BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

NGUYỄN THỊ THANH NGA

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

NGUYỄN THỊ THANH NGA

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN.


2

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong
lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào
đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài toán
này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm của bài toán không
phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. Trong thực hành, dữ kiện có được
dựa trên các đo đạc vật lý mà mọi phép đo đều không thể tránh khỏi các
sai số. Do tính đặt không chỉnh, một sai số nhỏ trong dữ kiện cũng có thể
gây ra một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán. Điều này gây ra một khó
khăn lớn trong việc giải số với dữ kiện bị nhiễu. Để vượt qua khó khăn
này, chúng ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán.
Cho tới nay đã có rất nhiều bài báo viết về phương trình parabolic
ngược thời gian. Tuy nhiên, hầu hết các bài báo đó dành cho phương
trình tuyến tính. Rất ít bài báo dành cho phương trình phi tuyến. Đặc
biệt, các bài báo dành cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời
gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu
về việc chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ
số phụ thuộc thời gian, trên cơ sở các bài báo [5], [3] và [4], chúng tôi lựa
chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Một số kết quả chỉnh hóa
cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian
với hệ số phụ thuộc thời gian".


3


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày
Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [1] và [2].

1.1

Không gian Banach, không gian Hilbert

Cho X là không gian tuyến tính thực.
1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn nếu
(i) u

0, ∀u ∈ X ;

(ii) u = 0 nếu và chỉ nếu u = 0;
(iii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R;
(iv) u + v

u + v , ∀u, v ∈ X . Không gian tuyến tính trang

bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian
Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.
1.1.2 Định lý. Ánh xạ chuẩn x → x là một hàm liên tục đều từ X
vào R.
1.1.3 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh
xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K × X vào X là
liên tục.

1.1.8 Định nghĩa. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert
H . Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M ,

trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M . Nếu N là tập con của E sao cho
x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M .

Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N .
Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } và gọi nó là phần bù trực giao
của M .
1.1.9 Bổ đề. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập
tuyến tính.
1.1.10 Bổ đề. Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H
thì M ⊥ là một không gian con đóng của E .


6

1.1.11 Định lý. Giả sử F là một không gian Hilbert con của không
gian Hilbert H . Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi
là hình chiếu trực giao của x trên F ) sao cho x − y = d(x, F ) =
inf x − y .

y∈F

Điểm y hình chiếu trực giao của x trên không gian con F thường được
kí hiệu là PF (x). Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F ,
ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F .
1.1.12 Định lý. Giả sử F là không gian con Hilbert của không gian
Hilbert H . Khi đó H = F ⊕ F ⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F
là ánh xạ tuyến tính, liên tục.

λi ei hội tụ trong H .
i=1

1.1.15 Định lý. Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩn
đếm được {en }. Khi đó
∞

x, ei ei với mọi x ∈ H (chuỗi Fourier).

a) x =
i=1

∞

x, ei y, ei với mọi x ∈ H, y ∈ H (Đẳng thức Parse-

b) x, y =
i=1

nal).


7

1.1.16 Định lý. Nếu {en } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hlbert H thì các điều kiện sau đây là tương đương :
a) Dãy {en } đầy đủ;
∞

x, ei ei với mọi x ∈ H ;

Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh
hóa

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ d : X ×X →
R thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y ,
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ,
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được gọi
là một không gian mêtric.
1.2.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh
xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử
x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0 ) = f .

Đặt
R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}.


8

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =
x ∈ X, ∀f ∈ R(A). Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình
A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng

phương trình x = R(f ).
1.2.3 Định nghĩa. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) của phương trình A(x) = f được gọi là ổn định
trên cặp không gian (X, Y ) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài
toán) nếu ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) thì
dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε.

2

∞

(cn − an )2

ε1 =
n=0

∞

=ε
n=1

1
n2

1
2

=ε

π2
.
6


9

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có


=
n=0

= ε1

∞
n=0

1
2
(cn − an ) cos(nt)|2 dt


π
(cn − an )2
2

1
2

π
2

Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ
cn với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau

không nhiều trong L2 [0, π].
2) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂ 2u ∂ 2u

u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét

trong độ đo đều ta có
dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0
x

1
dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = .
a
x

Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup |
x,y

x,y

1
1
sin(ax)sh(ay)|
=
sh(ay),
a2
a2

Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.
1.2.6 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một toán tử từ
không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm trong một tập compăc

thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước
i) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α),
ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài
toán về phần tử fδ và sai số δ .
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương
pháp chỉnh hóa.
1.2.8 Ví dụ.

1) Tính giá trị z =

df (t)
dt

trong C, khi f (t) cho xấp xỉ.

Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân
f (t + α) − f (t)
.
R(f, α) =
α
Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t)
R(fδ , α) =
+
.
α
α
Cho α → 0,
f (t + α) − f (t)


2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó. Giả sử
ϕk (t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup |ϕk (t)| ≤ C0 và hệ số Fourier
t∈[a,b]

a = (a1 , a2 , ....) của hàm
∞

f (t) =

ak ϕk (t)
k=1


12

được cho xấp xỉ bởi c = (c1 , c2 , ...) sao cho
∞

(ak − ck )2 ≤ δ 2 .
k=1

Khi đó không thể coi

∞

f˜(t) =

ck ϕk (t)
k=1


n(δ)

ck ϕk (t0 )| ≤ |
k=1

∞

(ak − ck )ϕk (t0 )| + |
k=1

n(δ)+1

∞

Vì chuỗi

ak ϕk (t0 )|.

∞

ak ϕk (t0 ) → 0, khi

ak ϕk (t0 ) hội tụ nên phần dư
k=1

k=n(δ)+1

n(δ) → ∞. Ngoài ra,
n(δ)


≤ C0

n(δ)δ 2

= C0

[

η(δ)
]→0
δ2

1
2


k=1
n(δ)



khi δ → 0.

n(δ)

1
2




Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho
ut + A(t)u = f (u),
u(T ) − f
ε,

0 < t < T,

(2.1)

với A(t) là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương
trên không gian Hilbert H và f thuộc H .
Mặc dù đã có rất nhiều kết quả đánh giá ổn định nghiệm, cũng như các
kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic tuyến tính hay parabolic phi
tuyến ngược thời gian với hệ số hằng, các kết quả chỉnh hóa cho phương
trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian vẫn còn
ít. Đặc biệt các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến
ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm.


15

Vào năm 2012, các tác giả P. H. Quan, L. M. Triet và D. D. Trong ([3])
đã đề xuất kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến ngược
thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. Họ đã xét bài toán

ut − a(t)uxx = f (x, t, u), x ∈ [o, π] 0 < t ≤ T,
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],

u(x, T ) = g(x),

uδ (0, t) = uδ (π, t) = 0,

∞
2


e−k λ(T )

u
(x,
T
)
=
g sin(kx),
 δ
αk (δ)+e−k2 λ(T ) k

(2.3)

k=1

trong đó
π

2
fk (u)(s) =
π
2
gk =
π


T
t

2

ek (λ(s)−λ(t)−λ(T ))
fk (uδ )(s)ds sin(kx)
2
αk (δ) + e−k λ(T )
(2.4)


16

Sau đó họ chứng minh được rằng, nếu uδ và vδ là 2 nghiệm của (2.4) với
các giá trị cuối tương ứng là g và gδ thì
uδ (·, t) − vδ (·, t) ≤

√

2 2
λ1 T (T −t)

2λ1 eL

δ λ(t)/λ(T ) ln

λ(T )
δ


2

uxx (·, 0) < ∞,
×

λ(s)

(us (x, s) − a(s)uxx (x, s))|2 dxds < ∞, ∀t ∈ [0, T ).

k=1

Nếu uδ là nghiệm cho bởi (2.4) với dữ liệu nhiễu gδ thì
u(·, t) − uδ (·, t) ≤ C(t)δ λ(t)/λ(T ) ln

trong đó C(t) =

√

2 2
λ1 T (T −t)

2λ1 eL

+

λ(T )
δ

λ(t)−λ(T )


1
Pε (x, t) = √
2π
1
Kε (x, t, uε ) = √
2π

eξ

2

−∞
∞

(η(T )−η(t))

T

eξ
−∞

2

F (g)(ξ)χ[−aε , aε ](ξ)eiξx dξ,

(η(T )−η(t))

F (ϕ(uε , uεx , uεxx ))(ξ, s)ds×



(2.6) tương ứng với dữ kiện cuối g, gε thì
√ 2
uε (·, t) − vε (·, t) H 2 (R) ≤ 2eaε (η(T )−η(t))

R(aε )eK

Sau đó họ đã chỉ ra tốc độ chỉnh hóa bằng định lí sau

2

T 2 R(aε )

ε.


18

2.1.2 Định lý. ([4]) Đặt uε là nghiệm của bài toán (2.6) tương ứng
với dữ kiện cuối là g trên L2 (R) và u là nghiệm chính xác của bài toán
(2.5) thỏa mãn
4+α

e2m |ξ|

Cα,m = sup

|F (u)(ξ, t)|2 dξ, t ∈ [0, T ]


3K 2 T 2 4+α
) α
m

H 2 (R)

≤

−1

, ee }, thì chúng ta đạt được
Cα,m

1
ln( 1ε )

η(t)+ m
2

với mọi t ∈ [0, T ).
Các tác giả trong [4] đã chỉnh hóa được cho bài toán (2.5) với hệ số phụ
thuộc cả không gian, thời gian và đưa ra đánh giá trong chuẩn ·

H 2 ( R) .

Tuy nhiên điều kiện áp đặt lên nghiệm khá mạnh. Hơn nữa tốc độ được
chỉ ra trong phần (ii) của Định lí 2.1.2 có dạng Logarithm chứ không phải
dạng H¨older.

2.2

và phép biến đổi Fourier ngược F −1 : L2 (R) → L2 (R) là
1
F −1 (υ)(ξ) := υˇ(ξ) = √
2π

eiξx υ(x)dx.
R

Chúng tôi giả sử rằng limx→∞ a(x, t) = k(t) và đặt b(x, t) = a(x, t) − k(t).
Khi đó |b(x, t)| ≤ 2q .
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier và Fourier ngược ta thấy
nghiệm của bài toán (2.7) có dạng
u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u)

(2.9)

∞

1
P (x, t) = √
2π

eξ

(η(T )−η(t))

F (u(·, T ))(ξ)eiξx dξ

−∞
∞

2.2.1 Định nghĩa. Hàm Dν (x) =

sinνx
được gọi là nhân Dirichlet.
x

Nhân Dirichlet có tính chất
2
Dν =
π

1
0

trên [−ν, ν],
ngoài đoạn [−ν, ν].


20

2.2.2 Định nghĩa. Nếu υ ∈ H s (R), s ≥ 0, chuẩn của υ được định
nghĩa bởi
υ

H s ( R)

|υ(ξ)|2 (1 + ξ 2 )s dξ

:=



1
Kν (x, t, u) = √
2π

T

eξ
−∞

2

(η(s)−η(t))

F (Sν (ϕ(uν )))(ξ, s)dseiξx dξ

t

với
Sν (f )(x) =

1
1
Dν ∗ f =
π
π

Dν (y)f (x − y)dy.
R


H 2 (R)
2

T

(1 + ξ 2 )2

=

eξ

2

(η(s)−η(t))

(F (Sν (ϕ(u))) − F (Sν (ϕ(v)))) ds dξ.

t

R

Chú ý rằng
trên [−ν, ν]
ngoài đoạn [−ν, ν].

f
0

F (Sν (f )) =


e

(1 + ν )
|ξ|≤ν

(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ

t

(1 + ν 2 )s eν

≤

(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ

t

2

2

T
η(T )

(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ

|ξ|≤ν

t
T

(ϕ(u) − ϕ(v))
t

2
L2 (R) ds

2
L2 (R) ds.

Từ ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u) và áp dụng các bất đẳng thức (a + b)2 ≤


22

2a2 + 2b2 và (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ), ta có
2
H 2 (R)
2 2 2ν 2 qT

G(u) − G(v)
= (1 + ν ) e

(T − t)

T

| (b(x, s)(uxx − vxx ) + (f (x, s, u) − f (x, s, v)) |2 dxds

×
t


23
T

2 2 2ν 2 qT 2

≤ 8(1 + ν ) e

|(uxx − vxx )|2 dxds

q (T − t)
t

+ 2L2 (1 + ν 2 )2 e2ν

2

qT

R

(T − t)×

T

(|u − v| + |ux − vx | + |uxx − vxx |)2 dxds

×
t


R

≤ 2C(1 + ν 2 )2 e2ν

2

qT

(T − t)×

T

(|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds

×
t

R

= 2C(1 + ν 2 )2 e2ν

2

qT

(T − t)

T

×

F (u − v)
t

2
L2 (R)

2 2 2ν 2 qT

= 2C(1 + ν ) e

+ F (ux − vx )

2

(1 + ξ + ξ 2 )|u − v|

(T − t)

2

qT

ds

dξds

R

(1 + ξ 2 )2 |u − v|2 dξds


≤ 8C(1 + ν 2 )2 e2ν

2
L2 (R)

2
H 2 (R) ds

(T − t)T | u − v |2 .

Vậy với k = 1 thì (2.11) đúng. Giả sử (2.11) đúng với k = m, ta sẽ chứng
minh (2.11) đúng với k = m + 1. Ta có
Gm+1 (u) − Gm+1 (v)

H 2 ( R)

= G(Gm (u)) − G(Gm (v))

2
H 2 (R)