Trờng THCS Hải Vân
Ôn Thi vào THPT
A-Phần đại số
I-Căn Bậc hai bậc ba
A- Lí thuyết ( Đề cơng ôn tập)
B- Bài tập
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
3
32

(căn bậc 3)
b,
3 3
7 15+
và 15 1 và

C=
124
+
x
D=
13
2
+
x

E=
14
2

x

F=
12
2
+
xx
G=
542
2
++
xx
H=
105

x

x
x
P=
44
2
+
xxx
Q=
42
1
2
++
xx
R=
3
1
2

x
U=
x
x
x 3
3
++
Bài 3a, Cho A=
6 2 5+
và B=
6 2 5
Tính A+B ;A-B ; A.B;

+

C=
+
+

35
35
35
35

+

D= (
3).135415312
+

E=
448)1008700252(
+
F=2
48537521240

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 1
Trờng THCS Hải Vân
H=
3253
++
.
3253


-
7

C=
3242
32
++
+
+
3242
32


D=
25353
+

E=
77474
+
F=
62125,6125,6
+++

G=
1247
1
1247
1

D=
5122935

Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx
+
với x>4 d,
9696
22
++++
aaaa
với a
bất kì
b,
12
12
++
+
xx
xx
với x
0

e,
12
+
aa
+



33
với a
bab

;0;0
h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444
++
xxxx
H
2
=
44
2
+
xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33
=

+


a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612
+++
xx
-
3612
++
xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12
2

a
aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 2
Trờng THCS Hải Vân
g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x

+

xx
x
-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=...=2)
10.2 B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x

b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi x ; x
10;1
>
x
)
10.4 D=
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0

x
)

b, C/m rằng Đ >0 với mọi đk của x để Đ có nghĩa
10.6 E= (
x
1
-
1
1

x
) : (
)
2
1
1
2

+


+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E

)
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 3
Trờng THCS Hải Vân
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (E
MAX
=2/3<=>x=0)
10.8 G=
1
)1(22
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
10.9 H=
4


1
a,Rút gọn I ( KQ : I =
1
2

x
)
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên
10.11 J =
x
x
x
x
xx
xx

+
+
+
+

+
+
1
2
2
1
2
393

3
12
65
92

a,Rút gọn K ( KQ:K=
3
1

+
x
x

bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
10.13 M =
xxx
x
xx
x


++
+
+

+
1
1
1
1


+


+
x
xx
xx
xxxx
x
xx

a,Rút gọn N
b, C/m N >
3
2

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 4
Trờng THCS Hải Vân
c,Tìm x biết N=
61
6
+

10.15 P=
)1
3
22
(:)
9

<
+

x
x
<=>....
0
3
)6(4
<
+

x
x
...)
c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ nhất
10.16 Q=
1
2
1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx

Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d
2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d
2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)

; y=
4
1
x
(3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có
phơng
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S


ABO
=?
Bài 11: Cho hàm số y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b
1
. Song song với trục hoành
b
2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-
2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi

=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
c) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm
Bài 15: Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ khi a=
13


b) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
c) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
a) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
d) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình


m
; x=y

Z <=>1

m+2 <=>.......
Bài 18:Cho hệ phơng trình



=+
=+
4
104
myx
mymx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên dơng
KQ: (m
2

hệ có ng : x=
2
5
;
2
8
+
=

m

N<=>10

m+2 .....
)
Bài 19:Cho hệ phơng trình



+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà
S=x
2
+y
2
đạt giá
trị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình



=
=++

2
12
;
2
4
22
+

=
+
+
m
m
y
m
m
; ..........)
Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau
a)







=


+


=+
=
1222
32423
yx
yx
(đk x;y

2 ) d)





=+
=

+
+
+

5
2
1
12
12
1
yx
y

t
x
y
=
+

12
1
(t>0) Khi đó
ty
x 1
1
12
=

+

Bài 23: Giải các hệ phơng trình sau ( Nâng cao)
)





=+
=+
xy
yx
31
31

=+
03
31
0
31
2
2
yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ






=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k
2
-
19k+84=0
=> k
1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy
.........
e)



=+

tơng tự câu d
h)





=+
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx
đk x; y
0

Bài 24:a) cho hệ ph /t



=+
=
25
43
22
yx

=+
myx
mxy
2
212
22
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm
nghiệm đó
( đa về dạng



=
=
122
1)(
2
mxy
yx
thì xảy ra 2 hệ rồi giải )
Bài 26: Cho hệ ph /t





++=+
+=++
kkxyxyy
yykyxx

2
1
;
2
1

); m=-
2
thì hệ có nghiệm (-
2
1
;
2
1
)
Hàm số y=a x
2
(a

0)
Sự tơng giao của đồ thị hàm số y=ax
2
và Y=a x+b
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác

b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng
thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song
với AB
Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và điểm N(m;0) và I(0;2) với m

0 .Vẽ (P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với mọi m

0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK
vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB
vuông tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d
2


d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 12
Trờng THCS Hải Vân
a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ x=-1.Tìm
điểm còn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I
của AB
Bài 10: Bài thi năm 06-07 và 05-06
Giải Phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 1,5x
2
-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2
=++
xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144
=++
xx



1
1
11
1
2

5)
2323
=
x
10)
xx
x
+
=

1
1
2
1
2
2
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x
4
x
2
-6=0

2
-2(x
2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2
-2(x
2
+2x) -28=0 Đặt (x
2
+2x)=t
5) (x
2
-5x)
2
-30(x
2
-5x) = 216
6) (y-x-2)
2
+ (x+2y)
2
=0 a
2
+b
2

2
=++
x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x

0)
9)
0
2
4
2
1
4
2
222
=
+

+



xx
x
xxx

b o
=

= = + =

=

đa về hệ pt )
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 13
Trờng THCS Hải Vân
3) 3x-4
181
=
x
......
4) x-
1412
=
x
.......
5)
2
3
1
1
1
1
=
+


22
=+++
yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+
xxx
Nên
216123
2
+
xx
;
3134
2
+
yy
10)
5168143
=++++
xxxx
11)
1252
22
=+
xxxx
đặt ẩn phụ
txx
=+

-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng
tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x
1
;x
2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2
+x
1

2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x
4
109x
2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng
nhau )
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 14
Trờng THCS Hải Vân
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+

-27x - 110 -
2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT
10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x

1
=-2 ; x
2
=-
1/2
+Với ; t
2
=
5
26
(x+
)
1
x
=
5
26
5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ;
x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=





;
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2


bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)

Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 15
Trờng THCS Hải Vân
nên x
2
+ c/ a x
2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t
2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4

) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x
2
) =t (3) => .( x
2

+
)
4
2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b

+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4

+2 (
2
ba
+
)
2
t
2
+ 2(
2
ba
+
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t

+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0

Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad
hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1

+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là
các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba
+
=> x+a =t+
2
ba

và x+b=t -
2
ba


Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4
+2 (
2
ba
+
)
2
t
2
+ 2(

- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là
PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x

=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng
bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x

4
- 3x
3
+9x
2
-27 x+81=0 4, x
4
-10x
3
+11x
2
-10x+1=0
5, x
4
+5x
3
-14x
2
-20x +16 =0 6, x
4
+4x
3
-10 x
2
-28 x-15=0
Giáo Viên : Vũ Đức Hạnh 18