Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
SƠ
LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
Đơn vị: Trường THCS & THPT Bàu Hàm
Mã số: ................................
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

1. Họ và tên: Lê Văn Anh
2. Ngày tháng nămSÁNG
sinh: 28/09/1978
KIẾN KINH NGHIỆM
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Khu 2. Ấp Thuận Hòa, Xã Sông Thao, Huyện Trảng Bom, Tỉnh
Đồng Nai.

MỘT SỐ
5. Điện thoại: 0976008701
6. Fax:

PHƯƠNG
PHÁP
(CQ)/ 0613.670611

E-mail:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN


- Phương
pháp
dạylập
học
bộ môn:
...TOÁN...
3. Một số phương pháp giải bài
toán bằng
cách
phương
trình.
4. Một số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử.
- Lĩnh vực khác: .......................................... 
Có đính kèm:
 Mô hình
 Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2011 – 2012
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

1


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

phối hợp phương pháp giảng dạy một cách hiệu quả. Cho nên học sinh khó tiếp thu
dẫn đến chán nản, bi quan, nhận thức thụ động. Bên cạnh đó nhiều bài toán giải
phương trình nghiệm nguyên mà nhiều đội ngũ giáo viên còn chưa thống nhất qua
cách hiểu, cách giải hoặc là có rất nhiều cách giải khác nhau.
Là một giáo viên dạy Toán. Qua thực tế và qua khảo sát chất lượng ở các lớp,
nhất là lớp 8 và 9 về việc giải phương trình nghiệm nguyên tôi thấy chất lượng học
sinh chưa cao, nhiều em chưa biết làm thế nào để giải được bài, cơ sở để giải dạng
toán này là gì. Điều đó gợi ý cho tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên”.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình toán THCS thì phần kiến thức về phương trình đóng một
vai trò rất quan trọng. Ngay từ khi còn học tiểu học học sinh đã được làm quen với
các bài toán tìm x, đó là một cách tiếp cận dần dần với một mảng kiến thức rất
phong phú của môn toán học đó là phương trình. Các loại phương trình, cách giải
từng loại phương trình, lần lượt sẽ được giới thiệu trong chương trình toán bậc
trung học cơ sở và trung học phổ thông.
Các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên có một đặc thù rất riêng ở
chỗ: phương trình ta xét đến thường là phương trình có nhiều ẩn số mà ta phải tìm
các nghiệm là các số nguyên của nó. Chính vì thế, để giải phương trình nghiệm
nguyên thì ngoài việc nắm chắc các bước giải phương trình nói chung thì học sinh
phải có tư duy sáng tạo, vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức về số học, đại số để
giải.
Trong giảng dạy môn toán, con đường tìm tòi cách giải là cả một quá trình tư
duy suy luận lôgíc của học sinh được rèn luyện thông qua cả một quá trình học
toán. Đằng sau một bài toán đơn giản lại chứa đựng bao điều thú vị, đó là các cách
giải khác nhau và các bài tập phát triển dần thành các bài toán tổng quát. Do đó các

Đề bài: Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: xy = x + y
Kết quả khảo sát của 10 học sinh được chọn ra từ 40 học sinh lớp 8A 1 (lớp chọn)
và 39 học sinh lớp 9A1 (lớp chọn) làm bài kiểm tra như sau:

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

4


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Lớp Tổng số
8A1
9A1

Sai kiến thức Sai phương pháp
SL
%
SL
%
10
3
30
2
20
39
7
17.9
14
35.9

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N
N= { 0;1;2;3;4;5... }
Tập hợp các số nguyên kí hiệu là Z
Z= {...;−3;−2;−1;0;1;2;3;... }
Tập hợp N là tập con của tập hợp Z ( N ⊂ Z )
Chú ý: Cùng với các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên ta cũng gặp
bài toán tìm nghiệm tự nhiên, nghiệm nguyên dương, nghiệm nguyên tố ... của
phương trình có hệ số nguyên hoặc có hệ số không nguyên, phương trình có ẩn ở
mẫu, phương trình vô tỉ ... .Người ta cũng nói: Giải các phương trình đó trong tập
hợp các số nguyên, tập hợp các số nguyên dương ... .
2. Các phương pháp giải:
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

5


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Phương pháp 1: Đưa về dạng tích
Phương pháp giải: Biến đổi phương trình về dạng mà vế trái là một tích của
các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Các ví dụ áp dụng:
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
xy = x + y

(1)

Lời giải:
xy = x + y
⇔

(3x-2)(3y-5)=19=19.1=-19.(-1)

Có 4 khả năng sau:
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

6


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :
3 x − 2 = 1
3 x − 2 = 19
3 x − 2 = −1
3 x − 2 = −19




(I) 3 y − 5 = 19 ; (II) 3 y − 5 = 1 ; (III) 3 y − 5 = −19 ;(IV) 3 y − 5 = −1

Hệ (I) &(II) có nghiệm là (x=1;y=8) và (x=7;y=2)
Hệ (III) & (IV) không có nghiệm nguyên
Vậy PT (2) có các nghiệm nguyên là: (x=1;y=8) & (x=7;y=2)
Nhận xét: Nếu phương trình có dạng axy+bx+cy=d với a,b,c,d ⊂ Z ,a ≠ 0 thì
để đưa về PT dạng tích ta nhân cả hai vế của PT với a
Thí dụ 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 + x+ 1 = xy - y (3)
Lời giải:
x2 + x + 1=xy - y
⇔ (x2-x)+(2x-2)+3=y(x-1)


Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991

(4)

Lời-giải:
x 2(x+2y)-y2(y+2x)=1991
⇔ x3+2x2y-y3-2xy2=1991
⇔ (x3-y3)+(2x2y-2xy2)=1991
⇔ (x-y)(x2+xy+y2)+2xy(x-y)=1991
⇔ (x-y)(x2+3xy+y2)=1991(1)

Vì x,y nguyên dương nên x2+3xy+y2 >0 và x2+3xy+y2>x-y.
Từ (1) suy ra x - y nguyên dương. Mà 1991=1.1991=11.181 nên có 2 trường hợp:
x − y = 1
 x − y = 11
 2
 2
2
2
(I)  x + 3xy + y = 1991 và (II)  x + 3xy + y = 181

Giải các hệ PT trên với nghiệm nguyên dương ta được (x=12;y=1), đó là
nghiệm nguyên dương của PT (4)
Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a,

xy - 2x + 3y = 27

(5)

Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình , trước hết ta xét
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do

x≤ y≤ z.

x≤ y≤z

⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3 ⇒ xy ∈ {1;2; 3}

Nếu xy =1 suy ra x = y = 1, thay vào (5) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1và y = 2, thay vào (5), suy ra z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1và y = 3, thay vào (5), suy ra z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (5) là các hoán vị của (1; 2; 3).
1 1 1
+ + =2
x
y z
Thí dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
(6)

Lời giải: Do vai trò bình đẳng x,y,z, trước hết xét x ≤ y ≤ z .
1 1 1
1
3
+ + ≤ 3.
≤
x , suy ra x 2 , suy ra x=1.

= ⇒z=2
z 2

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (6) là các hoán vị của (1;2;2).
Bài tập áp dụng:
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a,

x + y + 1 = xyz

b,

y3 + 7x = x3 + 7y

c,

xy + yz + zx = xyz + 2

d,

1 1 1
1
+ + =
x y z 1995

Bài 4: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
1
1
1
+

Thí dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của PT: xy + x - 2y = 3 (8)
Lời giải: Ta có (8) tương đương với y(x - 2) = -x + 3
Vì x = 2 không phải là nghiệm của PT nên (8) tương đương với
− x+3
1
⇔ y = −1 +
x−2
y= x − 2

Ta thấy: y là số nguyên khi x-2 là ước của 1, từ đó suy ra x-2=1 hoặc
x - 2 = - 1 suy ra x = 1 hoặc x = 3
Với x = 1 thì y = -1 - 1= - 2
Với x = 3 thì y = -1 + 1=0
Vậy PT (8) có nghiệm nguyên là (1;-2) và (3;0)


Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa PT về
dạng:
(x-2)(y+1)=1.
Thí dụ 9: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

y2 - 2x2 = 1 (9)

Lời giải: PT (9) tương đương với PT : y2 = 2x2 + 1, suy ra y2 là lẻ, suy ra y lẻ.
Đặt y = 2k +1, thay vào PT ta được:
(2k+1)2=2x2 + 1
⇔ 4k2+4k+1=2x2+1
⇔ x2 =2k2+2k

Từ đó suy ra x2 là chẵn, suy ra x chẵn, mà x là số nguyên tố nên x =2, suy ra y2 =9,

Lời giải:

(x – 1)(y + 1) = (x + y)2

Ta có (x+y)2= [ ( x − 1) + ( y + 1)] =(x-1)2+(y+1)2+2(x-1)(y+1)
2

Nên PT (10) tương đương với PT
(x – 1)2 + (y + 1)2 + 2(x – 1)(y + 1)=(x – 1)(y + 1)
⇔ (x-1)2+(y+1)2+(x-1)(y+1)=0
2

1


(
x
−
1
)
+
( y + 1)  3

2
 + 4 (y+1)2=0
⇔

y +1 = 0



y2
y)
⇔ (x- 2 2+3( 4 -y)+z2-2z+4=0
1
y
y)
−1
⇔ (x- 2 2+3( 2
)2+(z-1)2=0

y

x − 2 = 0

y
 −1 = 0
2
z − 1 = 0

⇔

x = 1

y = 2

⇔ z = 1

Vậy PT (11) có nghiệm nguyên là (1;2;1)
Bài tập áp dụng:
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Với a,b dương có

a+b
≥ ab
2
, dấu “=” xảy ra khi a=b.

+ Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(a1b1+a2b2+...+anbn) ≤ (a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)
a
a1 a 2
=
= ... = n
bn
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b1 b2

Thí dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 = 3 (12)
y
3y2
Lời giải: x2 – xy + y2 = 3 ⇔ (x- 2 )2=3- 4

Vì

y
3y2
(x- 2 )2 ≥ 0 , suy ra 3- 4 ≥ 0, suy ra -2 ≤ y ≤ 2

Lần lượt thay y = -2; -1; 0; 1; vào PT(12) để tính x ta được các nghiệm
nguyên của PT là:
(-1;-2); (1;2); (-2;-1); (2;1); (-1;1); (1;-1)

( x + y + z)
2

2x2 + 4x = 19 - 3y2

III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI.
Qua một năm học áp dụng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tại
trường THCS & THPT Bàu Hàm nơi tôi công tác, tôi nhận thấy từ bước đầu các
em lúng túng cảm thấy rất sợ khi gặp các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên
.Do các em chưa hiểu bài, chưa biết phương pháp giải cho từng dạng bài thì bây giờ
các em có sự tiến bộ rõ rệt. Các em cảm thấy hứng thú khi giải loại toán này. Khi
giải các em trình bày rõ ràng, nhiều em có sáng tạo trong khi giải dẫn đến nhiều
cách giải hay, ngắn gọn và chính xác.
Kết quả khảo sát của 10 học sinh được chọn ra từ 40 học sinh lớp 8A 1 ( lớp
chọn) và 39 học sinh lớp 9A1 ( lớp chọn) được chọn khảo sát ban đầu, đạt được cụ
thể như sau:
Sai kiến thức Sai phương pháp
Sai cả bài
SL
%
SL
%
SL
%
8A1
10
0
0
1
10

15


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

nghiên cứu đề tài phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tôi thấy thông qua
các hoạt động học toán các em có thói quen suy nghĩ, nhìn nhận vấn đề một cách
khoa học, cách khai thác, phát triển bài toán đó thành các bài toán cơ bản nâng cao.
Với mong muốn ngày càng nâng cao chất lượng giảng dạy, những kết quả
đem lại chưa hẳn đã thành công. Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương
trình nghiệm nguyên và còn nhiều ví dụ hấp dẫn khác. Song với sự giúp đỡ nhiệt
tình của bạn bè đồng nghiệp cũng như của học sinh trong quá trình giảng dạy phần
nào đã khích lệ tôi rất nhiều khi bắt tay vào viết đề tài này. Trong đề tài chắc hẳn sẽ
còn nhiều thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và đồng
nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
V: TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Toán tuổi thơ.
2. Tài liệu BDTX.
3. Toán phát triển của Vũ Hữu Bình.
4. Em muốn giỏi toán 9 của Võ Đại Mau.
5. Toán bồi dưỡng học sinh đại số 9 của
“Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều”
6. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 &9 của
“Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy”
7. Toán nâng cao chọn lọc đại số THCS của
“Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Khắc Bảo- Vũ Thế Hựu
Lê Đình Phi- Phan Thanh Quang- Phạm Đan Quế”
Trảng Bom. Ngày 15 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện.


- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán ................... . 

- Phương pháp giáo dục



- Lĩnh vực khác: ........................................................

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 

Trong Ngành 

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
-

Có giải pháp hoàn toàn mới

-

Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có




2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

17


XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

18