SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC Ở CHƯƠNG I, HÌNH HỌC 8
TẠI TRƯỜNG THCS TÂY HỒ - THỌ XUÂN

Người thực hiện: Phùng Thị Tình
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán.


THỌ XUÂN, NĂM 2017

Mục lục
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
3.


1.1. Lý do chọn đề tài
Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành;
lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và
giáo dục xã hội [3].
Vì thế, mỗi giáo viên phải tìm cho mình những phương pháp phù hợp với
đối tượng học sinh để phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ của các
em, giúp học sinh nâng cao tính tự học, tự nghiên cứu trau dồi kiến thức, chủ
động trong học tập. Nhất là trong thời điểm hiện nay, chúng ta tiếp tục hưởng
ứng cuộc vận động của ngành giáo dục “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương
sáng tự học, tự sáng tạo” thì mỗi giáo viên cần có một phương pháp phù hợp để
học sinh thích học môn mình dạy, mỗi giờ học các em được nghiên cứu, khám
phá tri thức thể hiện rõ vai trò trung tâm của mình.
Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thọ Xuân năm học: 2009 2010, môn Toán lớp 8 có câu V: “Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 900)
có CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng ∠BMD = 900” có nhiều học sinh không giải được, trong đó có
học sinh tôi trực tiếp giảng dạy. Bản thân rất trăn trở và đã nghiên cứu dạng bài
tập này giúp các em tự tin hơn trong chứng minh sự vuông góc.
Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về
chứng minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8. Đồng nghiệp, nhà trường
chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục vấn đề này. Vì vậy, tôi đã nghiên
cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc
ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài: Giúp học sinh lớp 8 nắm vững những
kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh sự vuông góc. Giúp học sinh lớp
8 hệ thống phương pháp chứng minh sự vuông góc. Củng cố cho học sinh những
kĩ năng chứng minh hình học. Từ đó, học sinh thêm hứng thú khi học phân môn
hình học nói chung và khi học chứng minh sự vuông góc nói riêng.

đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối
diện với cạnh đó [5].
Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến,
đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực
ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác
cân.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa
cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh
ấy thì tam giác đó là tam giác vuông [6].
2.2. Thực trạng vấn đề chứng minh sự vuông góc trước khi áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm
Về phía học sinh: Hình học sơ cấp cấp THCS là bộ môn khoa học khó đối
với học sinh. Các em thường ngại học, ngại đầu tư, chưa say mê với bộ môn này.
Học sinh mới làm quen với phân môn hình học, chưa biết vận dụng tri thức vào
thực hành, suy luận hình học chưa tốt, lập luận đôi khi còn cảm tính. Chưa có
nhiều kinh nghiệm trong đúc rút kinh nghiệm qua mỗi bài giải. Chưa biết cách
khai thác một bài toán.
Về phía giáo viên: Chưa chú trọng cung cấp phương pháp cho học sinh
cách giải toán hình học, bằng lòng, kết thúc công việc giải bài tập hình học khi
đã tìm ra một cách giải nào đó. Ít quan tâm tới sự phát triển tư duy, sáng tạo của
học sinh. Chú trọng đến số lượng bài tập, chưa chú trọng tới chất lượng bài tập.
Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học môn hình
học đặc biệt là chứng minh hình học, tôi thiết nghĩ người giáo viên cần: Nắm
vững kiến thức, chú trọng phát triển phương pháp tư duy cho học sinh, vận dụng
dạy học theo phương pháp đổi mới. Tìm tòi hệ thống bài tập theo chủ đề, theo
2


cấp độ từ đơn giản đến phức tạp để củng cố khắc sâu kiến thức, nhằm giúp cho

Tứ giác AKHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
C
B
⇒ ∠OKA = ∠OAK
H M
Nhận xét: Để chứng minh AM ⊥ IK ta đã đi chứng minh ∆ANK vuông tại N bằng
cách chỉ ra tổng hai góc ∠NAK và ∠AKN bằng 900. Bản chất bài toán trên không
đổi, nhưng với cách ra đề khác ta có bài toán mới sau đây.
Bài 2. Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB, HE
vuông góc với AC (D ∈ AB, E ∈ AC).
a) Chứng minh rằng: ∠C = ∠ADE.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE [2].
Bài giải
a) ∠BAH = ∠C (Cùng phụ với ∠B)
A
Tứ giác DHEA là hình chữ nhật nên
E
D
∠ADE = ∠DAH (∠DAH = ∠BAH)
⇒ ∠C = ∠ADE
(1)
B
C
H M
b) MB = MC (gt).
⇒ ∆ABM cân tại M.
⇒ ∠B = ∠MAB.
(2)
3


Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD (∠A=∠D= 900), có AB= CD. Gọi H là hình
2
chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng ∠BMD = 900 [2].
Bài giải
Gọi N là trung điểm của HD.
Ta có MN là đường trung bình của ∆HDC nên
1
MN // DC, MN = DC.
2
1
Ta lại có AB // DC, AB = DC,
2
do đó AB//MN, AB = MN.
Vậy ABMN là hình bình hành, suy ra
AN // BM.
(1)
∆ADM có DH ⊥ AM, MN ⊥ AD,
suy ra, N là trực tâm của ∆ADM nên
AN ⊥ DM
(2)
0
Từ (1) và (2) suy ra ∠BMD = 90 .
Nhận xét: Thay đổi cách ra đề, nhưng bản chất toán học của bài toán thì không
đổi, cách chứng minh như bài 4. Ta có bài toán sau:
4


Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Kẻ
1
đoạn thẳng BK vuông góc BA sao cho BK = AC, K và C cùng phía đối với AB.

H
⇒ MN // AB; MN = AB.
⇒ Tứ giác ABMN là hình bình hành.
N
M
⇒AN // BM
(1)
D

C

∆ADM có DH ⊥ AM (gt) và MN ⊥ AD
⇒ N là trực tâm của ∆ADM.
⇒AN là đường cao hay AN ⊥ DM
(2)
0
Từ (1) và (2) suy ra: BM ⊥ DM hay ∠BMD = 90 .
Nhận xét:
- Cũng cách chứng minh như bài 5 nhưng ra đề theo cách khác. Ta có bài toán
mới: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ AH ⊥ BE,
M, N lần lượt là trung điểm của AH và HE. Chứng minh rằng AN ⊥ NC.
- Phương pháp sử dụng mối quan hệ giữa đường thẳng song và đường thẳng
vuông góc là công cụ đắc lực trong chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Trong bài 4 và bài 5 có điểm N là trực tâm của ∆ADM, tính chất điểm trực tâm
của tam giác cũng là một trong những cách thường dùng để chứng minh sự vuông
góc. Với bài 5, nếu thay đổi một chút giả thiết thì có bài toán mới. Chứng minh sự
vuông góc dựa vào tính chất trực tâm của tam giác. Ta có bài toán 6 sau đây.
2.3.3. Chứng minh sự vuông góc dựa vào trực tâm của tam giác



I
⇒ NI là đường trung bình của ∆ABF.
M
F
1
⇒ NI // AB và NI = AB.
N
2
A
D

Mặt khác AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật),
CM = MD (gt)
⇒ NI ⊥ BC ; NI // CM và NI = CM. ⇒ Tứ giác CINM là hình bình hành.
⇒ CI // MN, mà MN ⊥ BN (∠BNM = 900).
⇒ CI ⊥ BN. Do đó I là trực tâm của ∆BCN
⇒ BF ⊥ AC.
2.3.4. Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất đường cao, đường trung
tuyến ứng với đỉnh tam giác cân
Bài 8. Cho tam giác ABC các đường cao BD và CE. Gọi M, N là chân các đường
vuông góc kẻ từ B, C đến DE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng: a) KI ⊥ ED.
b) EM = DN [1].
Bài giải
a) BK=KC (gt), CE⊥AB; BD ⊥
(Tính chất đường trung tuyến ứng với
1
cạnh huyền).
AC(gt) ⇒ EK = KD = BC
⇒ ∆EKD cân tại K.

B
Gọi E là giao điểm của AM và DC.
Xét ∆AMB và ∆EMC có:
∠ABM = ∠MCE (Hai góc so le trong);
BM = ME (gt);
I
M
∠AMB = ∠CME (Hai góc đối đỉnh)
⇒ ∆AMB = ∆EMC (g.c.g)
⇒ MA = ME, AB = CE
D
E
C
⇒ ∆ADE cân tại D.
⇒ DM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Nhận xét: Bài 9 ngoài cách chứng minh AM ⊥ DM dựa vào tính chất đường cao,
đường trung tuyến ứng với đỉnh tam giác cân. Ta có thể chứng minh AM ⊥ DM
dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một
phần hai cạnh ấy.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của AD.
⇒ IM là đường trung bình nên IM = 5cm.
∆AMD có: AI = IM = ID = 5cm ⇒ ∆AMD vuông tại M.
⇔ AM ⊥ DM.
2.3.5. Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với
một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
Bài 10. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật
ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
1
a) Gọi I và O thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: OM = IC [2].
2

2
2

C
K

⇒ ∆MBK vuông tại M ⇒ BM ⊥ MK.
7
Bài 11. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là trung điểm của BC. Qua E kẻ
đường thẳng song song với AD, cắt CD ở F. Chứng minh rằng BF ⊥ CD [4].
Bài giải
EF // AD ⇒ ∠D = ∠EFC mà ∠D = ∠C
B
A
(Tứ giác ABCD là hình thang cân đáy AB, CD).
E
⇒ ∠EFC = ∠C ⇒ ∆EFC cân tại E
⇒ EF = EC ⇒ BE = EC = EF
⇒ ∆BFC vuông tại F.
D
F
C
⇒ BF ⊥ FC.
Nhận xét: Để chứng minh BF ⊥ FC ta đã đi chứng minh ∆BFC có một đường
trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
Bài 12. Cho hình vuông ABCD, điểm E ∈ BA, F ∈ AD sao cho AE = AF. Gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ A đến BF. Chứng minh rằng góc EHC = 900 [4].
Bài giải
Kẻ AH cắt DC tại K. Ta có:
1

C

⇒ ∠EHC = 900.
Nhận xét: Để chứng minh ∠EHC = 900 ta đã chứng minh ∆BHK có một đường
trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
2.3.6. Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất hai đường chéo của một
hình thoi
Bài 13.Cho tam giác ABC. Lấy điểm D∈AB, E∈AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M,
N theo thứ tự là trung điểm của DE, BC, BE, CD. Chứng minh rằng IK ⊥ MN [1].


Bài giải: Ta có DI = IE; DN = NC nên IN là đường trung bình của ∆DCE.
1
A
⇒ IN // EC và IN = EC.
2
1
D
I
Tương tự ta có IM//BD và IM= BD;
E
2
N
1
M
MK // EC và MK = EC.
2
C
B
K

⇒ MN ⊥ PQ.
Nhận xét: Để chứng minh MN ⊥ PQ ta đã đi chứng minh MN, PQ là hai đường
chéo của hình thoi PMQN.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu của D trên AC. N, M lần
lượt là trung điểm của DH, HC. Chứng minh rằng AN ⊥ DM.


Bài 2. Cho tam giác ABC có ∠A > 900. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao
cho AD ⊥ AB, AD = AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng AM ⊥ BC [2].
Bài 3. Cho tam giác ABC. Điểm D ∈ AB, E ∈ AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M,
N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.
a) Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A [2].
Bài 4. Cho ABCD là hình bình hành có AC vuông góc với AD. M, N theo thứ tự là
trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: AC ⊥ MN.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ AH ⊥ BE,
M, N lần lượt là trung điểm của AH và HE. Chứng minh rằng AN ⊥ NC.
Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác AD của góc A. Lấy N∈AC
sao cho: AB = CN. F, G, H lần lượt là các trung điểm của BN, BC và CA. Từ G kẻ
đường thẳng song song với AD cắt AC tại E. Chứng minh rằng: EG ⊥ FH.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với các hoạt động giáo dục, với9
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Nghiên cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự
vuông góc ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân” bản thân
đã có điều kiện tìm hiểu sâu về chứng minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8.
Đồng thời, đưa ra các phương pháp cụ thể, có bài tập minh họa. Phần nào giúp học
sinh dễ hiểu, mà trên thực tế chưa có tài liệu nào giới thiệu tường minh về chứng
minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8. Từ đó, có kế hoạch tốt trong việc dạy

lớp 8
Chưa
2011- 2012 áp
36
7
19
15
42
10
28
4
11
dụng
Đã áp
49
7
14
15
31
15
31
12
24
2012- 2013 dụng
Đã áp
45
5
11
14
31


Đỗ Ngọc Đức

Phùng Thị Tình


TÀI LIỆU THAM KHẢO

11

1. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 tập 1, Tôn Thân (Chủ biên), Vũ
Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên, NXB Giáo Dục, 2008;
2. Nâng cao và phát triển Toán 8, tập 1, Vũ Hữu Bình, NXB Giáo Dục, 2010;
3. Nghị quyết số 29 – NQ/TW, ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công
nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã
hội chủ nghĩa và hội nhập Quốc tế;
4. Ôn kiến thức luyện kỹ năng hình học 8, Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình,
Vũ Quốc Lương, Bùi văn Tuyên, NXB Giáo Dục, 2007;
5. Toán 7, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu
Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, NXB Giáo Dục, 2007;
6. Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ
Hữu Bình, Trần Đình Châu, Nguyễn Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn
Duy Thuận, NXB Giáo Dục, 2005.


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

C
2007 - 2008
bài toán rút gọn biểu thức.
Khai thác một số đẳng thức và ứng dụng của
4
Cấp Phòng
B
2009 - 2010
nó khi dạy Đại số THCS.
Khai thác một số đẳng thức và ứng dụng của
5
Cấp Sở
C
2009 - 2010
nó khi dạy Đại số THCS.
Một số phương pháp giải phương trình chứa
6
Cấp Phòng
C
2011 - 2012
ẩn ở mẫu số.
Nâng cao hiệu quả tìm cực trị của đa thức
7

bậc hai bằng phương pháp dồn biến không
hoàn toàn đối với học sinh lớp 8.

Cấp Phòng

B