Sáng kiến kinh nghiệm

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Lời nói đầu:
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát
hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn
Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học
sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán. Ai
cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến
thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng các
kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể xiết,
mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài
toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài.
Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào
tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ
hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng
dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng,
động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách
tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học,
chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi
dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh,
góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân.
Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng
dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài
“Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ
nhất(GTNN) trong chương trình Toán THCS”
Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn
chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai
sót.
Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến

+Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên, các loại sách tham khảo.
+Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô
đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng
lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài
toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài
toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng
những học sinh có năng khiếu về toán. Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp
huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo
viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi
tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môn Toán hơn.
Nghiên cứu về “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng
lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào
sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.
2 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS


Sáng kiến kinh nghiệm

Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi,
từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.
Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành
công về tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
2. Hệ thống hóa kiến thức và phương phaùp giải toán tìm GTLN, GTNN

không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
-Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và
phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa
sâu.
-Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu.
-Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài
liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian.
-Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng
chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.
-Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành.
II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN):
 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x)
trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn.
+ Với mọi x thuộc D thì f(x) ≤ M, M là hằng số.
+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M.
 Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x)
trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
+ Với mọi x thuộc D thì f(x) ≥ m, m là hằng số.
+ Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m.
2. Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y…), xác định trên miền D
như sau:
 Cho biểu thức f(x ; y …). Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức
f(x ; y …) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :
4 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS


Sáng kiến kinh nghiệm


3)

a − b ≥ a - b ( đẳng thức xảy ra khi a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0 )

4)
5)

| a | + | b | ≥ | a + b |,
| a | – | b | ≥ | a – b |.

6)

đẳng thức xảy ra khi ab > 0.

a b
+ ≥ 2 với a > 0, b> 0.
b a

4. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Nhị thức ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm
của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
x
-b/a
ax + b
Trái dấu với a
0 Cùng dấu với a
Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất có nhiều ứng dụng như: giải bất phương
trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích. Nếu số nhân tử âm mà chẳn thì
tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá
trị của biến.

4

b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau:
Chứng minh: Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ
nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi
và chỉ khi a = b) ⇒ Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b).
III. KHẢO SÁT BAN ĐẦU:
Đơn vị
Khối 8;9
Tổng số
Tỷ số%

240 HS
100%

Hứng thú với dạng
toán
50
20,8%

Biết cách tiếp
cận dạng toán
20
8,3%

IV. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN:
1. Thực trạng:
- Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh không hứng
thú với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực

1. Dạng 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức đại số ( nổi bật trong dạng
này là biểu thức cho dưới dạng f(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a ≠ 0 ).)
Để giải dạng toán này ta hướng dẫn học sinh đưa biểu thức đã cho về dạng:
f(x)=k(X)2 + C trong đó C là hằng số từ đó ta sẽ tìm được GTLN hoặc GTNN.
Đây là dạng toán đơn giản nhất trong loại toán này(dạng có đề cập trong sách
bài tập), nhưng để giải được nó học sinh thường sử dụng phương pháp thêm bớt
hạng tử hoặc thêm bớt hạng tử để đưa về dạng (a + b) 2 + c (c là hằng số). Nhưng
đối với học sinh trung bình thì thực sự gặp rất nhiều khó khăn, còn đối với những
đa thức có hệ số không nguyên hoặc hệ số lớn thì nhiều em học sinh khá cũng cảm
thất khó khăn. Nên tôi đưa ra giải pháp là cung cấp cho các em bài toán tổng quát,
từ đó các em sẽ giải quyết dạng toán này một cách đơn giản kể cả học sinh trung
bình.
1.1. Bài toán tổng quát:
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a ≠ 0 ).
a) Tìm GTLN, GTNN của P khi a > 0
b) Tìm GTLN, GTNN của P khi a < 0
Giải:
b
b2
b2
Ta có: P(x) = ax + bx + c = a ( x + x + 2 ) +c=
a
4a

b 2
b 2
) ≥ 0 ⇒ a (x +
) ≤0
2a
2a
−b
Do đó: P(x) ≤ k ⇒ MaxP = k ⇔ x =
và không có GTNN.
2a

Vì (x +

1.2. Ví dụ:
Bài toán 1: Tìm GTNN của A = x2 – 6x + 8.
Giải:
Ta có: A = x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1 ≥ - 1.
Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3
Vậy minA = -1 khi x = 3
Bài toán 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5
Giải:
2
1
1
1
16
16
≤
x + ) + + 5 = - 3(x - )2 +
3

thể tự tin hơn bản thân từ đó các em sẽ có hứng thú hơn về dạng toán này.
Khi các em đã làm quen dạng 1 ta tiếp tục giới thiệu các em dạng tiếp theo
nhưng thực chất các em có thể tiến hành giống dạng 1.
2. Dạng 2: Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng phân thức:
2.1. Phân thức có tử là hằng số còn mẩu là một tam thức bậc hai:
Đối với dạng toán này ta cần chú ý đến biểu thức ở mẩu mà biểu thức ở dưới
mẩu chính là biểu thức học sinh được tiếp cận ở dạng 1.
Bài toán 1: Tìm GTNN của C =

−5
2x − 8x + 1
2

Giải:
−5

−5

Ta có: C = 2x 2 − 8x + 1 = 2 x − 2 2 − 7
(
)
−5

5

Ta thấy 2 ( x − 2 ) − 7 ≥ −7 ⇒ 2 x − 2 2 − 7 ≥ 7
(
)
2


Do đó D ≤

3
4

Vậy MaxD =

3
1
khi x=
4
3

Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng D có tử là hằng số nên D
lớn nhất khi mẩu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức

1
x −3
2

Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Mẩu thức x2 – 3 có GTNN là -3 khi x = 0 nhưng với x = 0 thì


2
3x 2 + 6x + 10 3 ( x + 2x+3) + 1
1
1
=
= 3+ 2
= 3+
Ta có: D = 2
2
2
x + 2x+3
x + 2x+3
x + 2x+3
( x+1) + 2

(bài toán lại quay về dạng trên)
1

1
1
1 7
Vì x+1 2 + 2 ≤ 2 nên 3 + x+1 2 + 2 ≤ 3 + 2 = 2
( )
( )

Vậy MaxD =

7
khi x= -1
2

Vậy MinE = 2 khi y=1 ⇔

1)

a ≥ 0 với mọi giá trị của a

2)

a+b ≤ a + b

3)

a − b ≥ a - b ( dấu bằng xảy ra khi a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0 )

(dấu bằng xảy ra khi ab > 0.)

4) a − b = b + a
3.1: Dạng: f(x) = M - A(x)
10 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS


Sáng kiến kinh nghiệm

Cách giải:
Vì A(x) ≥ 0 nên f(x) ≤ M. Do đó maxf = M. Khi A(x) = 0.
Bài toán : Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 100 - x + 5 có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN đó.
Giải: Với mọi x ta có x + 5 ≥ 0 nên 100 - x + 5 ≤ 100
Do đó maxA = 100 khi x + 5 = 0 hay x = - 5.
Vậy maxA = 100 khi x= -5.

Ta có D = x − 2 + x − 8 = x − 2 + 8 − x ≥ x − 2 + 8 − x = 6.
Dấu “=” xảy ra khi (x-2) (8-x) ≥ 0.
Lập bảng xét dấu:
x
2
8
x-2
0
+
8-x
+
+
0
(x-2)(8-x)
0
+
0

+
-

Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 8.
Vậy minD = 6 khi 2 ≤ x ≤ 8.
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = x − 2016 − x + 2015
Giải:
Ta có N = x − 2016 − x + 2015 ≤ x − 2016 − x − 2015 = 4031
Vậy maxN = 4031 khi x ≤ - 2015
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E =

( x − 2015)

Dấu “=” xảy ra khi ( x − 1) ( 4 − x ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
Và x − 2 + x − 3 ≥ x − 2 + 3 − x = 1
Dấu “=” xảy ra khi ( x − 2 ) ( 3 − x ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
Do đó D ≥3+1=4 Dấu “=” xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy minD = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

12 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS


Sáng kiến kinh nghiệm
M ( x)

3.3. Dạng f(x) = A( x) + b , f(x) = A(x) + B(x).
Cách giải:
Ta nên xét từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu
thức trong các khoản ấy để tìm GTLN, GTNN.
Bài toán : Tìm GTLN của biểu thức C =

x+2
x≠0
x Với

Giải:
x+2
2
≤ 1
=-1+
−x
−x
−1+ 2

2
Ta có f(x) = ax + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f.
 2
= a  x + (cy + d ) x +


1
a


= ……. = a  x +


1
1

(cy + d ) 2  (cy + d ) 2 + by 2 + ey + f
2
4a
 4a
2

1

(cy + d ) + m( y + q) 2 + p
2a

1
2


=  x 2 − 2x ( y − z + 1) + ( y − z + 1)  + 2 y 2 − 2 y + 3z 2 − 8z + 2016 − ( y − z + 1)



=  x − ( y − z + 1)  + 2 y 2 − 2 y + 3z 2 − 8z + 2016 − y 2 − z 2 − 1 + 2 yz − 2 y + z
2

=  x − ( y − z + 1)  + y 2 − 4 y + 2z 2 − 6z + 2015
2

2
2
2
=  x − ( y − z + 1)  +  y 2 − 2 y ( 2 − z ) + ( 2 − z )  + 2z 2 − 6z + 2015 − ( 2 − z )



=  x − ( y − z + 1)  +  y − ( 2 − z )  + 2z 2 − 6z + 2015 − 4 − z 2 + 4z
2

2

=  x − ( y − z + 1)  +  y − ( 2 − z )  + z 2 − 2z + 1 + 2010
2

2

=  x − ( y − z + 1)  +  y − ( 2 − z )  + ( z − 1) + 2010 ≥ 2010
Vậy minB = 2010 khi x = y = z = 1
2

= [ 5x + 4 y − 1] + 9  y 2 − y + ÷+ 10079 −
9
81 
81

14 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS


Sáng kiến kinh nghiệm
2

1  90710

= [ 5x + 4 y − 1] + 9  y − ÷ +
9
9

90710
18142
⇒ 5C ≥
⇒C ≥
9
9
18142
1
khi x=y=
Vậy min C =
9
9
5. Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó


= 5  x 2 − x + ÷+
4 4

2

1 3 3

= 5 x − ÷ + ≥
2 4 4

1
1
=0⇔ x=
2
2
3
1
Vậy min A = khi x =
4
2
Dấu “=” xảy ra khi x −

Bài toán 2:Tìm GTNN của biểu thức B = xy + yz + zx trong đó x, y, z thỏa mãn
điều kiện x+y+z = 3
Giải:
Ta có
B = xy + yz + zx = xy + z ( y + x ) = xy + 3 − ( y + x )  ( y + x )
= xy + 3 ( x + y ) − ( x + y ) = xy + 3x + 3 y − x 2 − y 2 − 2xy
2

4

Vậy maxB = 3 khi x = y = z =1
2

2

Chú ý: Khi giải tìm GTLN, GTNN của f(x,y…) ta cần biến đổi f(x,y…) ≤
M hoặc f(x,y…) ≥ M với M là hằng số với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường
hợp xẩy ra đẳng thức.
Ví dụ ta xét bài toán tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Lời giải sai: ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔
x = y = 2. Khi đó minA = 22 + 22 = 8.
Phân tích sai lầm: đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm, ta mới
chứng minh được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) ≥ M với M là
hằng số.
Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 ≥ 4x – 4 sẽ suy ra x2
nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔ (x – 2)2 = 0, do đó min(x2 )= 4 ⇔ x = 2, nhưng dễ thấy
kết quả đúng phải là min(x2 )= 0 ⇔ x = 0.
Cách giải đúng:
x + y = 4 suy ra x2 + 2xy + y2 = 16
(1)
2
2
2
Ta lại có (x – y) suy ra x – 2xy + y ≥ 0
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16
x2 + y2 ≥ 8
Nên minA = 8 khi x=y=2.


d) - x2 – y2 + xy + 2x + 2y
e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 8
6

2

2
4
f) -  x −  + 3
15 
9

2

c) 11 – 10x – x

Dạng 2:
Bài 1. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a)

4x + 1
x2 + 5

b)

x2 + x +1
x2 − x +1

c)


6x 2 − 2x + 1
x2

, x≠0

c)

x 2 + 2x + 3
x2 + 2

h)

x 2 − 4x + 1
x2

d)

x4 + x2 + x +1
x 4 − x3 + 2x 2 − x + 1

m)

e)

2002 x 2 − 2 x + 1
x2

n)



4
1
7
2

2009
2010
+ x+
2010
2011

h) x − 2 + x − 3 + x − 4

Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 2: Tìm GTLN của cácbiểu thức.
a) 5 - 2 x − 1

e) x +

1

b) x − 2 + 3
c) 9 - x −

2
4

Dạng 4:
d) - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1
e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 8
Dạng 5:
Bài 1.Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2
Bài 2.Cho 4x – 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
Bài 3.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a4 + b4
Bài 4.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a3 + b3
Bài 5.Cho x.y = 1. Tìm GTNN của x + y
Bài 6.Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3. Biết x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = 1
Bài 7.Tìm GTLN của A = a2 + b2 + c2 . Biết – 1 ≤ a, b, c ≤ 3, a + b +c = 1
Sau khi đưa ra những bài toán này hướng dẫn cho học sinh, tôi khảo sát
thu lại kết quả như sau:
Đơn vị

Khối 8;9

Hứng thú với dạng
Biết cách tiếp
toán
cận dạng toán
Tổng số
240 HS
110
80
Tỷ số%
100%


Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS

19


Sáng kiến kinh nghiệm

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8. NXB Giáo Dục
2. Một số vấn đề phát triển toán 8. NXB Giáo Dục
3. Một số vấn đề phát triển toán 9. NXB Giáo Dục.
4. 225 bài toán chọn lọc Đại số. NXB Đại học quốc gia.
5. Một số tạp chí toán học tuổi thơ. NXB Giáo Dục
6. Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ. NXB Giáo Dục
7. Thực hành giải toán. NXB Giáo Dục
8. Một số đề thi học sinh giỏi ...

20 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình toán THCS