đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5)
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150
Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y +
)1)(1(
22
yx
++
b = x
2
1 y
+
+ y
2
1 x
+
Giả thiết rằng: xy dơng, hãy tính b theo a.
2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của ph-
ơng trình: x
2
- (a-1)x - a
2
+ a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2đ): 1) Giải hệ phơng trình: 2x
2
- y
2
= 1
xy + x
2
= 2
2) Cho hàm số y = x

n
. Biết rằng - 1 ai 1 với i =1,2, ,n
Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD
1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đờng
thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đờng thẳng d chứa cạnh DC sao cho
E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất.
2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tơng ứng M và N sao cho
MAN = 45
0
. BD cắt AM, AN lần lợt tại I và K.
Chứng minh SCIK = S NMIK.
Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0; R) sao cho 0 nằm
trên đờng tròn (0, R). Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với
đờng tròn (0; R) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC
2
+ BC
2
đạt
giá trị lớn nhất.
*****
3
n
đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10
chuyên Lam sơn
Câu Nội dung Điểm
I 2.0đ
I
1
1.0đ
Ta có: a

(2)
So sánh (1) và (2) suy ra b
2
= a
2
- 1
Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau:
+ Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b =
1
2

a
+ Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = -
1
2

a
0,25đ
0,25đ
0,5đ
I
2
1.0đ
Ta có a
2
- a + 2 = (a - )
2
+ - [(a- )
2
+ ] < 0

+ ] = 3(a- )
2
+
Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x
1
2
+ x
2
2
bằng
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II 2,0đ
II
1
1,0đ
+ Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x
2
= hệ này vô nghiệm.
x
2
= 2
+ Nếu y 0 hệ đã cho suy ra xy + x
2
= 4x
2
- 2y
2

1
4
7
4
7
2
1
4
7
3
2
9
11
3
2
3
11
3
11
3
2
3
11
2
1
y
x

y
x

III 2,0đ
III
1
1,0đ
Vế trái của phơng trình đã cho bằng:
x
4
+ 12x
3
+ 13x
2
- 138x + 120 = (x
4
+ 6x
3
- 15x
2
) + (6x
3
+ 36x
2
- 90x)-
- (8x
2
+ 48x - 120) = x
2
(x
2
+ 6x - 15) + 6x (x
2

17
; x
4
= - 3 -
17
.
0,5đ
0,5đ
III
2
1,0đ
+ Ta có: 4a
3
- 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- )
2
0 với mọi a thoả mãn -1 a1
+ Từ đó 4a
1
3
- 3a
1
+ 1 = 4(a
1
+ 1) (a
1
- )
2
0
4a
2

n
3
) - 3(a
1
+ a
2
+.+a
n
) + n 0
= 0
- 3(a
1
+ a
2
++ a
n
) - n (a
1
+ a
2
+ .+a
n
) đ. p. c/m.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
2
1
2
1

Do đó: S = vì a,b không đổi
nên S nhỏ nhất khi 2sin cos lớn nhất.
Vì sin , cos dơng nên 2sin cos sin
2
+ cos
2
= 1 (BĐTcôsy)
do đó Max (2sin cos) = 1 khi sin = cos.
Vậy S nhỏ nhất khi sin = cos = 45
0
.Vậy E và F cần dựng thoả
mãn P0E = 0FQ = 45
0
.
* Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d).
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
VI
2
2đ
Vì C đối xứng với A qua DB
nên điều phải chứng minh
S AIK = SNMIK
S AIK= S AMN

do IAN = IDN = 45
0


1
2
1
.
.
=
ANAM
AIAK
AMNS
AIKS


A
B
C
D
M
N
K
I
45
0
A E P B d
a
b
D F Q C
d
0
=
Câu Nội dung Điểm

2
- 40H
2
+ 4R0H =
= 2R
2
+ R
2
- (R - 20H)
2
2R
2
+ R
2

Vậy giá trị lớn nhất của AC
2
+ BC
2
= 2R
2
+ R
2
đạt đợc khi
(R- 20H)
2
= 0 hay 0H = . Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là
tiếp tuyến chung ngoài của các đờng tròn (0; R) và (0; ).
*******


'R