CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đại Phú, ngày

tháng

năm 201..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DỰ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2012 - 2013
II. Nội dung
1. Đặt vấn đề
a. Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 8 Ở TRƯỜNG THCS ĐẠI PHÚ.
b. Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao ) trong các
kỳ thi học sinh năng khiếu cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều
cơng sức của cả thầy và trò. Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả là rất cần
thiết vì khơng những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh
kiên cường, tự tin khi bước vào kỳ thi.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chun đề khó và rộng, chiếm một vị trí
quan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng tốn như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm ngun của phương trình, giải phương trình, chứng
minh chia hết,…Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
nhanh chóng, thơng minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh.
Vì vậy tơi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực
hành thành thạo dạng tốn trên để tăng số học sinh đạt giải, nâng chất lượng giải trong
các kỳ thi chọn học sinh năng khiếu mơn tốn 8 cấp huyện.
c. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
5)Phương pháp tìm mghiệm của đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm ngun của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1

ngun. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:


Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
7) Phương pháp tách hạng tử:
8) Phương pháp đặt biến phụ:
9)Phương pháp hệ số bất định: Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy
ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.

ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng mµ cßn ph¶i dïng mét sè
ph¬ng ph¸p khã h¬n ®ã lµ ph¶i cã thđ tht riªng ®Ỉc trng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng
thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o khi gỈp c¸c d¹ng to¸n khã.
Ngêi thÇy gi¸o trong khi gi¶ng d¹y cÇn rÌn lun cho häc sinh cđa m×nh víi kh¶
n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®ỵc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i
th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, n©ng cao chÊt lỵng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt
trong c¸c kú thi. Tõ ®ã t«i m¹nh d¹n chän ®Ị tµi s¸ng kiÕn kinh nghiƯm " Ph¬ng ph¸p


phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các
phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải
phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
* Kho sỏt thc tin
Khi cha thc hin ti ny, thỡ hu ht cỏc em lm bi tp rt lỳng tỳng, thi gian
lm mt nhiu, thm chớ khụng tỡm ra cỏch gii. thc hin ti ny tụi ó tin hnh
kho sỏt nng lc ca hc sinh thụng qua mt s bi kim tra kt qu nh sau:
Xếp loại
Tổng số HS

2

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

SL


Thụng qua kt qu kho sỏt tụi ó suy ngh cn phi cú bin phỏp thớch hp ging
dy, truyn t cho hc sinh nm vng nhng yờu cu trong quỏ trỡnh gii nhng bi
toỏn v phõn tớch a thc thnh nhõn t. Tụi mnh dn nờu ra mt s bin phỏp di
õy:
* Mt s bin phỏp
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các
quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia
đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các
quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng
nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các phơng pháp thông thờng.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp cả ba phơng pháp kể trên để có thể
phân tích đa thớc thành nhân tử.
Ví dụ1:
Phân tích thành nhân tử.
M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)
(Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a 2b)
Nh vậy M3 đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ
ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa).


2.2) Một số phơng pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích
thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm
các bài toán khó.
+ Phơng pháp tách hạng tử.
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ.


- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới đợc
đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử
chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 7: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm nh sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất)
(nh cách 3)
b) Phơng pháp thêm bớt hạng tử.
1. Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng:
Ví dụ 8:

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 36x2

= (2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 6x + 9)
Ví dụ 9: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 16x2(x4 + 1 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2

= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
t x2 + 10x + 12 = y, a thc cú dng
(y 12)(y + 12) + 128 = y2 144 + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1
Gi s x 0 ta vit
6
1
1
1
x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 x + 2 ) = x2 [(x2 + 2 ) + 6(x )+7]
x
x
x
t x -

1
1
= y thỡ x2 + 2 = y2 + 2, do ú
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

1 2
) + 3x]2 = (x2 + 3x 1)2
x

Chỳ ý: Vớ d trờn cú th gii bng cỏch ỏp dng hng ng thc nh sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1 = x4 + (6x3 2x2 ) + (9x2 6x + 1 )

t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m2 n2
2 2
a3 + b3 = (a + b)[(a b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta cú:
4
3
2
C = (m + c)3 4. m + 3mn 4c3 3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 mn2 + cn2)
4
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12)
(Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)
(đặt nhân tử chung)
D1 = (y 2)(y + 6)
(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phơng pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp đợc nh :
x2 + x + 6 = (x +

1 2
3

( x 2 ) x2 + x + 2

( x3 2x2 ) + ( x2 2x ) + ( 2x 4) = x2 ( x 2) + x(x 2) + 2(x 2)

)

Cỏch 2:

(

) (

)

x3 x 2 4 = x3 8 x2 + 4 = x3 8 x 2 4 = ( x 2)( x2 + 2 x + 4) ( x 2)( x + 2)

(

)

2

2
= ( x 2 ) x + 2 x + 4 ( x + 2) = ( x 2)( x + x + 2)




Vớ d 21. Phõn tớch a thc thnh nhõn t:f(x) = 3x3 7x2 + 17x 5
Nhn xột: 1, 5 khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn.

cú:
x5 2x4 + 3x3 4x2 + 2 = (x 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vỡ x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn
khụng phõn tớch c na
Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 0 do đó loại x = 1
Xét các Ư(2) = 2 có x = -2 là nghiệm của E2
E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)

(Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng
pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử
giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình.
e) Phng phỏp h s bt nh :
+ a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q trong ú p l c ca h s t do, q l
c dng ca h s cao nht
+ Nu f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ f(x) cú mt nhõn t l x 1


+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1


⇒
⇒

a = −2
 a + 3c = −14 ac = 8
bd = 3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
VÝ dô 27

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
 a − 4 = −3
b − 2a = −7 a = 1


⇒ b = −5

c − 2b = 6
c = −4


−
2
c
=
8

bd = 12
b = 6

d = 2
3d b = 12
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a.

x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách).

Gợi ý 4 cách làm.
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1.
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b.

81a4 + 4

(thêm bớt hạng tử)

Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
1c:

(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).



Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử phơng trình trở về phơng trình tích.
3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình
tích giải phơng trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
a)

A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.

Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên
tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong
hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
b)

B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.

Với n là số nguyên dơng tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:

năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa
giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì
ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải
khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán
nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các
cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp


học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn
rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để
tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm
thực hiện tốt chơng trình mới THCS.
b) Kin ngh, xut:
i vi Ban Giỏm Hiu nh trng:
Nhà trờng sắp xếp đảm bảo hợp lý, khoa học và hiệu quả thời gian bồi dỡng cùng
các cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học của các môn.
Chế độ thởng đợc nhà trờng thực hiện kịp thời ngay sau khi có thông báo kết quả
các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, t gii.
Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọc qua các năm và
chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính
chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo.
Nh trng nên xây dựng một cơ chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo
viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm hơn trong giảng dạy
XC NHN CA T CHUYấN MễN

.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................