Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP CỘNG VẬN TỐC
TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA CHUYỂN ĐỘNG – VẬT LÍ THCS
Tác giả:
- Họ và tên: Triệu Như Vũ
- Chức vụ: Giáo viên
- Đơn vị công tác: Trường THCS Tam Dương

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
II.Mục đích chuyên đề:
Trong phần trong phần chuyển động cơ học, nghiên cứu về chuyển động
của các vật, thường có những dạng bài tập xác định khoảng cách, thời gian hay
vận tốc lớn nhất hay nhỏ nhất của các vật trong quá trình chuyển động, để giải
quyết các bài tập này hầu như học sinh và giáo viên thường vận dụng phương
pháp lập phương trình chuyển động.
Tuy nhiên trong một số bài toán cụ thể cần khả năng tư duy cao, nếu dùng
dùng phương pháp lập phương trình chuyển động thì bài toán dài dòng, phức
tạp. Thực tế qua một số năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý lớp 8

+

9, ôn luyện học sinh thi vào lớp 10 chuyên lý tôi nhận thấy có thể giúp học sinh
sử dụng cộng thức cộng vận tốc vào trong bài toán cực trị của phần chuyển động
cơ học để giải quyết các yêu cầu của bài toán đưa ra một cách nhanh, gọn và
thuận tiện, đồng thời giải quyết được các khó khăn đã nêu trên.
II. Mục đích chuyên đề:
- Giúp học sinh hiểu, khắc sâu thêm phần lí thuyết đã học và đặc biệt là giúp học
sinh nắm được phương pháp giải bài tập tìm cực trị trong chuyển động cơ học Vật lí THCS nói riêng và bài tập tìm cực trị trong chương trình vật lí trung học
cơ sở nói chung.
Page 1

chiếu khác nhau thì khác nhau.
- Công thức cộng vận tốc
Page 2


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi




v13 = v12 + v 23


v13 : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

v12 : vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

v 23 : vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)


v13 = −v31


v12 = −v 21


v 23 = −v32

1.3. Hệ quả:


A

2.2. Hàm số lượng giác của góc nhọn:
Theo (H-1):

C
(H-1)

AC
AB
AC
AB
; CosB =
; tgB =
; CotgB =
BC
BC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
SinC =
; CosC =
; tgC =
; CotgC =
BC
BC
AC

C


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
2.5. Công thức cộng góc:
Cos (α ± β ) = C os α .C os β msin α .sin β
Sin(α ± β ) = Sinα Cos β ± Cosα .Sinβ
2.6. Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: Sin(90 0 − α ) = Cosβ với α + β = 90 0
II. Nội dung bài tập:
1.1. Các bài tập ví dụ:
Bài 1:(Bài tập lí thuyết)
Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau,
tốc độ lần lượt là v1 và v2( Hình vẽ)
a. Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với

y

x

chất điểm 2


v1
A

b. Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng
cách ngắn nhất giữa hai chất điểm trong quá
trình chuyển động.


A→ B có V1 = 24km/h. Còn chiếc ca nô chạy từ B vuông góc với bờ có vận tốc
18km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô
Page 4


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A → B với V3 =
6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi) (Trích đề thi chuyên lý vào).
Giải
Theo đề bài ta có hình vẽ.
Do dòng nước chảy từ từ A →B với
vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động

H

xuôi dòng vận tốc của nó là :

V21

V2

V’2

Vx = V1 + V3 = 24 + 6 = 30km/h
α

- Canô 1 xuất phát từ B nhưng do bị nước
đẩy ta có hướng của vận tốc V2' như hình vẽ.

A

= 0,6 (2)
Và Sin α = V =
30
21

Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sinα = 1.0,6 = 0,6(km)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là
0,6km.
Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình chuyển động. Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau. Về bản
chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi
Page 5


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
theo thời gian. Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1
hàm của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Còn bài 3 ta
cũng có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh
tham khảo. Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc
và hình học. Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ
chuyển động so với vật, 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào
hình học phải là đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2.
Bài 3:
Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng
tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một thời
điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và
4km và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe.
Giải
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so
với vật 2, ta có:



Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

-Tại A cách O đoạn s1=500m dựng véc tơ



v1 và véc tơ - v 2 , và v12 . Kẻ đường AB

vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ v12

( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất
dmin= AB)
v

2

1
tan α = v = 3
2

⇒ BO =



Page 7


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc
α =300 với tốc độ v 2 =

v1
3

và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm

khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm một đoạn d 1= 30 3
m. Hỏi vật 2 cách giao điểm một đoạn
bao nhiêu?
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1
so 2 ta có



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

BA ⊥ v12 , dmin = AB

Vì v 2 =

v1


 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

dmin = AH = AB.sin β
v21= v12 + v 22 + 2v1v2 cos(180 0 − α ) =
v12 + v 22 + 2v1v 2 cos α

- Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
BM
BN
BN
=
=
0
sin β sin(180 − α ) sin α
⇒

v2
v
v
= 12 ⇒ sin β = 2
sin β sin α
v12

⇒ d min =

lv 2 sin α
v12 + v 22 + 2v1v 2 cos α


a 2 + b2

*/ Nhận xét:

Page 9


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình,
rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài
hơn!
Bài 9:
Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận
tốc v1 = 54km/h. Một hành khách cách ô tô đoạn
a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn
đón ô tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng
nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón
được ô tô?
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 2 so
vật 1, ta có:



 
v 21 = v 2 + (−v1 ) = v 2 − v1


Để 2 gặp được 1 thì v 21 phải luôn có
hướng AB.

C

H

B


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
a. Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A. Sau bao lâu kể từ
lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
b. Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1 ) thì các độ lớn vận tốc

v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?

A

Giải:
a. Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA góc β .
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v1.t,

BM = v2.t

v1

- Trong tam giác ABM:
AM

BM

vt


(1)

- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc β thỏa mãn (1)
- Cos θ = cos[1800 – ( α + β ) ] = - cos( α + β ) = sin α . sin β − cos α . cos β
- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 . Tại thời điểm ban đầu v21 cùng
phương chiều với BA . Theo công thức cộng vận tốc:
v21 = v23 − v13 = v2 − v1

=> v212 = v22 + v12 − 2v2v1 cos θ
=> v 212 = v22 (sin 2 β + cos 2 β ) + v12 (sin 2 α + cos 2 α ) − 2v1v2 (sin α . sin β − cos α . cos β )
=( sin 2 β .v 22 − 2 sin α sin β .v1v 2 + sin 2 α .v12 )+( cos 2 β .v22 + 2 cos α cos β .v1v2 + cos 2 α .v12 )
=( sin β .v2 − sin α .v1 ) 2 +( cos β .v2 + cos α .v1 ) 2
= ( cos β .v2 + cos α .v1 ) 2

( theo (1) )

=> v21 = v1. cos α + v2 cos β
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
AB

l

t = v = v cos α + v cos β
21
1
2

Page 11



AB

t1 = v = 2 2
v1 − v0
1
*Xét người thứ hai:
Vận tốc của người thứ hai đối với bờ
  


v 2 = v ' + v0 , do v ' ⊥ v 0 ⇒ v 22 = v' 2 + v02
AC

AB

AB
Thời gian đến C là t20= v = v cos α =
v'
2
2

Thời gian chạy trên bờ:

t’20=

BC v0 .t 20 v 0 . AB
=
=
u

= 3km / h

Bài 12:
Một người đứng ở A cách đường quốc lộ h=100m nhìn thấy một xe ô tô
vừa đến B cách mình d=500m đang chạy trên đường với vận tốc v 1=50km/h
(hình vẽ). Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC ( ∠BAC = α )
với vận tốc v2.
a. Biết v 2 =

20
3

km/h. Tính α

b. α bằng bao nhiêu thì v 2 cực tiểu? Tính vận tốc cực tiểu đó.
Giải:
A
∝

d

uu
r
v2

h
β

B


v1.h
(3)
v2 .d

3
⇒ α = 600 ; α = 1200
2
Page 13

h
(2)
d


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

v1.h
(*) Ta thấy v1, h, d không đổi nên v2 min khi
d .sin α
sin α = 1 → α = 90 0
h.v
Lúc đó: v2(min) = 1 = 10km / h
h
b. Từ (3) => v2 =

1.2. Bài tập vận dụng:
Bài 1:
Một người A đi xe đạp trên đường
thẳng Ox theo chiều từ trái sang phải,




Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài 3:
Trong hệ trục toạ độ xOy (như hình
vẽ), có hai vật nhỏ A và B chuyển động thẳng
đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A cách vật
B một đoạn L=100m. Biết vận tốc của vật A

y

u
r
v1

A

u
u
r
v2

O

x

là v1=10m/s theo hướng Ox, vận tốc của vật B
là v2=15m/s theo hướng Oy.

B

3

Bài 5: ( Kỳ thi chọn HS giỏi NH 06-07, vật lí 9)
Một ghe máy có vận tốc khi nước yên lặng là 6km/h đi xuôi dòng từ bến
A đến bến B cách nhau 12km. Cùng lúc đó có một thuyền máy ngược dòng từ B
đến A, vận tốc thuyền máy khi nước yên lặng là 10km/h, sau khi gặp nhau
chúng quay lại và trở về bến xuất phát của mình. Hỏi rằng vận tốc của dòng

Page 15


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
chảy ít nhất là bao nhiêu để cho ghe máy về lại bến A không sớm hơn một giờ
sau khi thuyền máy về đến bến B.
PHẦN III – KẾT LUẬN
Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có nhiều cách giải khác, tuy
nhiên khi áp dụng công thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn gọn, đơn
giản hơn. Tất nhiên trong một số bài cụ thể thì cần kết hợp các phương pháp
khác.
Đề tài này tôi đã tiến hành thử nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh ở lớp 8,9, đối tượng là học sinh khá, giỏi, kết quả cho thấy
tương đối khả quan, hầu như các các em đều biêt vận dụng giải và thu được kết
quả nhanh. Vì vậy đề tài này theo tôi là có tính khả thi.
Trong khi viết chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các
bạn đồng nghiệp đóng góp thêm các ý kiến đê chuyên đề hoàn thiện và có hiệu
quả hơn. Tôi xin chân thành cám ơn!
Người thực hiện:

Triệu Như Vũ