SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN (26)
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (2 điểm)
Cho (x +
3
2
+
x
)(y +
3
2
+
y
) = 3
Hãy tính giá trị của biểu thức P = x + y
( Đề thi TS vào lớp 10 chuyên ĐHTH năm học 1995 – 1996)
Câu II (2 điểm)
Giải phương trình:
)
1
(
2
2
+
+
x
x
x
= 1
(Tự ra)

biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex. Các đường thẳng
AC và BD cắt nhau ở M, AD và Bc cắt nhau ở N.
1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định
2. Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và
NCD có diện tích bằng nhau
(Đề thi TS vào lớp 10 chuyên Toán ĐHSP HN năm 1993)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN
MÔN TOÁN

Câu Nội dung Điểm
Câu I
2 điểm
Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x -
3
2
+
x
) ta được:
-3(y +
3
2
+
y
) = 3(x -
3
2
+
x
) (1)
Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x -

2
+
+
x
x
x
+
01
1
2
2
=−
+
x
x
⇔
2
)1
1
(
2
=
+
+
x
x
⇔




−+−
=
x
;
0.25
điểm
1 điểm
0.25
điểm
0.5 điểm
Câu III
2 điểm
Câu IV
1 điểm
Ta có:
0
4
3
)
2
1
(
1
2
2
>+
+
=
+
+

x
) <
xx
x
32
1
+++
< (
xx
x
32
1
+++
)+(5
711
2
++
x
x
)
Do đó,
⇒<<
+
)2(
33
3
xy
x
)1(
33

Bất đẳng thức cần chứng minh
=⇔
P
0)(34
2
2
2
2
≥+−++
y
y
y
x
x
y
y
x
Đặt z =
y
y
y
x
+
, ta có:
22
2
2
2
2
2

y
y
y
x
,
cùng âm do đó z =
y
y
y
x
+
< 0
Từ đó
)2)(1(
−−=
zzP
< 0 (Vì 2 thừa số đều âm)
• Với x, y cùng dấu thì
y
y
y
x
,
cùng dương do đó z =
2
≥+
y
y
y
x

1. Dùng định lý Mê-nê-la-uyt (Xem hình)
Trong tam giác CDA có:
MA
MC
ND
NA
FD
FC
MC
MA
NA
ND
FD
FC
=⇒=
1
(1)
Trong tam giác CAD có:
AM
AC
BD
BM
ED
EC
AC
AM
BM
BD
ED
EC

.
Vậy F cố định.
2. Ta sẽ chứng minh rằng nếu EA = EB thì MN // AB. Thật vậy, giả
sử rằng EA = EB mà đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại P.
Khi đó ta cũng dùng định lý Mê-nê-la-uyt tương tự trên lần lượt cho
các tam giác ABC, ABM, CBM thì được
1
==
EB
EA
PB
PA
, vô lý
Từ MN // AB, suy ra FM = FN và hai tam giác MCD và NCD có
diện tích bằng nhau. Vậy một vị trí thích hợp của B trên tia Ex là
điểm thỏa mãn đẳng thức EB = EA
0.5 điểm
0.5 điểm
0.75
điểm
0.75
điểm
x
M
N
A
B
E
P
D