BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trịnh Duy Trọng
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số
: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí
Thành đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và
rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu
quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và
nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Trường Chinh
Trung học phổ thông
TXĐ
:
Tập xác định
[ĐS10]
:
Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục
[BT-ĐS10]
:
Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”,
NXB giáo dục
[SGV-ĐS10] :
Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo
viên”, NXB giáo dục
[GT12]
:
Việc phân tích mẫu số x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) (có thể thông qua giải
phương trình bậc hai tương ứng) là cần thiết để xác định TXĐ của hàm số.
x3 x 2 2 x
x3
Bằng cách viết biểu thức f(x) ở dạng f(x) =
ta xác định được
x2
ngay giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2 và 2 .
Trong khi đó, biểu thức f(x) viết ở dạng f(x) = x + 6 +
22 x 36
sẽ phù
x2 5x 6
hợp với việc xác định tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Nhưng để tìm nguyên hàm của hàm số thì dừng lại đó là chưa đủ mà phải
tiếp tục biến đổi
22 x 36
8
30
8
30
=
để có f(x) = x + 6 +
.
Một trong những dấu hiệu hình thức ở đây là tiêu chí để kết thúc phép tính:
tại sao coi tính toán là trọn vẹn khi nhận được biểu thức 4a + 4? Tại sao người ta
không thực hiện tiếp để viết như sau:
(2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 = 4(a + 1)
Trong trường hợp dạng của kết quả tính toán không đáp ứng bất cứ yêu cầu
nào ngoài tính toán, với tư cách tính toán hình thức, việc kết thúc được xác định bởi
cái mà người ta có thể gọi là “quy tắc hướng dẫn tính toán đại số” (quy tắc mà ở
đây chúng ta không xem xét động lực và nguồn gốc của nó) thuyết phục rằng 4a + 4
là dạng “đẹp” trong số tất cả các dạng.
Nhiều cái sẽ thay đổi nếu tính toán trên xuất hiện như “hoạt động”
(fonctionnel), tức là xuất hiện ở một thời điểm trong lời giải của bài toán mà yêu
cầu không chỉ đơn thuần là tính toán.
Chẳng hạn, xét bài toán “Chứng minh rằng: tổng của 2 số nguyên lẻ liên tiếp
là bội của 4”
Thực hiện các thao tác biến đổi, các tính toán đại số trên biểu thức
(2a + 1) + (2a + 3) có thể mang lại câu trả lời cho câu hỏi trên. Nhưng ở đây, việc
kết thúc tính toán ở điểm nào được xác định bởi bài toán mà người ta cố gắng giải
quyết, nó nằm ngoài việc tính toán. Dạng 4a + 4 không được xem như một dạng tối
ưu nữa mà dạng 4(a + 1) mới là hợp thức.
Như vậy, chính mặt “hoạt động” của tính toán đại số và việc sử dụng nó như
một công cụ để giải toán cho phép mang lại nghĩa của tính toán đại số.
1.2. Tính toán đại số ở trường phổ thông: khó khăn của học sinh
Theo tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des
mathématiques”, công bố ở Pháp, bước chuyển từ tính toán số sang tính toán đại số
thực sự là một cuộc cách mạng. Việc xác định một đại lượng chưa biết, thay đổi,
chưa xác định bởi một chữ và đưa các chữ này vào các tính toán tương tự như các
đại lượng đã biết làm tăng khả năng của tính toán.
Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại một cách sâu sắc những
toán học, khi người ta quan tâm đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng biến
thiên. Nhưng chính cách biểu diễn cuối cùng mới mang lại nhiều thuận lợi cho việc
nghiên cứu hàm số. Trong lịch sử toán học, nó chỉ xuất hiện sau khi hệ thống ký
hiệu của đại số ra đời. Sự hình thành nên hệ thống ký hiệu này giúp cho việc giải
quyết các vấn đề của toán học trở nên dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các hệ
thống biểu đạt đã tồn tại trước đó. Sức mạnh của hệ thống biểu đạt của đại số đã
khiến Descartes và Fermat tìm cách “du nhập” nó vào hình học và từ đó xây dựng
nên ngành Hình học giải tích. Cũng chính nhờ hệ thống biểu đạt này mà Giải tích –
ngành toán học có hàm số là đối tượng nghiên cứu cơ bản – phát triển nhanh chóng.
Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn nó là một
phương pháp mang lại nhiều hiệu quả. Có lẽ đó chính là nguyên nhân khiến cho ở
Việt Nam sự lựa chọn truyền thống của các chương trình là ưu tiên xem xét hàm số
được biểu diễn bằng biểu thức giải tích.
Nghiên cứu hàm số biểu diễn ở dạng này bắt buộc người ta phải thao tác trên
các biểu thức, phải thực hiện các tính toán đại số. Thế nhưng, như Chevallard đã
nói, việc các tính toán này thường được algorit hóa dẫn đến chỗ nhiều khi học sinh
không hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, mà hậu quả là họ có thể không biết
khai thác các tính toán này để giải quyết vấn đề theo một cách thức tối ưu hơn.
Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán
THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của
tính toán đại số ở lớp 10” 2 cũng đã chỉ ra rằng:
“Tính toán số và tính toán đại số không được hệ thống thành một chương mà
được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau. Đặc biệt, nó được trình bày trong mối
2
Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde
quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số. Giống như hình học, các hoạt động tính
Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của
Didactic toán” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến
Quan hệ thể chế
Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong
ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải
được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng
phải có một quan hệ xác định.
Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói
cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh
ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái
(écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu
nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu
R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho
biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân
tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi
dưới các ràng buộc của R (I, O).
Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và
quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công
cụ để thực hiện công việc đó.
Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần
thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ
quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.
Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , , ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, là kỹ thuật cho phép giải quyết T, là công
về một tri thức được giảng dạy” toán học được giảng dạy.
Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu,
các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng
lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý
nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời
giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong
nhà trường phải trải qua.
Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành
như sau:
Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt
những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được
gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:
– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức.
– Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.
– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình
huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.
– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà
họ mong đơi ở học sinh.
Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:
– Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
– Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức.
– Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK.
Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến
việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho
phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt
động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 2 đã đặt ra ở trên.
Tóm lại, vệc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân
chủng học và khài niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng.
chương 2.
Phần 2 trình bày một nghiên cứu thực nghiệm về tính toán đại số và hàm số.
Thật vậy, để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã đặt ra ở trên và phần nào
giúp học sinh hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, việc xây dựng các bài toán
thực nghiệm và tổ chức thực nghiệm trên các chủ thể của hệ thống dạy học là một
điều cần thiết.
Phần 1:
HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ:
MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ
Chương 1:
HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS
1.1. Tính toán đại số ở THCS
Chương trình lớp 6 và đầu lớp 7 tiếp tục hoàn thiện quá trình xây dựng tập
hợp số nguyên, số hữu tỷ, số thực và các phép toán số học trên chúng.
Chương trình đại số lớp 7 gồm các chương:
- Chương 1: Số hữu tỉ và số thực
- Chương 2: Hàm số và đồ thị
- Chương 3: Thống kê
- Chương 4: Biểu thức đại số
Khái niệm biểu thức đại số được đề cập một cách tường minh trong chương
4. Yêu cầu đặt ra cho việc dạy học chương 4 là:
“Học sinh nhận biết được biểu thức đại số (trong biểu thức đại số, coi chữ là “đại
diện” cho số), biết cách tính giá trị của biểu thức đại số. Nhận biết được đơn thức, đa thức
đồng dạng, biết thu gọn đơn, đa thức; biết cộng, trừ đa thức, đặc biệt là đa thức một biến.
…”.(SGV Toán 7, tập 1, tr. 5)
Có lẽ ở thời điểm này, thời điểm các biểu thức đại số cùng những phép toán
các phép tính, nắm các phương pháp phân tích thành nhân tử để làm gì thì không
được nói rõ.
Tóm lại, trích dẫn trên cho thấy, liên quan đến tính toán đại số, trong giai
đoạn đầu, chương trình dành trọng tâm cho việc xây dựng các quy tắc tính toán trên
các biểu thức đại số. Người ta chỉ đưa ra yêu cầu thực hiện các tính toán đại số ở
hình thái hình thức: biết cộng, trừ đa thức, thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức
với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng được các phương pháp thông dụng
để phân tích đa thức thành nhân tử,… Điều này là tự nhiên, vì không có kỹ năng
thực hiện các thao tác tính toán hình thức thì không thể nói đến hình thái hoạt động
của những tính toán ấy. Tuy nhiên, cũng rất hợp lý nếu đặt ra câu hỏi: người ta có tổ
chức cho học sinh nghiên cứu các quy tắc tính toán (phương diện hình thức của tính
toán đại số) trong mục đích xây dựng nghĩa của chúng thông qua việc xét chúng ở
hình thái hoạt động hay không? Chẳng hạn, rút gọn biểu thức, hay phân tích biểu
thức thành nhân tử, … có được gắn với một mục đích nào đó không?
Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đã phân tích sâu hơn các chương tiếp
theo của chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9. Hai nội dung chủ yếu được nghiên cứu
sau khi giới thiệu Biểu thức đại số là hàm số và phương trình bậc nhất, bậc hai.
Những nội dung về hàm số sẽ được chúng tôi trình bày riêng ở phần II. Ở đây
chúng tôi chỉ bàn về vai trò của tính toán đại số trong nghiên cứu đối tượng phương
trình ở THCS.
Trong chương trình Đại số lớp 8, “Phương trình bậc nhất một ẩn” được trình
bày ở chương 3. Đúng như tiêu đề của chương, các phương trình được nghiên cứu
đều có dạng hoặc có thể đưa về dạng bậc nhất một ẩn. Liên quan đến phương trình
ở đây, điều đầu tiên cần nói là không có một giải thích nào của nossphère đề cập
một cách tường minh về vai trò của tính toán đại số. Tuy nhiên, khi giới thiệu các
dạng phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số (khi giải đều đưa về dạng
bậc nhất) dường như nossphère không muốn chỉ dừng lại ở việc thực hiện các tính
toán đại số ở hình thái hình thức. Bởi để đưa phương trình tích, phương trình chứa
lượng x, y được cho qua các bảng, nhằm dẫn đến ghi nhận về sự phụ thuộc giữa hai
đại lượng, từ đó hình thành nên khái niệm hàm số. Như thế là dù chưa nghiên cứu
biểu thức đại số, các ký hiệu bằng chữ đã được sử dụng. Việc làm này thực ra đã
từng có ở bậc tiểu học và lớp 6. Lúc đó, thao tác trên những biểu thức chứa chữ
được thực hiện nhờ các quy tắc tính toán trên số (chẳng hạn như tìm số bị trừ khi
biết hiệu và số trừ, tìm số bị chia khi biết thương và số chia, tìm một số hạng khi
biết tổng và số hạng kia, …).
Như thế thì việc biểu thị hàm số bằng một biểu thức đại số – đối tượng chưa
được định nghĩa tường minh ở thời điểm này, có thể không gây nên sự gián đoạn
khi hình thành khái niệm hàm số. Tuy nhiên, việc nghiên cứu hàm số bậc nhất ngay
sau đó sẽ tiến hành ra sao? Ở đấy người ta khai thác như thế nào các tính toán đại
số? Chúng tôi không tìm thấy trong chương trình một sự nói rõ nào về vấn đề này.
Để trả lời câu hỏi đặt ra, chúng tôi xét những nội dung được đề cập ở đây:
khái niệm hàm số, giá trị của hàm số, đồ thị hàm số. Các hàm số đều được cho rất
cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng công thức). Việc tính giá trị của hàm số tại một
giá trị của biến số (hoặc kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không) chỉ
cần các tính toán số.
Hàm số còn được chương trình THCS đề cập ở lớp 9 với hai hàm số cụ thể là
hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax2 (a 0). Ở đây, ngoài các vấn đề như ở lớp 7
chương trình còn giới thiệu thêm các vấn đề khác của hai hàm số trên: sự biến thiên,
sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, xác định các hệ số của hàm số. Tuy nhiên, tất
cả các vấn đề trên đều có thể dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng các tính toán số
(như lớp 7) hoặc hệ số a của hàm số.
Như vậy, khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số ở THCS hoàn toàn chưa sử
dụng đến tính toán đại số.
1.3. Kết luận
Phân tích chương trình THCS chúng tôi thấy rằng:
– Ở cấp THCS, các tính toán đại số được giới thiệu tương đối đầy đủ. Nó
là mục đích nghiên cứu được đặt ra cho chương tiếp theo của luận văn.
Chương 2:
TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Mở đầu
Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế với
hàm số, qua đó tìm hiểu những tác động của hình thái hoạt động của tính toán đại số
trong việc nghiên cứu hàm số ở THPT. Ở đây, khái niệm hàm số được chúng tôi
xem xét trên phương diện đối tượng: nó được định nghĩa như thế nào, các tính chất
được khai thác ra sao, vấn đề nào được nghiên cứu, … Chúng tôi chia việc nghiên
cứu hàm số ở chương trình THPT thành ba giai đoạn:
Giai đoạn 1: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp (ứng với
chương trình năm lớp 10 và đầu lớp 11). Giai đoạn này, khái niệm hàm số, hàm số
lượng giác, tập xác định, đồ thị của hàm số, hàm số đồng biến – nghịch biến được
trình bày lại một cách chính xác hơn; đồng thời khái niệm hàm số chẵn – hàm số lẻ
và phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cũng được bổ sung.
Tuy nhiên, các vấn đề của hàm số đều được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp.
Giai đoạn 2: Các công cụ giới hạn, đạo hàm được xây dựng để chuẩn bị cho
việc nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình cuối năm
lớp 11).
Giai đoạn 3: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp cao cấp (ứng với
chương trình năm lớp 12). Bằng phương pháp cao cấp, nhiều loại hàm số và vấn đề
của nó được xét tới.
Cần phải nói rõ rằng, trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ có thể quan
tâm, làm rõ vai trò của tính toán đại số khi nghiên cứu hàm số (chủ yếu là các hàm
số cho bằng biểu thức giải tích), đặc biệt là vai trò đó thay đổi như thế nào khi
phương pháp nghiên cứu chuyển từ sơ cấp sang cao cấp. Vì vậy, chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích hai bộ sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương
- Tìm miền xác định;
- Xét đặc tính biến thiên;
- Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị.
Những nội dung này, nói một cách chính xác hơn, nội dung thứ hai và thứ
ba, được nghiên cứu với mức độ nông sâu khác nhau tùy yêu cầu từng bậc học. Nói
chung những nội dung này đòi hỏi nhiều kĩ năng, kĩ xảo phức tạp. Để học sinh có
thể giải tốt những bài toán khảo sát hàm số, ta cần chăm lo rèn luyện cho họ hệ
thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm sau đây: tính toán, vẽ đồ thị và
đọc đồ thị”.
([11], tr118)
Ngay sau đó, tác giả trình bày rõ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm
ba nhóm: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị. Trong đó, nhóm tính toán phục vụ khảo
sát hàm số tác giả viết:
“Nhóm này bao gồm những kĩ năng, kĩ xảo thực hiện các phép toán số học
và đại số, những phép biến đổi đồng nhất, giải phương trình, xét dấu nhị thức, tam
thức, …
Điều đó nói lên mối liên hệ mật thiết giữa chủ đề hàm số với các chủ đề
khác: các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình.
Những kĩ năng, kĩ xảo vừa nói trên đều không thể xem nhẹ được…
Thầy giáo không được có thái độ khoan nhượng trước những sai lầm tính
toán của học sinh, không được gây cho họ tâm lý coi nhẹ tính toán ...
Ta cần chăm lo rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo này trong khi
dạy học các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình, tạo
điều kiện tốt cho việc khảo sát hàm số”.
([11], tr119)
Qua những ý kiến, nhận định trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng ta có
thể thấy rõ vai trò quan trọng của tính toán (trong đó có tính toán đại số) trong việc
dạy học hàm số. Tuy nhiên, điều này hoàn toàn không được thể hiện trong chương
Nghiên cứu định
tính hàm số.
Hàm số tăng,
hàm số giảm, giá
trị lớn nhất – nhỏ
nhất trên một
khoảng.
Hàm số và biểu
thức đại số
- Nhận biết dạng của một biểu
thức đại số.
- Nhận biết những cách viết
khác nhau của cùng một biểu
thức đại số và chọn ra dạng
phù hợp nhất với công việc yêu
cầu (dạng rút gọn, nhân tử hóa,
...)
- Biến đổi, khai triển, rút gọn
một biểu thức theo mục đích
mong muốn.
- Những hoạt động tính toán
phải là cơ hội để suy luận và
chứng minh. Người ta tránh
những hoạt động quá máy
móc và cố gắng phát triển
những chiến lược dựa trên
quan sát, dự đoán và hiểu
Phấn lý thuyết: Chúng tôi sẽ tóm tắt các nội dung được SGK trình bày, xác
định mối quan hệ thể chế với hàm số và có gắng tìm câu trả lời cho những sự lựa
chọn của thể chế khi giới thiệu hàm số.
Các tổ chức toán học: Phân tích hệ thống bài tập của chúng tôi tiến hành
theo cách tiếp cận của Lý thuyết nhân chủng học và Hợp đồng didactic. Thông qua
việc nghiên cứu các tổ chức toán học hiện diện trong SGK, chúng tôi sẽ trả lời cho
những câu hỏi, củng cố hay bác bỏ những nhận định mà chúng tôi đã trình bày trong
phần nghiên cứu lý thuyết. Qua đó, chúng tôi tìm hiểu cuộc sống của tính toán đại
số, vai trò của nó trong dạy học hàm số; đồng thời đưa ra những quy tắc của hợp
đồng didactic, những giả thuyết liên quan đến khái niệm hàm số.
2.3. Hàm số và tính toán đại số trong SGK Đại số 10 nâng cao
Phần lý thuyết:
SGK Đại số 10 nâng cao (ĐS10) giới thiệu khái niệm hàm số trong Chương
II: Hàm số bậc nhất và bậc hai.
– Bài 1. Đại cương về hàm số
– Bài 2. Hàm số bậc nhất
– Bài 3. Hàm số bậc hai
– Câu hỏi và bài tập ôn tập chương II
Bài 1, khái niệm hàm số được nhắc lại và bổ sung. Trong phần “Những điều
cần lưu ý” của Bài 1, SGV-ĐS10 cho chúng ta thấy rõ những bổ sung và khác biệt
của đối tượng hàm số so với các lớp dưới:
“Học sinh đã được học khái niệm hàm số từ lớp dưới. Trong bài này, khái
niệm hàm số được chính xác hoá thêm một bước. Cụ thể là:
– Đưa vào khái niệm tập xác định của hàm số
– Coi hàm số là một quy tắc, nhờ đó mỗi giá trị của x thuộc tập xác định đều
tương ứng với một số thực y duy nhất”. (SGV-ĐS10, tr69)
Như vậy, ngoài việc chính xác hóa khái niệm hàm số ĐS10 còn giới thiệu tập
xác định của hàm số. Sau đó, ĐS10 đã đề cập đến các cách thường dùng để cho một
Sau những tính chất này, phương pháp đồ thị chính thức được sử dụng để
nghiên cứu sự biến thiên, tính chẵn – lẻ của hàm số.
Ngoài ra, phương pháp đại số cũng ĐS10 giới thiệu, như:
“Để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu của tỉ số
f ( x2 ) f ( x1 )
trên K”.
x2 x1
(ĐS10, tr39)
Vây, SGK ưu tiên sử dụng phương pháp nào (đồ thị hay đại số) để nghiên
cứu hàm số? Câu trả lời của câu hỏi này sẽ được chúng tôi làm rõ trong những phần
sau.
Một nội dung hoàn toàn mới so với những chương trình trước đây mà ĐS10
giới thiệu coi như là “một sự chuẩn bị cho các bài học sau, nhất là bài học về hàm
số bậc hai” chính là Tịnh tiến đồ thị. Phần này, ĐS10 chỉ trình bày sơ lược và rất
trực quan để học sinh có thể hiểu thế nào là tịnh tiến một đồ thị – bằng trực giác.
Sau đó, các kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số
này có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia được thừa nhận:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q là
hai số dương tuỳ ý. Khi đó:
1. Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) + q;
2. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) – q;
3. Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x + p);
4. Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x – p).
(ĐS10, tr43)
Tuy ĐS10 trình bày một cách trực quan cho học sinh dễ hiểu phép tịnh tiến
đồ thị hàm số nhưng khi xác định hàm số có đồ thị là ảnh của một đồ thị hàm số
khác qua phép tịnh tiến cho trước vẫn cần đến các tính toán đại số. Hơn nữa, việc
xác định phép tịnh tiến biến đồ thị của hàm số này thành đồ thị hàm số khác càng sử
a( x 2 2
Do đó, nếu đặt:
b2 4ac , p
b
và q
thì hàm số y = ax2 + bx + c = a(x – p)2 + q.
2a
4a
(ĐS10, tr55)
Như vậy, bằng trực quan không thể dễ dàng xác định được đồ thị (P) của
hàm số y = ax2 + bx + c được suy ra từ đồ thị của hàm số y = ax2. Ở đây, phải sử
dụng đến tính toán đại số để biến đổi biểu thức ax2 + bx + c và xác định phép tịnh
tiến thích hợp biến đồ thị của hàm số y = ax2 thành đồ thị (P) của hàm số y = ax2 +
bx + c. Tuy nhiên, việc vẽ được đồ thị của hàm số bậc hai sau đó đơn giản hơn
nhiều khi kĩ thuật vẽ được ĐS10 “thuật toán hoá”. Từ đồ thị, nhiều tính chất của
hàm số bậc hai cũng được thừa nhận theo đúng “tinh thần” của phương pháp đồ thị.
Các tổ chức toán học:
TTXD: Tìm tập xác định của hàm số
Với các hàm số cho bằng biểu thức giải tích f(x) ta có kĩ thuật tương ứng để
giải quyết TTXD, cụ thể như sau:
Kĩ thuật TXD:
+ Tìm các giá trị của x để f(x) có nghĩa
Copyright: Tài liệu đại học ©