SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG
LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


MỤC LỤC


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm qua trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi
dưỡng, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều
hình thức như: đổi mới sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu
bài học, ứng dụng công nghệ thông tin trong các tiết dạy, phát động phong trào
viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học
sư phạm ứng dụng, tổ chức hoạt động ngoại khoá.
Đối với môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải tích cực trau
dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến
thức cho học sinh. Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia có những câu hỏi



2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức
vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó.
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện
qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn
toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những
yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ
năng giải phương trình, bất phương trình …..
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách nhân liên hợp tương
đối mới lạ đối với đa số học sinh lớp 10. Khi gặp các bài toán về vấn đề trên,
hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh
do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách tìm, tách, thêm bớt và nhân lượng
liên hợp phù hợp. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách
giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh phải sử dụng lượng
liên hợp nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù
hợp.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán phương trình, bất
phương trình vô tỷ, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức
về hằng đẳng thức từ đó có thể tự suy ra các biểu thức liên hợp tương ứng
thường gặp. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận
dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập tương đối đầy đủ về các bài

⇔ ( x − 4)(
− 2) = 0
2x − 5 + x − 1
x = 4
⇔
(1)
1

=2
 2 x − 5 + x − 1
5
1
1 ⇒
2x − 5 + x − 1

Điều kiện: x ≥

Nên phương trình (1) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 4} .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 10 x + 1 + 3x − 5 = 9 x + 4 + 2 x − 2 .
Phân tích
Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x = 3
Từ các biểu thức có trong phương trình ta thấy:
(10 x + 1) − (9 x + 4) = x − 3 .
(3x − 5) − (2 x − 2) = x − 3

Như vậy ở đây ta phải chuyển vế sau đó mới nhân lượng liên hợp tương ứng.
Giải
Điều kiện x ≥

5


Dễ có phương trình (1 ) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .
Nhận xét
Nếu chỉ quan sát phương trình ta cũng có
(10 x + 1) − (3 x − 5) = 7 x + 6
(9 x + 4) − (2 x − 2) = 7 x + 6

Nên nếu ta không chuyển vế mà nhân liên hợp luôn thì cũng xuất hiện nhân tử
chung là 7 x + 6 , đưa được phương trình về phương trình tích. Nhưng ta chưa giải
quyết xong bài toán vì nghiệm của phương trình nằm trong phương trình còn lại.
Như vậy việc sử dụng máy tính tìm nghiệm góp phần xác định hướng giải đúng
và ngắn gọn hơn.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 x 2 = (2 x + 8)(1 − 1 + 2 x ) 2 .
Phân tích
Ta có (1 − 1 + 2 x ) 2 (1 + 1 + 2 x ) 2 = 4 x 2 .
Giải

−1
Điều kiện ∀x ≥ .
2

Ta có phương trình đã cho: 4 x 2 = (2 x + 8)(1 − 1 + 2 x ) 2
⇔ 4 x 2 (1 + 1 + 2 x ) 2 = (2 x + 8)4 x 2
x = 0
⇔
(1)
2

x2 + 4
2 x 2 = ( x + 9)(3 − 9 + 2 x ) 2 .

.

6


3x − 2 − x + 1 = 2 x 2 − x − 3 .
7)
3
8)
x + 2 + 3 x + 1 = 3 2 x2 + 3 2x2 + 1 .
Dạng 2: Tìm được một nghiệm đẹp thêm bớt để làm xuất hiện biểu thức
liên hợp.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 .
Phân tích

4x − 5
nhưng biểu thức
3x + 1 + 6 − x
còn lại khi phân tích không thể xuất hiện nhân tử 4 x − 5
Sử dụng máy tính cầm tay ta có một nghiệm x = 5 .( Nếu không sử dụng máy

Nếu ta nhân liên hợp thì ta có 3x + 1 − 6 − x =

tính cầm tay ta có thể nhẩm nghiệm là một số sao cho các biểu thức dưới căn là
số chính phương)
Phương trình (1) có nghiệm x = 5 có thể phân tích phương trình về dạng

+ Với x = 1 thì ta có: x − 3 = 1; 3 x 2 − 8 = 2
Giải
Điều kiện: ∀x ≥ 3 .
Ta có phương trình đã cho:
7


x − 3 + 3 x2 − 8 = 3
⇔ ( x − 3 − 1) + (3 x 2 − 8 − 2) = 0
x−4
( x − 4)( x + 4)
⇔
+
=0
2
x − 3 + 1 3 ( x − 8) 2 + 23 x 2 − 8 + 4
x = 4
x+4
⇔
+
= 0(1)
1
2
2

3
( x − 8) + 23 x 2 − 8 + 4
 x − 3 + 1
Vì vế trái (1) luôn dương với ∀x ≥ 3 .


− ( x + 3) = 0
 x 2 + 91 + 10
x − 2 +1

Ta có ∀x ≥ 2 ⇒

x+3
x + 91 + 10
2

< 1,

1
x − 2 +1

> 0, x + 3 > 1 nên phương trình (1) vô

nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .
Nhận xét: Trong bài toán này công đoạn khó đó là chứng minh phương trình (1)
vô nghiệm. Để có thể chứng minh (1) vô nghiệm mà cần dựa vào điêu kiện xác
định ( có thể là cả điều kiện cần để phương trình có nghiệm ), ở bài này dựa vào
điều kiện xác định ∀x ≥ 2 .

Ví dụ 7: Giải phương trình:

3

x 2 − 1 + x = x 3 − 2 (1) .


x 2 + 3x + 9
x3 − 2 + 5

)=0

x = 3

x+3
x 2 + 3x + 9
⇔
+1−
= 0 (2)
3
 3 ( x 2 − 1) 2 + 2 3 x 2 − 1 + 4
x
−
2
+
5


Giải (2).
Ta có với x ≥ 3 2 > 1 thì
3

3

( x 2 − 1) 2 > x − 1 . Thật vậy

( x 2 − 1)2 > x − 1

> 2 ∀x > 1 (4)
x2 + 2 x
x + 2 x + 10
x 2 + 2 x + 10
+5
2

Từ (3) và (4) ta có phương trình (2) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3} .
Nhận xét
Ta thấy với số liệu của phương trình trên ta không thể sử dụng biến đổi tương
đương để giải
Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm
x = 3 . Nhưng khâu khó nhất trong bài toán này đó là chứng minh phương trình
(2) vô nghiệm.

9


Ví dụ 8: Giải phương trình 5 − x + 32 x 2 − x 4 =

38 − x
(1).
2

Phân tích
+ Nhẩm được nghiệm x = 4 .
+ Ta có với x = 4 thì 5 − x = 1, 32 x 2 − x 4 = 16 .
Giải
Điều kiện: ∀ : −4 2 ≤ x ≤ 5 (*).

 32 x − x + 16
5− x 2
( x + 4) 2
1
(2) ⇔ ( x − 4)[
+
]=0
32 x 2 − x 4 + 16 2( 5 − x + 1)
x = 4

⇔  ( x + 4) 2
1
+
= 0(3)
 32 − x 2 + 16 2( 5 − x + 1)
Ta có ∀ : −4 2 ≤ x ≤ 5 thì vế trái của phương trình (3) luôn dương nên phương

trình (3) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 4} .
Nhận xét: Trong bài toán này, nếu vội vàng đi chứng minh phương trình (2) vô
nghiệm thì ta sẽ bị “ vướng” vì x = 4 là nghiệm kép của phương trình.
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5 x − 1
2) 5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1 .
3) x + 6 + x − 1 = x 2 − 1
4) x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
5) x − 2 + 4 − x + 2 x − 5 = 2 x 2 − 5 x
6) 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4( x − 1) = 0 .
7) x 2 + 3 x + 6 = 7 − x − 1 .

1
 2 a − b = 0
a = 2
⇒

 4 − 3 a − b = 0 b = 1
 2
 1
 4 + 2 c − d = 0 c = −2
⇒

d = 3
3 c + d = 0
 2

Giải
1
3
Điều kiện: − ≤ x ≤ .
2
2
(1) ⇔ 4 + 8 x − (2 x + 1) + 12 − 8 x − (3 − 2 x) = 4 x 2 − 4 x − 3
−4 x 2 − 4 x + 3
−4 x 2 − 4 x + 3
+
= 4 x2 − 4x − 3
4 + 8x + 2x + 1
12 − 8 x + 3 − 2 x
1
1

2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x = 0
2 3x + 4 + 3 5 x + 9 = x 2 + 6 x + 13
4)
x + 2 + 5x + 6 + 2 8x + 9 = 4x2
5)
6)
9x − 2 + 3 7x 2 + 2x − 5 = 2x + 3
Dạng 4: Các nghiệm của phương trình đều lẻ
Ví dụ 10: Giải phương trình x + 3 − x = x 2 − x − 2 .
Phân tích:
+ Dùng máy tính tìm nghiệm của phương trình ta có nghiệm của phương trình là
x ≈ 2, 618033989... . Nếu nhẩm nhanh ta có x ≈ 2, 618033989... = 3 + 5 . Mà x = 3 + 5
2
2
2
là nghiệm của phương trình x − 3x + 1 . Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử
chung là x 2 − 3x + 1 .
+ Để xuất hiện nhân tử chung là x 2 − 3x + 1 lượng thêm bớt phải có dạng ax + b .

Giả sử ta biến đổi phương trình như sau:
x − (ax + b) + 3 − x − (cx + d ) = x 2 − x − 2 − ( ax + b) − (cx + d )

Xét

vế

phải

ta


Thật vậy x − (ax + b)2 = − x 2 + 3x − 1 ⇔ (ax + b) 2 = ( x − 1)2 ⇒ ax + b = x − 1 (2)
Ta có thể tìm c, d bằng cách giống tìm a, b . Nhưng có thể suy ra từ (1) và (2)
cx + d = x − 2 .

Ta có x − (ax + b) =

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 3

Giải
x ≥ 2
 x ≤ −1

2
Từ phương trình ta có x − x − 2 ≥ 0 ⇔ 

Suy ra 2 ≤ x ≤ 3 .
Phương trình đã cho tương đương với
x − ( x − 1) + 3 − x − ( x − 2) = x 2 − 3 x + 1
⇔

− x 2 + 3x − 1 − x 2 + 3x − 1
+
= x 2 − 3x + 1
x + x −1
3− x + x − 2

12


⇔ ( x 2 − 3 x + 1)(1 +

x2 − 6x − 2 = x + 8
2)
2 x2 − x − 3 = 2 − x
3)
x3 − 3x − 3 = 8 − 3x 2
x 2 + 6 x + 6 − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + 1 = 0
4)
2.3.2.2. Sử dụng liên hợp để giải bất phương trình
Ví dụ 11: Giải bất phương trình

x2
(1 − 1 + x ) 2

≤ x+4.

Phân tích
Ta có (1 − 1 + x ) 2 (1 + 1 + x ) 2 = x 2
Giải

Điều kiện: ∀x ∈ [ − 1;+∞) \ { 0} .
Với điều kiện trên ta có bất phương trình đã cho tương đương với
(1 + 1 + x ) 2 ≤ x + 4
⇔ 1+ 2 1+ x +1+ x ≤ x + 4
⇔ 1+ x = 2
⇔x≤4

Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S = [ − 1;4] \ { 0}
Ví dụ 12: Giải bất phương trình

3x

⇔ x≥0

+

1

)≥0

3x + 1 + 1

Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 0;+∞)
Ví dụ 13: Giải bất phương trình ( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12
(Đề đại học khối D năm 2014).

(1) .

Phân tích
+) Thay dấu “ ≥ ” của bất phương trình bằng dấu “ = ” ta được phương trình
( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12 , dùng máy tính tìm nghiệm của phương
trình ta được nghiệm x = 2 . Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử chung là x − 2
.
+) Cách xác định lượng thêm bớt hoàn toàn giống phương trình. Với x = 2 ta có
x + 2 = 2; x + 7 = 3 . Ta biến đổi bất phương trình như sau
( x + 1)( x + 2 − 2) + ( x + 6)( x + 7 − 3) ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6)

Giải
Điều kiện: x ≥ −2 .
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với
( x + 1)( x + 2 − 2) + ( x + 6)( x + 7 − 3) ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6)
x−2

+
− ( x + 4) = 
−
+
−
−

4 x − 25
4 x − 25
⇔
+
≥0
7
3
2
2
2x + 7x + 6 + x +
x −4 +
2
2
⇔ (4 x 2 − 25)[

1
2x 2 + 7x + 6 + x +

7
2

+

1
x2 − 4 +

3
2

]≥0

7)

9x2
> 2x +1.
( 1 + 3x − 1) 2
x
+ x + 1 ≥ 3x + 1 .
x+2
3x 2 − 7 x + 3 + x 2 − 3 x + 4 > x 2 − 2 + 3 x 2 − 5 x − 1 .
( x + 3 − x − 1)(1 + x 2 + 2 x − 3) ≥ 4 .
2 x 2 + x + 2 + 5 ≤ 2 ( x + 2 + x)( x 2 − x + 3 + x ) .
x 2 + 35 < 5 x − 4 + x 2 + 24 .

15


8)
9)

4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ ( x − 1)( x 2 − 2)
x2 + x + 1 x2
+ ≤
x+4
2

1

x2 + 1
x 2 + 6 x + 6 − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + 1 ≥ 0


THPT Quốc gia của học sinh trường THPT Như Thanh.

16


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
∗ Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải
phương trình, bất phương trình vô tỷ .
∗ Xây dựng được một hệ thống các bài tập về phương trình, bất phương trình
vô tỷ trong đó cách giải quyết chính là sử dụng lượng liên hợp để giải .
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản
dạy học môn toán nói riêng.
3.2. Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
∗ Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng
đối tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự
nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến
thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi.
∗ Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên
cứu, hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều
kiện cho giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học
tập giúp các em có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.