THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1. Tên sáng kiến : “ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán Trung học phổ thông.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ tháng 10 năm 2013 đến tháng 5 năm 2015
4. Tác giả:
Họ và tên: NGUYỄN THỊ MAI
Năm sinh: 1978
Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán
Chức vụ công tác: Giáo Viên
Nơi làm việc: Trường THPT Trần Hưng Đạo -TP. Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Trần Hưng Đạo -TP. Nam Định
Điện thoại: 0943.201.268
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến
Tên đơn vị: Trường THPT Trần Hưng Đạo -TP. Nam Định
Địa chỉ : 75/203 Đường Trần Thái Tông - Phường Lộc Vượng
Thành Phố Nam Định.
Điện thoại : 03503.847.042

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
1


MỤC LỤC

I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến.......................................................3
II. Mô tả giải pháp
II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến.........................................4
II.2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến..................................................5
A. Một số kiến thức liên quan....................................................................5

biệt là ứng dụng lượng giác trong việc giải các bài toán đại số, hình học, giải tích.
Thực tế một số bài toán đại số, hình học, giải tích nếu sử dụng các phương pháp
thường dùng nói trên học sinh gặp không ít khó khăn, nếu ta để ý phân tích bài
toán ta có thể nhận thấy ngay một số bài toán có thể đưa về sử dụng lượng giác để
giải và kết quả thu được lời giải gọn, đẹp hơn, dễ thực hiện hơn.
Nhằm nâng cao năng lực giải quyết các bài toán đại số, giải tích và một số
bài toán liên quan đến đường tròn, elip. Đồng thời phát triển tư duy tìm hiểu các
mối liên hệ giữa các lĩnh vực khác nhau của Toán học cho học sinh tạo ra cho học
sinh sự hứng thú , kích thích niềm say mê , tính sáng tạo trong học tập bộ môn
Toán , tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN ” và áp dụng trong giảng dạy cho học sinh trong năm học 2013 – 2014 và
năm học 2014-2015.

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
3


II - MÔ TẢ GIẢI PHÁP
II.1 . MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN .
Học sinh phổ thông được làm quen với bài toán : giải hệ phương trình , giải phương
trình vô tỉ, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán về đường tròn, elíp khá sớm từ
lớp 9, lớp 10. Đến sau khi học xong chương trình lớp 12, học sinh đã được trang bị
khá nhiều kĩ năng giải quyết các bài toán trên . Tuy nhiên với lượng kiến thức nhiều,
các dạng bài tập phong phú làm cho học sinh gặp không ít khó khăn trong việc giải
các dạng toán trên. Trong chương trình toán trung học phổ thông mảng lượng giác
cũng tương đối dài nhưng mới chỉ đề cập đến giải các phương trình lượng giác là
chủ yếu và đa số học sinh cũng chưa biết vận dụng kiến thức về lượng giác để giải
quyết các bài toán khác. Mà thực tế một số bài toán khi sử dụng phương pháp lượng
giác để giải ta có được lời giải gọn, đẹp, học sinh dễ phát hiện ra hướng giải quyết.
Khảo sát trên lớp 11A1: Yêu cầu học sinh giải phương trình:

1
π
(α ≠ + kπ , k ∈ Z )
2
cos α
2

1 + cot 2 α =

1
(α ≠ kπ , k ∈ Z )
sin 2 α

tan α .cot α = 1 (α ≠

kπ
,k ∈Z)
2

Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos( −α ) = cos α

cos(π − α ) = − cos α

sin( −α ) = − sin α

sin(π − α ) = sin α


π
− α ) = sin α
2

π
− α ) = cot α
2

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
5


cot(

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a.cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b) ]
2

π
− α ) = tan α
2

Công thức biến đổi tổng thành tích
a +b
a −b
cos a + cos b = 2cos
.cos
2


a+b
a−b
.sin
2
2

2. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
a >1

Phương trình vô nghiệm
* Nếu số thực

cos x = a

a ≤1

cos α = a

α

thỏa mãn
 x = α + k 2π
cos x = cos α ⇔ 
 x = −α + k 2π

* Hoặc

 x = arccos a + k 2π
cos x = a ⇔ 


a∈R

α
tan α = a
* Nếu số thực
thỏa mãn
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ
* Hoặc
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ

cot x = a

a∈R

α
cot α = a
* Nếu số thực
thỏa mãn
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ
* Hoặc
cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ

3. Phương pháp giải một số phương trình lượng giác đơn giản.

*
*

Nếu
Nếu

a + b2


b
sin α =

a 2 + b2
Đặt
Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
7


c

sin( x + α ) =

a + b2
2

Ta có phương trình
cos x = 0
Xét
*
cos x ≠ 0
Xét
*

a sin 2 x + b sin x.cos x + c.cos 2 x = 0
(2)


2

a(sin x − cos x) + b sin x.cos x + c = 0
(4)

phương trình (3) trở thành
1− t2
a.t + b.
+c =0
2

B. NỘI DUNG
1. Cơ sở của phương pháp.
1.1.Áp dụng với Đại số và Giải Tích
Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
8


x ≤1


Nếu

thì có một số t với

 −π −π 
t∈ ; 
 2 2 

và một số y với

y ∈ ( 0; π )
x = cot y
và một số y với
sao cho




Nếu

Nếu :

x y

,

thì có một số t với

là hai số thực thỏa:

x2 + y2 = 1

,
0 ≤ t ≤ 2π

x = sin t , y = cos t

thì có một số t với
sao cho
Từ đó ta có phương pháp đưa bài toán đại số về bài toán lượng giác như sau.


x = cos y

x = cos y

với

, với

y ∈ [ 0; π ]
 π
y ∈ 0; 
 2

x2 + y 2 = 1
x = sin t , y = cos t
0 ≤ t ≤ 2π
x y
 Nếu : , là hai số thực thỏa:
thì đặt
với
 π π
1
t ∈ − ; ÷
x
=
x ≥1
 2 2
sin t
 Nếu

Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện

x = f ( t)

thì phải đảm bảo với mỗi

t

x

có duy nhất

một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (Căn cứ vào đường tròn lượng giác )

1.2.Áp dụng cho các bài toán liên quan đến đường tròn và elíp
 Từ phương trình đường tròn

(C ) : ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = R 2

Ta viết lại phương trình đường tròn dưới dạng
(

M ( x, y ) Î (C ) Þ

x- a 2
y- b 2
) +(
) =1
R
R

2

2

x
y
(E) : 2 + 2 = 1
a
b

Ta viết lại phương trình đường tròn dưới dạng
x
y
( )2 + ( )2 = 1
a
b

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
10


M ( x, y ) Î ( E ) Þ

t , t Î 0, 2p
[
]
{ xy == ab sin
cos t

Từ đó chúng ta có

Ta có phương trình
x
x 2
2x2
x + 2 x.
+(
) = 1+
x −1 x −1
x −1
2

2

æ
x ö
x2
÷
Û ç
x
+
2
- 1= 0
÷
ç
÷
ç
è x - 1ø
x- 1

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định

ùù
2
ù
ỵ

Nhn xột 2: Tuy nhiờn vic ngh ti cng vo 2 v ca phng trỡnh biu thc
2 x.

x
x 1

khụng phi l n gin i vi hc sinh . Nu ta chỳ ý ti c im ca
x2 + y2 = 1

phng trỡnh xut hin dng

ta cú li gii 2 hc sinh d phỏt hin ra hn.

Li gii 2 :
k :

t

x 1
x = sin t 1

x
x 1 = cos t

vi

(tm)
2



x = 1 2 2 2 1 (tm)

2

Vy tp nghim ca phng trỡnh
ùỡ 1S = ùớ
ùù
ợù

2+
2

2 2 - 1 1;

x2 + 1 =

5
2 x2 + 1

2-

ỹ
2 2 - 1 ùù
ý
ùù

,

tan 2 t + 1 =

Phng trỡnh ó cho tr thnh


x2 + 1

5
2. tan 2 t + 1

+ tan t

1
5cos t
=
+ tan t
cos t
2

2 = 5cos 2 t + 2sin t

( phng trỡnh ó quỏ n gin ri !)

Giỏo viờn : Nguyn Th Mai- Trng THPT Trn Hng o- Nam nh
13


é

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

(

1 + 1 − x2 = x 1 + 2 1 − x2
Ví dụ 3 . Giải các phương trình sau :

)

Giải :
Đkxđ

x ∈ [ −1;1]

Đặt x = sint , t

 π π
∈ − ; 
 2 2

Phương trình đã cho trở thành

1 + cos t = sin t (1 + 2cos t )
t
⇔ 2cos = sin t + sin 2t
2
t
3t
t
⇔ 2cos = 2sin cos

⇔
ê 2Þ
Û
ê p
3t
2
 3t = π
êt =
⇔ sin =
ê
 2 4
ë 6
2
2

éx = 1
ê 1
êx =
ê
ë 2

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
14


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

x3 +

ì 1ü

u£ 2

, đk

Ta có phương trình

u 3 + 2u 2 - 3u -

2 =0

éu = 2 (tm)
ê
Û êu = - 1- 2 (ktm)
ê
u = - 1 + 2 (tm)
ê
ë

u = 2 Þ sin t + cos t = 2

+)Với

Û sin(t +

Û t=

p
p p
) =1 Û t + =
4

2

2- x

2-

2 2- 1
2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

x+ 2+

Ví dụ 5. Giải phương trình

ïì 2 1S = ïí
;
ïï 2
ïî

x+ 2
x2 + 4x + 3

2-

ü
2 2 - 1 ïï
ý
ïï
2

sin t
2 2

khi đó gặp khó khăn trong việc khử căn thức . Vì vậy nếu
phương trình có chứa căn bậc 2n mà ta đặt ẩn phụ theo kiểu lượng giác ta định
hướng học sinh chia trường hợp để thu gon điều kiện của t. Ta có lời giải cụ thể như
sau.
* Xét

x+ 2< - 1

ta có

VT < 0 Þ

phương trình đã cho vô nghiệm

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
16


x+ 2> 1

* Xét

x+ 2=

Đặt

1

1
1
+
=2 2
sin t sin t. cos t
sin t

1
1
+
=2 2
sin t cos t

Û sin t + cos t - 2 2 sin t.cos t = 0

u = sin t + cos t , 0 < u £ 2
Đặt
Ta có phương trình

-

2u 2 + u + 2 = 0

éu = 2(tm )
ê
1
Û ê
(ktm)
êu = ê
2


Ví dụ 6 . Giải phương trình

x =- 2+ 2

3 x - 4 x3 = 1- x 2

Nhận xét: gặp phương trình trên học sinh có thể nghĩ tới bình phương 2 vế ta được
phương trình bậc cao không nhẩm được nghiệm . Vì vậy gặp khó khăn.
3sin t - 4sin 3 t = sin 3t

Nếu hướng dẫn học sinh để ý tới công thức
thì vế trái của
x = sin t
cos t
phương trình thay
ta có công thức trên và vế phải dễ dàng đưa về
bài
toán trở về đơn giản quá !!!
Giải :
x £1

Đkxđ :

Đặt

x = sin t

,


êx = sin
ê
8
ê
p
êx = sin
ê
4
ë

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
18


é
p
ê
1- cos
ê
4
é
êx =
êx = 2 - 2
ê
2
ê
ê
2
3p
ê

ï 2
S =í
;ïï 2
îï

ü
2 + 2 2 - 2 ïï
;
ý
ïï
2
2
ï
þ

Nhận xét: Qua ví dụ 6 giáo viên có thể hình thành các phương trình giải được theo
phương pháp lượng giác nhờ một số công thức lượng giác như sau


SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Từ một số phương trình lượng giác đơn giản:
cos3t = sin t sin 3t = cos t , sin 3t = a, cos 3t = a, sin4t=sint,...
,
Ta có thể tạo ra được phương trình
Ví dụ như :

cos3t = 4cos3 t − 3cos t
*

a.

d. Nếu thay x trong phương trình (a) bởi :

3x

ta sẽ có phương trình

4.33 x - 3x+ 1 = 1- 9 x

sin 3 x,sin 4 x,sin 8 x
Tương tự như vậy từ công thức
…….hãy xây dựng những phương
trình giải được bằng phương pháp lượng giác hóa.

Ví dụ 7 . Giải phương trình

4.33 x - 3x+ 1 = 1- 9 x

Giải:
4.33 x - 3x+ 1 = 1- 9 x
Û 4.33 x - 3.3x = 1- 32 x

1- 9 x ³Û£Û
0 9x

1

0 < 3x £ 1

Đkxđ:


2

1 + cos

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
20


2+ 2
2

Û x = log 3

x = log 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

4 x3 - 3x =

Ví dụ 8 . Giải phương trình

2+ 2
2

1
2

Nhận xét: phương trình trên là phương trình bậc 3 không nhẩm được nghiệm
nên việc giải gặp khó khăn. Ta thấy xuất hiện dạng như đã phân tích trong ví dụ 7
x £1


1
2

é
p
ê3t = + k 2p
3
Û ê
ê
p
ê3t = - + k 2p
ê
3
ë

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
21


é p
ê=
t
ê 9
ê 5p
Û êt =
ê 9
ê 7p
êt =
ê

Xét :
, đặt
Phương trình đã cho trở thành
8 cos3 t − 6 cos t − 1 = 0

⇔ cos 3t =

1
2

2π
 π
t = 9 + k 3
⇔
t = −π + k 2π

9
3

Giáo viên : Nguyễn Thị Mai- Trường THPT Trần Hưng Đạo- Nam Định
22


 π
t = 9

5π
⇔ t =

9

Ví dụ 10. Giải phương trình
Giải:
8 x 4 - 8 x 2 + 1 = 2.(2 x 2 - 1)2 - 1

Nhận xét :

Ta thấy trong vế trái của phương trình xuất hiện :

Nếu
hiện.

x = cos t

sẽ có

2
2
8 x.( 2 x 2 - 1) é
ê2.( 2 x - 1) ë

2
2
ù
8cos t (2cos 2 t - 1) é
ê
ë2.(2 cos t - 1) - 1ú
û

và công thức nhân đôi xuất


x =1

( Tại sao lại nghĩ tới khẳng định cho cả trường hợp

Vì nếu ta đặt

x = cos t

ta nhân thêm với
để

sin t ¹ 0

thì vế trái của phương trình xuất hiện
thì ta được hàm lượng giác

sin 8t

8 cos t.cos 2t.cos 4t

. Đặt

x = cos t , t ÎÞ¹(0;p)

Phương trình đã cho trở thành

sint

. Chính vì thế phải xét



)

x
rt n gin vi hc sinh.Vy vi t
8.sin t.cos 2t.cos 4t = 1
x
x = cos t
cú c phng trỡnh
ta ch cn thay bng
1- x 2

. Ta cú vớ d 11 gii c bng phng phỏp lng giỏc húa.

8 1- x 2 (2 x 2 - 1)(8 x 4 - 8 x 2 + 1) = 1

Vớ d 11. Gii phng trỡnh
Gii:
x Ê1

kx :
Xột

x=0

. Thay vo phng trỡnh khụng tha món.

{ xxạÊ01
Xột

. t

ỡ
x = cos t , t ẻị[ 0;p] \ ùớ