BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO
HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH
HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT
TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO
HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH
HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT
TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................ 6
2. Câu hỏi nghiên cứu ........................................................................................................ 8
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ..................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ...................................................................................................... 9

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................. 10
1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số ..................................................... 10
1.2. Tư duy hàm ................................................................................................................ 13
1.3. Quá trình mô hình hóa toán học .............................................................................. 15
1.4. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề .............................................................................. 17
1.4.1. Những khái niệm cơ bản ...................................................................................... 17
1.4.2. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ......................................................................... 18
1.5. Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mô hình hóa và giải quyết các tình
huống gợi vấn đề ............................................................................................................... 19

CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG ...................................................................................................................... 20
2.1. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu
năm lớp 7) .......................................................................................................................... 20
2.2. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi)........ 23
2.2.1. Lớp 7..................................................................................................................... 23
2.2.2. Lớp 9..................................................................................................................... 27
2.2.3. Lớp 10................................................................................................................... 30
2.3. Kết luận ....................................................................................................................... 34


SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

THCS

: Trung học cơ sở.

THPT

: Trung học phổ thông.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

DHĐ&GQVĐ : Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

5


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
 Ghi nhận 1
Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học, “biểu diễn sự phụ thuộc

chỉ biến phụ thuộc, x kí hiệu dùng để chỉ biến độc lập.”( Theo Đỗ Thị Thuý Vân-2010)
 “ Hai hệ thống biểu đạt hàm số được đề cập chủ yếu là biểu thức giải tích và đồ thị.
6


Tuy nhiên, biểu thức giải tích vẫn chiếm ưu thế, vai trò công cụ của đồ thị khá mờ
nhạt. Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” (Theo
Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012)
Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho họ
khả năng sử dụng nó vào giải quyết các vấn đề của thực tế. Để làm được điều này, phải giúp
học sinh nhận thấy rằng: hàm số không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn được sử dụng
như công cụ để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của nhiều lĩnh vực khác như vật lí,
kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong các giáo trình, sách giáo khoa toán, hàm số thường xuất
hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ để giải
quyết nhiều bài toán thuộc những nội dung toán học khác như phương trình, bất phương
trình…Trong chương hàm số bậc nhất và bậc hai, SGK Đại số 10 nâng cao cũng cố gắng
thực hiện mục tiêu này. Tuy nhiên, chúng tôi thống kê được trong chương này chỉ có 4 bài
toán có tính thực tế (bài 25 tr54, bài 37,38 tr61, bài 46 tr64). Trong các bài toán nói trên, các
“ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” và mối liên hệ giữa chúng đã được đề cập tường
minh trong đề toán.
Như vậy, câu hỏi đặt ra: khi gặp một bài toán thực tế, học sinh có quan tâm đến mối
liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong sự vận động của chúng hay không? Học
sinh có xác định được đại lượng biến thiên nào là biểu diễn sự phụ thuộc cho đại lượng biến
thiên khác? Nói cách khác, học sinh có thể nhìn bài toán theo quan điểm hàm và sử dụng
các kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế hay không?
 Ghi nhận 2
Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn toán phổ
thông. Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được đề cập đến trong nhiều
ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến sau
đây:

•

Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số.

Gắn bó chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa
quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều
kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các
kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát
triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng
dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. Như vậy, có
những hoạt động nào đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập trong chương trình và SGK phổ
thông?

2. Câu hỏi nghiên cứu
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đưa một số câu hỏi để định hướng cho nghiên cứu
như sau:
Q1: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, việc phát triển tư duy hàm có
được chú trọng hay không? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Có
những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động
đặc trưng cho tư duy hàm? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm khi
đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay không?
Q2: Liệu có thể tổ chức dạy học nhắm đến việc phát triển tư duy hàm cho học sinh
THPT thông qua mô hình hóa và và giải quyết các tình huống gợi vấn đề trong đó có tính
đến các điều kiện và ràng buộc của thể chế?

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu thể chế
Trên cơ sở nghiên cứu các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm, chúng tôi sử dụng
8


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số
Chúng tôi sẽ tổng hợp lại các nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số trong khóa luận
của Nguyễn Thị Nga (2003). Có thể tóm tắt một số điểm chính của luận văn như sau:
 Ba đặc trưng cơ bản của hàm số là: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
 Biểu diễn hàm số: Trong lịch sử toán học, người ta sử dụng các phương tiện khác
nhau như bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích và đồ thị.
Trong từng thời kỳ khác nhau của lịch sử toán học, khái niệm hàm số cùng ba đặc trưng và
các cách biểu diễn xuất hiện một cách ngầm ẩn hay tường minh. Cụ thể, theo tài liệu của
Nguyễn Thị Nga (2003) chúng tôi có bảng tóm tắt như sau:
GIAI

CƠ CHẾ CỦA

ĐẶC TRƯNG

PHƯƠNG TIỆN

ĐOẠN

KHÁI NIỆM

CỦA KHÁI NIỆM

BIỂU DIỄN

+ chưa có tên

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)



• Tương ứng (ngầm ẩn)
Thế kỉ
16 -17

+ có tên
+ chưa có định nghĩa
+ công cụ ngầm ẩn

• Phụ thuộc và biến thiên
được đề cập rõ ràng hơn
trong vài nghiên cứu
• Tương ứng (ngầm ẩn)

10

• Bảng số
• Đường cong hình
học


+ có tên

• Phụ thuộc (được đề cập

+ có định nghĩa (hàm

tường minh trong vài

số được đồng nhất với nghiên cứu)

ứng giữa hai đại

nghiên cứu)

lượng)

• Biến thiên (tường minh)

+ công cụ tường minh

• Tương ứng (tường minh)

• Bảng
• Biểu thức giải tích
• Đồ thị

+ đối tượng nghiên
cứu
+ có tên
+ có định nghĩa
Cuối thế
kỉ 19 Thế kỉ
20

(dựa vào khái niệm
tương ứng hay quan
hệ giữa các phần tử

• Phụ thuộc (ngầm ẩn)
• Biến thiên (ngầm ẩn)

Ưu điểm

Nhược điểm

Đại số (biểu thức giải + Cô đọng và chính xác + Không thấy được đặc
tích hay công thức)

mối tương quan hàm

trưng phụ thuộc của hàm

+ Làm nổi bật đặc trưng số
tương ứng của khái niệm
hàm số
+ Dễ tính toán, biến đổi
+ Có thể dùng các công cụ
giải tích để nghiên cứu
tính liên tục, sự biến thiên,
cực trị…
+ Xác định nhanh một số + Không phải hàm số nào
Hình học (đồ thị, biểu tính chất của hàm số

cũng có thể mô tả chính

đồ)

xác bằng đồ thị
+ Tìm được giá trị (đúng + Cơ sở cho việc đọc được
hay gần đúng) của hàm số tính chất của đồ thị là
tại 1 điểm

Ví dụ 2: Xét hàm số g : * →  \ {0,1} với g ( n ) là số nguyên tố thứ n.”
Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, tác giả Trần Lương Công Khanh nói rõ:
“Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay toán học chưa
tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g. Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải tích của f và g trong
tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất. Điều này cũng cho thấy tồn tại những
hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên
- 2012).

Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng: khái niệm hàm số phát sinh, phát
triển, ngày càng mở rộng chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn. Cho nên,
việc dạy học khái niệm hàm số không chỉ nên dừng lại ở việc đưa vào định nghĩa của nó,
mà phải nắm vững các đặc trưng và các hệ thống biểu đạt của nó, cách chuyển đổi giữa các
hệ thống biểu đạt và đặc biệt là áp dụng nó vào việc giải quyết các bài toán của thực tế hay
của khoa học. Bởi vì các vấn đề thực tế sẽ làm nảy sinh nhu cầu sử dụng hàm số và thực
hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.

1.2. Tư duy hàm
Phần này được trích từ tài liệu “Phương pháp dạy học bộ môn Toán” của tác giả Nguyễn
Bá Kim (1996).
Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của
một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử
của tập hợp đó trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm có vai trò quan trọng trong việc
giáo dục toán học cho học sinh.
Liên quan đến vấn đề phát triển tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho rằng:
“phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận

13


dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán

14


Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt
động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước.
Như vậy, rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động
sau:
(1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học dưới con mắt động, nhìn
trong sự vận động, biến đổi.
(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện
toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng.
(3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ
nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung của các đối
tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm.

1.3. Quá trình mô hình hóa toán học
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho
một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt
ra trên hệ thống này.
Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được trình bày theo sơ đồ sau (Theo Nguyễn
Thị Nga (2011)).

15


Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga (2011))
- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian. Xây dựng
mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác
lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. Mô hình trung gian giữa tình huống ngoài toán
học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp độ trừu tượng hóa đầu tiên của

thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ
sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học. Trong bước tìm
kiếm mô hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả
thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại
diện trung thực cho bối cảnh thực tế.
(Theo Vũ Như Thư Hương – 2013)

1.4. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề
Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt một số nội dung về dạy học đặt và giải quyết vấn đề
trong tài liệu“ Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” của tác giả Lê Văn Tiến
(2005).
1.4.1. Những khái niệm cơ bản
1.4.1.1. Vấn đề
Thuật ngữ Bài toán được hiểu là “tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả
chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ liệu, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo
phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết” (Từ điển “Petit Robert”).
Xét bài toán T và một chủ thể X có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết. Khi đó
có hai khả năng xảy ra:
- Chủ thể X có thể giải quyết được bài toán T chỉ nhờ vào việc áp dụng đơn thuần hệ
thống kiến thức đã có của mình mà không có khó khăn gì.
- X không thể giải quyết được T nếu chỉ dựa vào hệ thống kiến thức đã có, hoặc chỉ
giải quyết được T sau một quá trình tích cực suy nghĩ để đồng hóa đối tượng nhận thức vào
mô hình kiến thức cũ của mình, hoặc để điều chỉnh lại kiến thức hay phương pháp hành
động cũ (nghĩa là kiến tạo kiến thức mới).
Nói cách khác bài toán T đặt ra trước chủ thể X những khó khăn nhận thức, những
mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hay mơ
hồ, nhưng chưa có một phương pháp có tính thuật toán nào để giải quyết. Khi đó ta nói, bài
toán T là một vấn đề đối với chủ thể X.
Cần nhấn mạnh rằng, để bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X, thì trước hết X
phải có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết (tự nguyện hay bắt buộc).

thức mới như là kết quả của quá trình giải quyết vấn đề. Nói cách khác, kiến thức không
được truyền thụ trực tiếp từ GV, dưới dạng có sẵn, mà được khám phá dần theo quá trình
giải quyết vấn đề.
Một mục đích cốt yếu khác của hình thức dạy học này là giúp HS phát triển các khả
năng khác, như: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách giải quyết
18