Kinh nghiệm giúp học sinh giỏi lớp 5 linh hoạt sáng tạo giải bài toán
tìm hai số khi biết hai tỷ số bằng nhiều cách

A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận: Hoạt động cơ bản thiết yếu của người làm toán là giải toán.
Chính vì vậy dạy học giải toán có vai trò quan trọng trong việc dạy học toán.Việc
dạy học toán ở tiểu học:
Giúp học sinh luyện tập, củng cố vận dụng các kiến thức đã thao tác thực
hành đã học trong từng phần của chương trình, rèn luyện kỹ năng phân tích, phát
triển óc sáng tạo, trí thông minh, hiểu sâu bài toán để có thể vận dụng linh hoạt
trong giải toán và bước đầu tập vận dụng vào trong cuộc sống. Với vai trò như thế
nên việc giải toán ở tiểu học rất phong phú và đa dạng. Mỗi phần kiến thức là một
dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng toán lại có cách giải khác nhau nhưng chúng có
quan hệ khăng khít, hỗ trợ cho nhau. Cách giải của bài toán này là tiền đề, là cơ sở
để giải các bài toán khác khó hơn, phức tạp hơn.
Để thực hiện mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo trong giai đoạn hiện nay.
Nhiệm vụ của người giáo viên là phải nâng cao chất lượng dạy và học. Việc nghiên
cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu quả cao là một việc làm hết
sức quan trọng giúp học sinh tiếp thu các kiến thức một cách chủ động, hỗ trợ các
em tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức từ SGK, STK và từ thực tiễn một cách chính
xác, khoa học, đồng thời không ngừng phát triển tư duy kỹ năng của học sinh một
cách linh hoạt. Chính vì vậy tôi nhận thấy rằng đối với bộ môn toán, ngoài việc
học sinh học lý thuyết, làm bài tập…thì việc giải bài toán bằng nhiều cách, biết
đưa bài toán phức tạp về bài toán cơ bản là rất quan trọng. Đặc biệt là bồi dưỡng
học sinh khá giỏi. Việc mở rộng, sáng tác đề toán từ một bài toán này thành bài
toán khác cũng là kỹ năng chuyên sâu trong môn toán.
2. Cơ sở thực tiễn:

1




Bài 3: ( Bài toán hiệu tỷ " ẩn tỷ" - Bài toán về phân số)

2


Một đội công nhân sửa đường, ngày thứ nhất họ sửa được
ngày thứ hai họ sửa được

1
đoạn đường cần sửa,
3

1
đoạn đường đó. Tính số mét mỗi ngày sửa được biết
2

ngày thứ hai sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 24 mét.
Từ 3 bài toán điển hình trên tôi phát triển nâng dần thành hệ thống bài tập có
dạng tìm hai số khi biết hai tỷ để các em làm quen và biết cách đưa bài toán tìm
hai số khi biết hai tỷ về dạng bài điển hình trong chương trình để giải.
Bài 4: Cho hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.Nếu thêm chiều rông 6
m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều rộng bằng

3
chiều dài. Tính chu vi
4

và diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 5: Cho hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cùng kéo dài mỗi

bằng

2
số sách ngăn dưới. Hỏi lúc đầu mỗi ngăn có bao nhiêu cuốn sách.
3

3


Bài 9. Đội văn nghệ của trường em có số bạn nam bằng

2
số bạn nữ. Nếu số bạn
3

nữ tăng lên 20 bạn và số bạn nam tăng lên 5 bạn thì số bạn nữ gấp 2 lần số bạn
nam. Tìm số bạn nam và số bạn nữ của đội văn nghệ lúc đầu.
Dạng bài toán tìm hai số khi biết hai tỷ số- là một dạng toán tuy không
được giới thiệu trong chương trình toán tiểu học nhưng đây là một dạng toán được
phát triển từ dạng toán điển hình, các bài toán về phân số, các bài toán về tính tuổi
biết hai tỷ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau trong chương trình lớp
4,5. Đồng thời dạng bài toán này hay xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Bài
toán thường cho biết tỉ số của hai số lúc đầu sau đó thay đổi một trong hai số hoặc
cả hai số làm xuất hiện tỉ số mới của hai số và yêu cầu tìm mỗi số. Khi giải các bài
toán dạng này, ta có thể áp dụng nhiều cách giải khác nhau như dùng sơ đồ đoạn
thẳng, thử chọn,..
Trong thực tế qua các bài thi, khảo sát có dạng toán tìm hai số khi biết hai tỷ
số, học sinh vẫn còn khó khăn, vướng mắc nhiều trong khi nhận dạng và giải dạng
bài toán này; nhất là dạng bài "tìm hai số khi biết hai tỷ số mà tất cả các đại lượng
trong bài toán đã cho đều thay đổi". Là người trực tiếp tham gia dạy bồi dưỡng học

Vì trong chương trình không có dạng toán này cho nên nhiều GV trong quá
trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi đã bỏ qua không cung cấp cho học sinh.
Có nhiều GV cũng đã đưa vấn đề này ra giải quyết nhưng khi dạy không có
hệ thống gặp bài nào thì giải quyết ngay bài đó không hình thành được dạng toán
và hướng dẫn giải cụ thể, dẫn đến học sinh không nắm chắc dạng toán và gặp khó
khăn trong quá trình thực hiện.
Trong quá trình lên lớp, nhiều giáo viên còn sợ học sinh không hiểu bài nên
đã lựa chọn hình thức phương pháp dạy học không phù hợp. Mặt khác nhiều lúc
trong dạy học giáo viên quá lo lắng học sinh không làm được cho nên làm thay tất
cả các bước cho học sinh, cung cấp hẳn công thức, các em chỉ biết làm theo, không
có sự suy nghĩ tìm tòi, dẫn đến học sinh lười suy nghĩ, không linh hoạt trong quá
trình giải quyết các bài tập cũng như giải quyết các tình huống trong cuộc sống
hàng ngày.
* Về kiến thức của học sinh.

5


Khi tiếp nhận các kiến thức, chủ yếu học sinh chỉ nghe và nhìn, ít được hoạt
động thực hành nên biểu tượng về toán học thường mở nhạt, không nhận biết một
cách chắc chắn về đặc điểm, tính chất, quy tắc toán học …dẫn đến nắm kiến thức
chưa vững chắc.
Học sinh nắm được công thức, quy tắc toán học chủ yếu là ghi nhớ và áp
dụng một cách máy móc, chưa hiểu rõ ràng về công thức tính, về bản chất của nó.
Vì thế hạn chế khả năng vận dụng tính khi giải bài tập, nhất là các bài tập có yêu
cầu về suy luận hoặc phải vận dụng trí tưởng tượng. Nguyên nhân chính của nhược
điểm này là học sinh chưa chủ động tham gia tìm tòi phát hiện và tự chiếm lĩnh
kiến thức mới.
*Về kỹ năng giải toán của học sinh.
Chưa có một hệ thống đầy đủ các bài tập để học sinh thường xuyên rèn

Song cũng những đối tượng học sinh đó sau khi lên lớp 5, tôi đã ra lại bài
toán này cho các em làm thì chỉ có 2 trong 10 em khá giỏi làm được mà thôi.
Bởi bài toán này đưa ra trong bài học đầu tiên giới thiệu về tỷ số là chưa
phù hợp nhất lại là học sinh lớp 4, giáo viên phải biết lựa chọn và hệ thống bài tập
để giúp các em tư duy có hệ thống.
Trong quá trình giải toán có lời văn khi gặp dạng bài toán "Tìm hai số khi
biết hai tỷ số" các em thường gặp một số khó khăn như:
- Cách tìm tỷ số của hai số.
- Cách tìm giá trị phân số của một số.
- Nhận dạng bài toán tìm hai số khi biết hai tỷ số.
- Cách xác định đại lượng không đổi trong bài toán.
- Khi thêm hoặc bớt ở tử số A đơn vị để tỷ số không đổi phải thêm hoặc bớt
ở mẫu số B bao nhiêu đơn vị ( Dạng 4 trong đề tài này)
SKKN này sẽ là một trong những hướng giúp giáo viên và học sinh khắc
phục các hạn chế đã nêu trên. Riêng hạn chế về cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị 2
tỷ số khi các đại lượng của bài toán đều thay đổi, SKKN này không đề cập; Bởi
SKKN này chủ yếu hướng dẫn các em học sinh giỏi lớp 5 linh hoạt sáng tạo giải
dạng bài toán trên bằng nhiều cách dựa vào việc lập các tỷ số so sánh với đại lượng
không đổi.

7


2. CÁC BIỆN PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT SÁNG
TẠO KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HAI TỶ SỐ
BẰNG NHIỀU CÁCH.
2.1: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CHUNG:
Biện pháp 1: Củng cố và rèn kĩ năng cách tìm tỷ số của hai số, ba số...
Biện pháp 2: Rèn kỹ năng giải một số bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
và tỷ số của hai số đó và bài toán tìm phân số của một số, tìm một số khi biết

số đo chiều dài bằng số đo chiều rộng.
3
2

Tìm tỷ số của chiều dài và chiều rộng; tỷ số của chiều rộng và chiều dài; tỷ số của
chiều rộng (chiều dài) và chu vi.
Cách 1: Hướng dẫn HS vẽ sơ đồ đoạn thẳng (2 phân số có tử số bằng nhau) và tìm
được tỷ số của chiều dài và chiều rộng là
Tỷ số của chiều rộng và chiều dài là

3
;
2

2
;
3

Tổng chu vi có số phần là : (2 + 3) x 2 = 10 ( phần)
Tỷ số của chiều rộng và chu vi hình chữ nhật là:
Tỷ số của chiều dài và chu vi hình chữ nhật là:

2
1
hay
10
5

3
10

số học sinh nam bằng số học sinh nữ. Tính tỷ số của
3
5

số HS nam so với số HS nữ.
Cách 1: Quy đồng tử số chung bằng nhau:

1
2
=
3
6

9


Ta có:

2
2
1
1
số HS nam = số học sinh nữ hay số HS nam = số học sinh nữ. Vậy
6
5
6
5

tỷ số của số HS nam và HS nữ là


5
 .
6  5 11

Bài toán 3: An và Bình có một số viên bi. Biết 2 lần số bi của An bằng 3 lần số bi
của Bình.
a/ Tìm tỷ số số bi của An và số bi của Bình.
b/ Tìm tỷ số số viên bi của Bình và hiệu số bi của hai bạn.
Cách 1: Quy đồng tử số chung:
a/ Ta có 2 lần số bi của An bằng 3 lần số bi của Bình. Hay
số bi của Bình. Hay ta có
bi của An bằng

2
3
số bi của An bằng
1
1

6
6
1
số bi của An bằng số bi của Bình.Từ đó ta có số
3
2
3

1
3
số bi của Bình.Vậy tỷ số số bi của An và số bi của Bình là

tổng số sách thư viện. Còn lại là các loại
3

sách khác. Em hãy tìm tỷ số của số sách truyện thiếu nhi và số sách tham khảo của
thư viện.
Cách 1: Quy đồng mẫu số chung để tìm tỷ số của 2 số.
Vì

2 6
1 5

và  nên ta có:
5 15
3 15

Số sách truyện thiếu nhi bằng
Số sách tham khảo bằng

6
tổng số sách của thư viện.
15

5
tổng số sách của thư viện.
15

Coi tổng số sách của thư viện có 15 phần thì số sách truyện thiếu nhi có 6 phần và
số sách tham khảo có 5 phần như thế. Vậy tỷ số của số sách truyện thiếu nhi và số
sách tham khảo là


Với bài toán này một số học sinh thường nhầm và giải như sau:
Số đo chiều rộng dài là:

28 x

7
= 39,2 (m)
5

11


Tôi yêu cầu các em đọc đề và xác định cách tìm "phân số của một số". Ở bài toán
này là tìm

5
7
của 28 (m), chứ không phải tìm của 28 (m)
7
5

Từ đó tôi giúp HS các cách giải sau:
Cách 1: Yêu cầu các em vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số đo chiều dài tương ứng 7
phần, số đo chiều rộng tương ứng 5 phần.
Số đo chiều rộng có là: 28 : 7 x 5 = 20 (m)
Cách 2: Tìm phân số của một số:
Vì số đo chiều dài bằng

7
5

toán:
Phân tích và giải cách 1:
Bài toán cho biết hiệu số mét sửa được của ngày thứ hai và ngày thứ nhất là bao
nhiêu?

(24 m).

Hiệu số phần đoạn đường ngày hai và ngày 1 sửa được là bao nhiêu?
(

1 1 1
- = (đoạn đường ))
2 3 6
1
6

Vậy 24 mét tương ứng với mấy phần đoạn đường ? ( đoạn đường)

12


Đoạn đường cần sửa dài bao nhiêu mét?

( 24 :

1
= 144 m)
6

Từ đó tìm được số mét đường mỗi ngày đã sửa.

Phân tích cách giải 2: Bài toán cho biết hiệu số mét sửa được của ngày hai và
ngày một là bao nhiêu? ( 24 m).
Tỷ số của đoạn đường ngày thứ nhất sửa được so với ngày thứ hai là bao nhiêu?
1
3

( :

1 2
= )
2 3

Vậy vận dụng cách giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số ta sẽ
tìm được số mét từng ngày sửa được.
Giải:
Tỷ số đoạn đường ngày thứ nhất sửa được so với đoạn đường ngày thứ hai sửa
được là:

1 1 2
: =
3 2 3

Ngày hai sửa được số mét là:
24 : ( 3 - 2 ) x 3 = 72 ( m)
Ngày thứ nhất sửa được số mét là:

13


72 - 24 = 48 ( m )


Số học sinh đạt loại giỏi có là:

36 x

1
= 12 (em)
3

Số học sinh đạt loại khá có là:

36 x

1
= 9 (em)
4

1
= 36 (em)
12

Đáp số: Số HSG: 12 em; Số HSK: 9 em.
Cách 2:

Giải:

Tỷ số của số học sinh đạt loại giỏi và số học sinh đạt loại khá là:
1 1 4
: 
3 4 3

153 x 47 = 7191 ( m2)

Đáp số: 7191 m2
Bài toán 9: Cho phân số

25
Hỏi phải cùng bớt cả tử số và mẫu số của phân số đã
37

cho cùng một số nào để được một phân số mà sau khi rút gọn thì được phân số

1
?
2

Giải:
Khi cùng bớt cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số thì hiệu của
mẫu số và tử số không đổi.
Hiệu của mẫu số và tử số lúc đầu và lúc sau là: 37 - 25 = 12
Hiệu số phần của mẫu số và tử số lúc sau là:

2 - 1 = 1 ( phần)

Tử số lúc sau là:

12 : 1 = 12

Phải bớt số đơn vị là:

25 - 12 = 13

3

30 : 2 x 3 = 45 (bn)

ỏp s: 45 bn
Sau khi giỳp cỏc em cng c v cú k nng gii mt s bi toỏn cú liờn quan
n cỏch gii bi toỏn tỡm hai s khi bit hai t s. Tụi a ra bi toỏn hai t cho
HS c so sỏnh vi bi toỏn in hỡnh trờn, t ú giỳp hc sinh nhn dng toỏn 2
t.
Bin phỏp 3: Giỳp hc sinh nhn dng bi toỏn "Tỡm hai s khi bit hai t s"
hc sinh nhn dng bi toỏn tụi cung cp cho cỏc em mt s vớ d sau
yờu cu cỏc em c v phõn tớch cỏc bi toỏn:
Vớ d 1: Lp 5 A cú 36 hc sinh. S hc sinh nam bng

4
s HS n . Hi lp 5 A
5

cú bao nhiờu hc sinh nam? Bao nhiờu hc sinh n?
Vớ d 2: u nm, lp 5 A trng em cú s HS n bng

2
số HS nam. Sang u
3

hc kỡ hai cú mt bn n chuyn i lp khỏc, v mt bn nam li t lp khỏc
chuyn n vì thế số HS nữ lúc này bằng 75% số HS nam. Hỏi Lp 5A trường em
có bao nhiêu bạn?

16

Tìm số bạn nam và số bạn nữ của đội văn nghệ lúc đầu.
Bằng hệ thống câu hỏi tôi giúp HS hoàn thành bảng sau:

Tổng ( Số học Tỷ
sinh cả lớp)

số Tỷ

thứ nhất

Số nữ

thứ hai

(Nam so (
với nữ)

số Số nam

Hiệu( số HS
nữ và nam)

Nam

so

với

nữ )
VD1 36 (Không đổi)

Thêm 4 em

Không

Thay đổi

6
7

Thêm 2 em

VD

Cuối năm thay 4

3

đổi so với đầu

5

Thay đổi

thay đổi

năm.
VD4 Cuối năm thay 5
6

Thêm

so với thực tế.
Ở ví dụ 1 bài toán cho biết mấy tỷ số? ( một tỷ số)
Ở các ví dụ còn lại có mấy tỷ số? ( Hai tỷ số)
Tại sao xuất hiện tỷ số thứ hai? ( Vì thay đổi một trong hai số nam hoặc nữ, hoặc
cả nam và nữ)
Tôi cung cấp: Các bài toán ở ví dụ 2,3,4,5 là bài toán tìm hai số khi biết hai tỷ số.
Vậy bài toán tìm hai số khi biết hai tỷ số là bài toán như thế nào?
"Bài toáncho biết tỉ số của hai số lúc đầu sau đó thay đổi một trong hai số hoặc
cả hai số làm xuất hiện tỉ số mới của hai số và yêu cầu tìm mỗi số"

Biện pháp 4 : Hướng dẫn học sinh cách giải từng dạng toán.
Dạng 1: Tìm hai số khi biết hai tỷ số có một đại lượng không đổi trong hai tỷ
số đã cho
Bài toán 1: Cho hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu thêm chiều
rộng 6 mét thì hình đó trở thành hình vuông.Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật
đó.
* Dựa vào cách giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu - tỷ, tôi yêu cầu các em tự giải
bài toán.
Cách 1:

Giải

Nếu thêm chiều rộng 6m thì hình đó trở thành hình vuông hay lúc đó số đo
chiều rộng bằng số đo chiều dài.Vậy chiều dài hơn chiều rộng 6m.
Hiệu số phần bằng nhau của chiều dài và chiều rộng là:
3 - 1 = 2 (phần)

18



Muốn tính được chu vi và diện tích ta phải tìm được chiều dài và chiều rộng.
*Hướng dẫn cách giải:
Trong hai tỷ số đó có số đo ( đại lượng) nào không đổi? ( Số đo chiều dài)
Tỷ số của chiều rộng ban đầu so với chiều rộng lúc sau?. (

1 1
1
: = )
3 1
3

Đưa về bài toán " Tìm hai số khi biết hiệu tỷ" các em tìm được chiều rộng và chiều
dài. Học sinh có thể trình bày cách giải thứ hai như sau:
Giải:

19


Vì số đo chiều dài không đổi nên ta có tỷ số chiều rộng ban đầu so với chiều
1 1
1
: =
3 1
3

rộng lúc sau là :
Chiều rộng ban đầu là :

6 : ( 3 - 1 ) = 3 (m)


Giải:
Vì số đo chiều dài không thay đổi nên ta có:
Chiều rộng lúc sau hơn chiều rộng lúc đầu số phần chiều dài là:
1 1
2
- = ( số đo chiều dài)
1 3
3

20


hay : 6 m có số phần của chiều dài là:

2
( Số đo chiều dài)
3

Số đo chiều dài là :

6 : 2 x 3 = 9 (m)

Số đo chiều rộng là:

9 : 3 = 3 (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

( 3 + 9 ) x 2 = 24 ( m)


1
= 15 ( con)
4

Đáp số: Số gà mái: 60 con; số gà trống : 15 con.
Cách giải 3: Bằng phương pháp giải sơ đồ đoạn thẳng " bài toán hiệu tỷ" tôi yêu
cầu các em giải bài toán.
Ta có :

1
4 1
5
=
; =
5 20 4
20

Coi số gà mái có 20 phần thì số gà trống lúc đầu có 4 phần, số gà trống lúc sau có 5
phần.

22


Hiệu số phần số gà trống lúc sau và lúc đầu có là: 5 - 4 = 1 ( phần)
Một phần có số gà là:

3 : 1 = 3 ( con)

Số gà trống hiện nay có là:


1

- Vậy hãy tìm xem 4 HS nam chiếm mấy phần học sinh nữ?
- HS tìm

1
4
1
– = (Số học sinh nữ)
1
5
5
1
= 20 (HS)
5

- Tìm số HS nữ bằng cách nào?

4:

- Tìm số HS nam.

20 x

- Tìm số HS đầu năm của lớp 5A:

20 +16 = 36 (HS)

4
= 16 (HS)


A
Am

- Gii nh bi toỏn tỡm hai s khi bit Hiu - t ( Hai s õy l i lng
b thay i - lỳc u v lỳc sau: A v A m )
- Tỡm i lng (s) cũn li : B
Cỏch 2:
- Nhn dng bi toỏn v xỏc nh i lng khụng i.
- Lp 2 t s ca i lng thay i ( Lỳc u v lỳc thay i) so vi i
lng khụng thay i:

A
Am
v
( B l i lng khụng i)
B
B

-Tỡm hiu ca hai t s ó lp ( Phõn s ch giỏ tr chờch lch ca i lng
b thay i)

A
Am
B
B

24



6
4

Vậy 5 con gà trống chiếm số phần gà mái là:( Hay s g trng lỳc u ớt hn s g
trng lỳc sau s phn l)
1 1 1

( số gà mái)
4 6 12
1
= 60 (con)
12

Như vậy số gà mái là:

5:

Số gà trống là:

60

1
= 10 (con)
6

Đáp số: Gà mái: 60 con ,g trng 10 con
Cỏch 2: Phân tích
Số gà mái không thay đổi nên ta có thể chọn số gà mái làm đơn vị để so sánh
rồi tính số gà trống. Gà mái nhiều gấp 6 lần gà trống cho nên gà trống bằng