BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Mỹ Dung

TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN
HÌNH P-ADIC

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh
Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và làm luận văn lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn các thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi
Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp cùng với tất cả các thầy cô khác đã
trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và
sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này.
TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008

Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các trường số p-adic
Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các
chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic

p

,

, xây dựng trường các số phức p-adic

p

.

vành các số nguyên p-adic

p

Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các
chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo.
Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic
Trong chương này trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý
cơ bản của Nevanlinna.
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna p-adic
Trong chương này chúng tôi đưa ra ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna
để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic;
đồng thời giới thiệu một số đa thức và các miền duy nhất của hàm phân
hình p-adic.



,

,

thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường là

chuẩn trên F.
Ngoài ra nếu F là một trường bất kỳ thì
:F 

1 neáu x  0
0 neáu x= 0

x x  

là một chuẩn trên trường F, chuẩn này được gọi là chuẩn tầm thường.
Dễ thấy chuẩn

trên F có các tính chất cơ bản sau:

i/ x  F :  x  x
ii/ 1  1

( 1 là đơn vị của F)
1
1
iii/ x  F , x  0 : x 
x


là một mêtric trên F, gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn
Khái niệm về chuẩn tương đương
Cho F là một trường và
Ta nói
2

1

,

1

tương đương với

2

2

(

là hai chuẩn trên F.
1

2

) nếu tôpô cảm sinh bởi

1

và

sao cho: x 2  x 1 x  F

v/  xn  là dãy Cauchy đối với

  xn  là dãy Cauchy đối với

1

2

1.1.3. Chuẩn phi Archimedean
1.1.3.1. Định nghĩa
Cho F là một trường và

là chuẩn trên F,

gọi là chuẩn phi

Acsimet nếu nó thỏa điều kiện (III’) sau đây:

x, y  F : x  y  max  x , y 
Một chuẩn không phải phi Acsimet gọi là chuẩn Acsimet.
1.1.3.2. Ví dụ

Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới

dạng: m  p m1 với (m 1 ,p)=1,  

*



:

như sau:



0 , x = 0
ord x
x  x p   ord p x
 p
, x0

Khi đó :

p

là chuẩn phi Acsimet trên

( với 0    1 ).

1.1.3.3. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet

là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là

Cho F là một trường và
tương đương:
i/

là chuẩn phi-Acsimet.


( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối

trên

.


Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1 : n 
Gọi n0  min n 

: n 1

/ n  1


Vì n0  1 nên n0  n0 ( =log n0 n0 >0)

Ta viết n trong hệ đếm n0 như sau:
n  a0  a1n0  a2 n02  ...  as n0s (a i  ,0  a i  n0 , as  0, s   log n0 n  )

Khi đó:

n  a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s
= a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s
Do ai  n0 i nên ai  1 ( theo cách chọn n0 ). Suy ra:


1

Như vậy ta đã có: 

 n0  n0

 n0s 1  n  (n0s 1  n)

Suy ra  s 1
 ( s 1)
 n0  n0

(1)


Vậy :

n  n0s 1  n0s 1  n  n0 ( s 1)  (n0s 1  n)

 


1
 n0 ( s 1)  ( n0s 1  n0s )  n0 ( s 1) 1   1   
  n0  


 
1 
( s 1)
 c.n
Đặt c  1  1    thì n  c.n0



n
n
n
 m  m

Vậy:
Trường hợp 2: n  1, n 
Gọi n0 là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0  1
Giả sử n0 không là số nguyên tố. Khi đó:
n0  n1.n2 (n1 , n2  n0 )

Do cách chọn n0 nên n1  n2 =1 . Suy ra n0  1 (vô lý)
Vậy n0 = p là số nguyên tố.
Ta sẽ chỉ ra rằng q  1 với mỗi số nguyên tố q khác p.
Thật vậy :


Giả sử tồn tại q  : q  1 (q là số nguyên tố)
Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có :
qN  q
pM  p

N

1
2
1


m
n

Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác
p nên chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1. Vì thế:
m  n  1  x    

Vậy:

p

ord p x

■


1.2. Trường các số p-adic

p

và vành

Theo định lý Ostrowsky, trên

p

chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối

thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimede



dưới đây.
p

và vành

Ký hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỷ theo

p

p

Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:

xn  yn p  0
 xn   yn   lim
n 
Ta gọi

p

là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên:

p

S 

Trang bị cho

p


n

, ,.) là một trường, trường này gọi là trường các số

.

Chuẩn

p

trong

Cho  xn  
Rõ ràng

p

p

được mở rộng trong

(  xn  là dãy Cauchy trong

p

như sau:
xn
): x =  xn  : x p  lim
n 


lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic.

1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành

i/
ii/
iii/

p

p

là vành chính, mọi iđêan của

p

là tập compắc đối với chuẩn

p

p

p

,

p

có dạng là p m

Vì thế I  p m

p

(1)

Với bất kỳ x thuộc p m
x  p mc  a(

p

pm
.c )
a

p

, ta có:

(c 

p

)

mà : a  I
pm
pm
pm


Từ (1) và (2) ta có I  p m
Vậy idean I của

p

p

.

được sinh bởi phần tử p m và do đó

p

là vành

chính.
ii/ Giả sử  xn  là một dãy tùy ý trong

p

và:

x1  a01  a11 p  a21 p 2  ...
x2  a02  a12 p  a22 p 2  ...
..........................................
xn  a0 n  a1n p  a2 n p 2  ...
(0  ain  p  1; i  0,1, 2,...)

Xét các phần tử a0n (n= 1, 2,…) ta thấy các phần tử này nhận các giá
trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại b0  0;1; 2;...; p  1


là tập compắc đối với chuẩn

p

là tập compắc nên với mọi a thuộc

compắc của a trong

p

. Vậy

p

1.3. Trường các số phức p-adic

Làm đầy đủ
thực

p

p

.

,a+

trường số phức


p

p

là

;

p

p

đầy đủ

. Giá trị

được xây dựng như sau:

p

p

■

.

Làm đầy đủ

Với  



. Do đó tồn tại một đa thức

p

) bất khả quy nhận  làm


Ta chứng minh được
p



p

trên

Trường

p

p

p

là một giá trị tuyệt đối trên

và

.

đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức
phức.

p

p

đóng đại số,

trong giải tích


Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai
định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic.
2.1. Các hàm đặc trưng
2.1.1. Các khái niệm cơ bản

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức có hệ số trong




z
f
(
z
)
an z n / an 




n 
,
a
0


 ( r > 0)
p
n p

p

 z  . Chú ý rằng nếu



f ( z )   an z n  A r (

p

n 1

Dr 

p

0, r    z 



trên D, M(D) là trường các thương của Ή(D)
Một phần tử f thuộc M(D) được gọi là hàm phân hình trên D.
Ta ký hiệu M  (

p

) là:


g
)   / g, h A  (
h

M(

p

Cho f  M  (

p

p


) ,h  0 


) ( 0     ). Khi đó có g, h  A  (


iii/  (r, f 1 .f 2 ) =  (r, f 1 ).  (r, f 2 )
2.1.2. Các hàm đặc trưng

Cho f(z) =



a z

nm

Ký hiệu n(r,
n (r,

n

n

A  (

p

) ( 0
t

( 0  0  r )

1
)
f a
dt
t

N Ram (r; f) = 2N(r; f) – N(r; f’) + N(r;

1
)
f'

p

p

p

0, r  và

0, r  . Ta định


Cho f  M  (

p

 n( r , 1 ) : a  

f1  af 0
1

 N (r , f )  N (r , f ) : a  

0
1
N (r ,
)= 
f a
 N (r , 1 ) : a  

f1  af 0
m(r,f) = log   (r,f) = max 0; log  (r,f)



T(r,f) = m(r,f) + N(r,f)
1
1
N (r ;
)
)
f a
f a
 f (a )  lim inf
 1  lim sup
r 

Cho f  M (

p

) khác hàm hằng và a 

  , ký hiệu  f ( z0 ) là số
a

p

bội của 0-điểm f – a tại z 0 . Nghĩa là,  af ( z0 ) = m khi và chỉ khi:


a  ( z  z0 )m h( z ) : a  

f ( z )   h( z )
:a  
 ( z  z )m
0


với h(z 0 )  0; 

Định nghĩa:



E f (a)  ( af ( z ); z ) / z 



 af ( z ) :  af ( z )  k
( z)  
:  af ( z )  k
k

a
f ,k

1
( z)  
0









E f ( a, k )  z 

và 

: 0   af ( z )  k
:  af ( z )  k v  af ( z )  0
p

a

)    af ,k ( z ) và N k (r ;
)   nk (t ;
)
f a
f  a 0
f a t
z r

r
1
1
1 dt
a
n( k (r ;
)    f ( k ( z ) và N ( k (r ;
)   n( k (t ;
)
f  a 0
f a t
f a
z r
r
1
1
1 dt
a
)    f ,k ( z ) và N k (r ;
n k (r;
)   n k (t ;
)


p

) , 0  0  r
p

) (i = 1; 2; 3;…,k ). Khi đó với r > 0 ta có:


 k  k
T  r ,  fi    T (r , fi )
 i 1  i 1
 k
 k
T  r ,  fi    T (r , fi )
 i 1  i 1

T(r,f) là hàm tăng đối với r.
2.1.3.5. Bổ đề

Cho f , a j  M (

p

) , (j=0,1,...,k),a k  0 . Ta định nghĩa:
k

A  f ( z )  A( z , f ( z )) =  a j ( z ) f

j

j 0

Nếu f khác hàm hằng thì ta có:

 k

T (r , A  f )  kT (r , f )  O   T (r , a j ) 
 j 0



2.2. Hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic
2.2.1. Định lý (định lý cơ bản thứ nhất)

Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong
Khi đó với mọi a thuộc
m(r,

p

p

 0,  

(0

1
1
) + N(r,
) = T(r,f) + O(1)
f a
f a

( r )
Trước khi vào nội dung chính của định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết
Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :
2.2.2. Bổ đề


Cho chuỗi lũy thừa f(z) =

a z
n 0

và phần tử z 

p

n



p

 z  có bán kính hội tụ   0

Giả sử g(z) =

 na z

n 1

n

n 1

.

Theo định lý Ostrowsky, định lý về các điều kiện tương đương của
chuẩn và định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phiArchimedean, ta có:
 



, n 

:

1
1

 n p 1
n n p
1
n


hội tụ.
Trong trường hợp f(z) hội tụ trong
trường hợp f(z) hội tụ trong

p

1
n 
an z n 
 0 . Vì thế, g(z)
p
zp
p

0;  , ta chọn R=  ; trong

 0;   , ta chọn R sao cho

z p  R   ; nếu z

 0 thì ta chọn h sao cho h p  z p  R ; nếu z = 0 thì ta chọn h sao cho

h p  R . Do đó:





z  h p  max z p ; h p  R
f ( z  h)  f ( z )  n n

r

2.2.3. Định lý (định lý cơ bản thứ hai )

Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong
a1 ;...; aq là các số phân biệt trong

p

 0,  (0

Lấy bất kỳ r’ 

p

với 0  r '   .

Do f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong

f 0 ; f1  A r ' (

p

) không có nhân tử chung sao cho f =

Đặt F o  f 0 , F i  f1  ai f 0 (i = 1; 2; …;q)

p

 0, 

f1
.
f0

nên tồn tại