A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực
khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học
phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm
chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy logic thông qua dạy học
chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán,
suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính
là tư duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác,
lập luận có căn cứ. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán
học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm
ngặt các quy luật của tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học,
người ta dùng suy diễn lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp
đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc
lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế
Toán học được coi là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn
1




3. Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn
Toán ở học sinh THCS.
4. Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán học
trong học tập môn Toán.
5. Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và
đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiều
nhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh. Thu thập, phân
tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh
THCS tại các lớp mình giảng dạy
6. Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành
công thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình
thành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quả
nhất.
-TỔ CHỨC THỰC HIỆN
I. Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát
triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.
2. Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của
một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó.
3. Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình
huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa
hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu
nhất.
II. Khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh của trường sở tại nói
riêng, học sinh THCS nói chung.
Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các
khả năng có thể xảy ra
3

(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" một vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo
viên không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng
ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).

4


• Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy
lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình

( 2 x − 3)( x + 7 ) = 0

tích số:

Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:

( 2 x − 3)( x + 7 ) = 0

⇒

2 x − 3 = 0

x + 7 = 0

⇒

3

x =
2

biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng
kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo
khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong chương
trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được đưa
vào sử dụng(Chẳng hạn: ∀, ∃, ⇒, ⇐, ⇔, ≡ ... , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ
định, chứng minh phản chứng... ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình
không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán
học. Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dần
dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng
thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương pháp suy luận, chứng
minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm
ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá
trình học tập bộ môn.
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã
quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh
THCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải
khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic. Khả năng tư duy lôgic không chỉ là
cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên,
như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo
khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì
không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối
với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS
nói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh,
6


tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác
nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra

tiếp.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển
đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng
các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lôgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng
kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)

D

C

A

B k

GT



Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán một cách có cơ sở
hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ,
phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic.
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn
trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
Bài tập tương tự:
Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:
a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng
nhau.
b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu cả hai
góc đều nhọn.
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là từ A suy ra
B, A đúng thì B đúng
thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn tàng, giáo viên cần
quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp các em có thêm vốn tri thức
phương pháp về các cách chứng minh khác như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng
minh gián tiếp.
2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề .
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai
bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy
làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó
mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành
phương pháp.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của
nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: ∀ x (x2 = x).

11

giác lồi bao giờ cũng bằng 4 góc vuông, vậy R cũng sai. Trong nhiều trường hơp
để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định
của Q. Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng. Làm như thế có nghĩa là chứng minh
gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho các em cách suy luận hợp
lý trong giải toán.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".

12


Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P và Q ⇒ R Vì vậy giáo viên
cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒(a // b) thông qua
cách viết : (a ⊥ c) và (b ⊥ c) suy ra (a//b)
Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ giữa a
và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán:
- a // b
- a cắt b
Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
(a ⊥ c) và (b ⊥ c) suy ra (a không song song với b) (giả sử a cắt b tại I )
Ta có

a⊥b
b⊥c

a cắt b tại I

⇒ Qua I có hai đường thẳng a, b cùng

Từ đó suy ra cần chứng minh :
(AC không lớn hơn AB) ⇒ ( B không lớn hơn C )
Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm được qúa trình suy luận(Sơ đồ ):
AC không lớn hơn AB (AC ≤ AB)

AC < AB
(Định lý thuận)
B
Một học sinh làm như sau:
Thực vậy, từ (1) ta suy ra :
(ac + bx + a.x + bc)(2 x + y ) = ( x + c )(ay + 2bx + 2a.x + by )

(2)

Bỏ dấu ngoặc ta được:
2ac.x + 2bx 2 + 2a.x 2 + 2bcx + acy + bxy + a.xy + bcy =
a.xy + 2bx 2 + 2a.x 2 + bxy + acy + 2bcx + 2ac.x + bcy

(3) đúng, vậy (1) đúng .

(3)

(điều phải chứng minh)

Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
(1) ⇒ (3), (3) đúng, vậy (1) đúng.
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
(1) ⇔ (3), (3) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau:
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
Chứng minh rằng góc C = 450
Một học sinh đã giải như sau:
C

B'
l

B
C'

A

Như vậy trong khi hướng dẫn học sinh giải, cần lưu ý các em phân chian xem
xét tất cả các trường hợp xảy ra rồi mới kết luận.
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức:

a b
+ > 2?
b a

Học sinh giải:
a2 + b2 > 2ab
a2 - ab > ab - b2
a(a - b) > b(a - b)
a>b
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với a > b.
Như vậy sai lầm của học sinh là do trong suy luận đã dựa vào tiền đề sai.
17


Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải toán là rất nhiều song phổ
biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lôgic(4.1)
hoặc dùng quy nạp không hoàn (4.2) toàn hay dựa vào tiền đề sai (4.3)...
Giáo viên cũng có thể cho học sinh phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài
toán để các em không chỉ rèn tốt tư duy lôgic mà còn tránh được nhiều sai sót
trong học toán và cả trong vận dụng thực tế.

1.Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng
minh(trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vân dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ
hiểu nhất. Ch ứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh.
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài toán
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề
trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học
toán hơn trước đây.
18


6. Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp
dụng cách làm này đều học môn Toán rất tốt trong đó các khoá học sinh ra
trường các năm học trước đạt kết quả rất cao.
VII. Đúc rút kinh nghiệm
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả
đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng
tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng
thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp
phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.
Để học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thông qua dạy toán nhất là loại
toán chứng minh cần lưu ý các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Toán THCS để từ đó đưa ra cho
học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức.
2. Nghiên cứu kỹ các yếu tố lôgic trong chương trình Toán THCS.
3.Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy lôgic nói
chung và tư duy lôgic toán nói riêng . Từ đó có sự điều chỉnh hợp lý các biện
pháp thực hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
4. Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho

Mai Văn Sơn

21