
riêng với
c, có vai trò tương=^exp(i^x
tự như vai
2 của tần số trong giải tích Fourier, ngoại
+ iCtrò
^),
(1.9)
trừ ra rằng t, có thê nhận giá trị phức khi u ^ 0. Đặc trưng này có thê được
nhận ra bởi sự chú ý rằng trong trường hợp u=0 thì Vj,v 2 biến thiên theo
iị/2 * được xác định bởi giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau:
exp(±i/3e"2T_2lVi2 =2e( 2

iị/*22 - 2>/3ie_2x+2i4iỊ/11 - i4e“3xiỊ/12 = 2\I3GK 2 4 )

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được H/*21;VỊ/*22;VỊ/U;H/12.

Dạng hàm bao các Soliton bậc cao thay đổi liên tục, tuy nhiên sau những
quãng đường lan tuyền nhất định dạng của nó lại trở như ban đầu. Một tính
chất quan trọng của nghiệm Soliton bậc hai đó là
có chu kì tuần hoàn


Tương tự như trường hợp Soliton sáng , phương pháp tán xạ ngược cũng
có thể dùng để tỉm nghiệm Soliton cho (1.24). Tuy nhiên, cũng có thể tìm
nghiệm bằng phương pháp giải tích bằng việc giả thiết có tồn tại nghiệm

một hằng số khi lh

00.

Thay u(ẽ,,x) vào (1.24) và cân bằng phần thực và

2V3

0

(1.25)

Nghiệm tống quát của hệ (1.25), (1.26) có dạng
(1.27)


15

các thông số

q

và

T


16
17

(1.33)

ậ([cu'+.qu]exp(,0))
toán. Rất nhiều phương pháp bao gồm các phương pháp số và các phương
= Ị^C2U +2icqu -q2ujexp(i0) pháp giải tích đã được sử dụng để giải phương
(1.34) trình Schrodinger phi tuyến
suy rộng này. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển Jacobien đê
2
tìm nghiêm soliton cho phương trình Schrodinger(1.35)
phi tuyến suy rộng.
^■P=^[cV + 2icqu' - q u]exp(i0))

ii 4. 2CUU-

Xét xung ngắn cỡ íemto giây lan truyền trong sợi quang đơn mode. Sự
thay đổi của hàm bao Ư của xung khi đó
được mô tả bởi phương trình
(1.36)
Schrodinger phi tuyến suy rộng.

^£jL^MQB(u3exp(i0)) = ^3CU2U' + iqu3 J exp(iO)

(1.37)

Trong đó các tham số oq,oc2,a3,a4,a5 tương ứng với các hiệu ứng GVD,


Nghiêm (1.41) là dạng nghiệm tổng quát và ai bi, c, p, q có thể xác định
được bằng cách thay (1.41) vào hệ hai phương trình (1.39a), (1.39b). Bằng
cách này, chúng ta tìm được nghiệm chính xác mô tả dạng của Soliton và điều
kiện tồn tại của nó.
1.3 Ket quả tính toán

Đê dễ dàng hơn, ta xét hai trường hợp cụ thể:
Thực hiện thay các biểu thức từ (1.31) -ỉ-(1.37) vào phưong trình (1.30)
ta thu được:
Trường hợp 1) Xét trường hợp đặc biệt, khi giá trị ban đầu ao gần đúng
2
2
3
3
a1u -0(phần
C,ưỉ +3o3C
qu' -a3qu{Ẹ)
u+a4qu
| -2o((1.41)
bằng ku
0 +ipu=i|c
và chỉ 2chứa
Cn, nghiệm
trong
1q u+0hàm
1cqu + tương ứng có

dạng:
(1.38)


3
3
pu-ajC
+a1qtriệt
u-atiêu.
2u -3a3c qu +a3q u-a4qu =0

Giả thiết rằng hàm u được khai triển dưới dạng:

(1.39b)


19

Tương tự, thay (1.44) vào phương trình (1,40b) ta đưa về được:
[(p + q\ +aỉq1')-0ù]cL +3aỉqc2(-\ + 2m2)]-[ce2 +aAq)b\ -2m{píxc' + 3aìqc2)]Cn~ = 0 (1.48)
Phương trình (1.48) có nghiệm khi các biểu thức trong dấu [...] của
phương

trình

(1.48)

đồng

thời

triệt

tiêu,

c
Đế tính p,
ta thay
đã tính
được
ở (1.50)
2 2 2 :
2
-h432a4 c aỉ m aìaỉ -27
(1.56a)

Giải (1.56b) sẽ xác định đươc tham số SL\ như sau:

Thay (1.57) vào (1,40a) ta thu được
[(p + q-^+q2^)-^2 +3qaĩc-)(m- +\)]-[(a:+a4q)aì +

(1.57)
^

m 2 (a:c2 + 3qoc3c2)]Sn2 = 0

2
2
(p + q1 có
+ q2nghiệm
aì')+ 3qatrong
3c )(m + 1) = 0
Phương trình (1.58)
khi
tổng
các dấu [...] ở vế trái phải
2
2
2
2

(a2 + a4q)a +m (cKjC + 3qoíìc ') - 0

(1.59)


* Trong trường hợp không xét đến hiệu ứng SRS (o5 = 0 ):

- Soliton sáng chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD, ss và


22

-Nếu hiệu ứng tán sắc bậc ba không đáng kể, có thể bỏ qua ( 3 0);
a

ai=bi=0 Jt ->• 0, dễ thấy rằng cả Soliton sáng và Soliton tối đều biến mất.
-Trường hợp hiệu ứng ss không được xét đến (a4 ->• 0 =>JỆ ->■00)

Soliton sáng và Soliton tối cũng đều bị phá huỷ.

Vì vậy, đê tạo thành soliton thì phải có sự cân bằng giữa TOD (được đặc
trưng bởi a3) và sự tự dựng xung (đặc trưng bởi oc 4). Điều này đã được xác
định trong các nghiên cứu trước đây.

* Trưừng họp xét đến hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức (a 5 * 0):

-Hai điều kiện để tồn tại Soliton sáng, tối (1.64), (1.65) sẽ không còn cần
thiết. Và trong trường hợp này nếu ảnh hưởng của TOD không đáng kể, nghĩa
là a3—» 0 thì các soliton sáng và tối đều bị phá hủy. Tuy nhiên nếu ảnh hưởng
của

ss

cũng không đáng kể, nghĩa là

nghiệm các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao, Soliton tối.

-Trình bày sơ lược về hàm Jacobian eliptic.

-Trên cơ sở của phương pháp giải tích lacobian, xuất phát từ phương
trình Schrodinger phi tuyến suy rộng và xem xét một số hiệu ứng phi tuyến,
các biêu thức mô tả Soliton sáng, tối đã được dẫn giải. Từ kết quả thu được,
điều kiện tồn tại Soliton đã được bình luận. Như vậy, khi xét đồng thời ảnh
hưởng của các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc ba, tự dựng xung, tán xạ
Raman cưỡng bức, vẫn thu được Soliton lan truyền trong sợi quang. Đặc biệt,
khi xét đến sự có mặt của hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức, lời giải soliton
thu được có phần khác với lời giải soliton khi chỉ xét đến ảnh hưởng của tán
sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha hoặc sự hình thành soliton gây ra khi xét
đến sự có mặt của hai hiệu ứng tán sắc bậc ba và tự dựng xung.


11

dt dx dt2 dx2 dxdt

24

CHƯƠNG 2: NGHIÊN cứu ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG PHI
TUYẾN BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON

2.1 Nghiên cún ảnh hưởng của hiêu úng phi tuyến bậc cao lên quá
trình lan truyền Soliton.

Chúng ta sẽ tìm nghiệm soliton của phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao mô tả quá trình lan truyền sóng ánh sáng trong môi trường quang học

(2.5)

Theo tính chất của hàm Jacobi elliptic thỉ đạo hàm bậc cao nhất cho bởi

(2.6)


1

õt2 2 õt4

31 1

4

õt3

5

õt

25

n trong (2.4) được chọn bằng cách sao cho bậc của đạo hàm cao nhất cân
bằng với các số hạng phi tuyến. Thay (2.4) vào (2.3) và cân bằng các hệ số
dẫn tói hệ phương trình đại số đối với ữ .. Giải hệ phương trình này ta sẽ nhận

được kết quả cho u theo (2.4)

Trong trường hợp xung ánh sáng cực ngắn (femto giây), so sánh (2.1)

c4a2u + {c2ax - 3oc2c2(ở2 - 3a4c2cò)u
+ (—k
- axúủ2 + a2củ4 + a4củ3 )u + (a3 - a<a>)n3 = 0
d 4u(ệ)

dặ 4

Oi

) = n+ 4

(2.1

Oa)

(2.10b)


26

Và bậc của số hạng phi tuyến
6 0{u(ặ)) = 3 n

Cân bằng các số hạng được n=2. Theo đó hàm u(ệ) có dạng
u(ệ) = a0 + a^cnỤ;) + a2cn2(ệ)

(2.11)

Acn\ệ) + A4cn (Ế) + Acn2(ệ) + AQ


(2.14)

_ 6^(30, + 2a6) - 3a3a4

6a4(a, + a6)
,

Ấ - 3 a.ccù + OLCCÙ 2

(2.15)
3

k=----------------—-------------------a!&> + Cũ a4

Do đó phương trình (2.13a) và (2.13b) có thể rút gọn thành

(2.17)


27
„ 2oc,(ữ + À-3aầcco2 „

,

( 3ứ ' + 2 ơ , )

c2aA

(2.18)
dzu(â)


Trong đó biểu thức của k và Cũ cho bởi (2.15) và (2.16). Khi m tiến dần
tới 1, ta nhận được nghiêm soliton sáng

E(z,í)=

2ư6 + 3a5

cxp [ì(kz - ú)í)] X

(2.22)

x&echịct-(-c2a4 - 2a]ú) + 3a4ú)2)z+ zữ ]

Bây giờ nếu sử dụng giả thiết nghiệm cho (2.19)
dạng
u(ậ) = aữ + OịSỉĩ^ệ)

(2.23)

a0=0

I

6ư
-mc
a

(2.24)